高中數(shù)學(xué)2.3.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課堂探究新人教B版必修.docx

2.3.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課堂探究探究一 直接法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2可知，圓心為(a，b)，半徑為r，它體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2中有三個(gè)參數(shù)a，b，r，只要求出a，b，r，圓的方程也就確定了，因此確定圓的方程需三個(gè)獨(dú)立條件，其中圓心是圓的定位條件，半徑是圓的定形條件(2)幾種特殊形式的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程條件方程形式圓心在原點(diǎn)x2y2r2(r0)過原點(diǎn)(xa)2(yb)2a2b2(a2b20)圓心在x軸上(xa)2y2r2(r0)圓心在y軸上x2(yb)2r2(r0)圓心在x軸上且過原點(diǎn)(xa)2y2a2(a0)圓心在y軸上且過原點(diǎn)x2(yb)2b2(b0)與x軸相切(xa)2(yb)2b2(b0)與y軸相切(xa)2(yb)2a2(a0)與兩坐標(biāo)軸都相切(xa)2(yb)2a2(|a|b|0)【典型例題1】 (1)圓心是C(3,4)，半徑長(zhǎng)為5的圓的方程為()A.(x3)2(y4)25 B(x3)2(y4)225C(x3)2(y4)25 D(x3)2(y4)225解析：因?yàn)閳A心是C(3,4)，半徑長(zhǎng)為5，所以圓的方程為(x3)2(y4)225.答案：D(2)已知點(diǎn)A(4，5)，B(6，1)，則以線段AB為直徑的圓的方程為_解析：AB的中點(diǎn)坐標(biāo)即為圓心坐標(biāo)C(1，3)，又圓的半徑r|AC|，所以所求圓的方程為(x1)2(y3)229.答案：(x1)2(y3)229探究二 待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出圓心和半徑，即列出關(guān)于a，b，r的方程組，求出a，b，r.一般步驟如下：(1)根據(jù)題意，設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2；(2)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a，b，r的方程組；(3)解方程組，求出a，b，r，代入圓的方程中，求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2有時(shí)求圓的方程時(shí)，用上初中所學(xué)圓的幾何性質(zhì)往往使問題容易解決圓的常用幾何性質(zhì)如下：(1)圓心在過切點(diǎn)，且與切線垂直的直線上；(2)圓心必是兩弦中垂線的交點(diǎn)；(3)不過圓心的弦，弦心距d，半弦長(zhǎng)m及半徑r滿足r2d2m2；(4)直徑所對(duì)的圓周角是90，即圓的直徑的兩端點(diǎn)與圓周上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn)的連線互相垂直【典型例題2】 一個(gè)圓經(jīng)過兩點(diǎn)A(10,5)，B(4,7)，半徑為10，求圓的方程思路分析：本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，可根據(jù)題目中的條件，利用待定系數(shù)法求解解法一：設(shè)圓心為(a，b)，則整理得7ab150，即b7a15.將代入得a26a80，所以或故所求圓的方程為(x2)2(y1)2100或(x4)2(y13)2100.解法二：線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,6)，kAB，則線段AB的垂直平分線方程為y67(x3)，即y7x15.設(shè)圓心為(a，b)，由于圓心在AB的垂直平分線上，所以b7a15.又因?yàn)?a10)2(b5)2100，將代入可得a2或a4.(以下同解法一)【典型例題3】 求下列圓的方程：(1)圓心在直線y2x上，且與直線y1x相切于點(diǎn)(2，1)；(2)圓心C(3,0)，且截直線yx1所得的弦長(zhǎng)為4.(3)已知一個(gè)圓關(guān)于直線2x3y60對(duì)稱，且經(jīng)過點(diǎn)A(3,2)，B(1，4)思路分析：利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于圓心和半徑的方程組來(lái)求解解：(1)設(shè)圓心為(a，2a)，半徑為r，則圓的方程為(xa)2(y2a)2r2.由解得所以所求圓的方程為(x1)2(y2)22.(2)設(shè)圓的半徑為r，則圓的方程為(x3)2y2r2，利用點(diǎn)到直線的距離公式可以求得d2，所以r2.所以所求圓的方程為(x3)2y212.(3)AB的垂直平分線為y1 (x2)，即x3y10.因?yàn)閳A心在弦AB的垂直平分線上，也在對(duì)稱軸上，則由得即圓心為， 所以半徑為r.所以圓的方程為(x7)2.探究三 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷點(diǎn)P(x0，y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系有幾何法和代數(shù)法兩種：(1)對(duì)于幾何法，主要是利用點(diǎn)與圓心的距離與半徑比較大??；(2)對(duì)于代數(shù)法，主要把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，左端與r2比較【典型例題4】 已知在平面直角坐標(biāo)系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(1,2)四點(diǎn)，這四點(diǎn)能否在同一個(gè)圓上，為什么？思路分析：先確定出過其中三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程，再驗(yàn)證第四個(gè)點(diǎn)是否在這個(gè)圓上，即可得出答案解：設(shè)經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2.把A，B，C的坐標(biāo)分別代入，得解此方程組，得所以，經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x1)2(y3)25.把點(diǎn)D的坐標(biāo)(1,2)代入上述圓的方程，得(11)2(23)25.所以，點(diǎn)D在經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的圓上，即A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：因考慮問題不全面而致誤【典型例題5】 已知圓C的半徑為2，且與y軸和直線4x3y0都相切，試求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程錯(cuò)解：由題意可設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)24，又圓C與y軸相切，可知a2，又圓C與4x3y0相切，可知2，解得b6或b.所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y6)24或(x2)24.錯(cuò)因分析：圓C與y軸相切意味著|a|2，而不是a2.正解：設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)24