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理清命題重難點(diǎn) 洞察高考新動(dòng)向 - “數(shù)列、不等式、推理與證明”命題趨勢(shì)及備考策略 昆明市中學(xué)數(shù)學(xué)科首席教師 特級(jí)教師 佘維平一、高考命題重難點(diǎn)透視1.數(shù)列(1)重難點(diǎn)透視高考重點(diǎn):數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式的求法及求和。復(fù)習(xí)要點(diǎn): 掌握等差(等比)數(shù)列的定義與性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等;掌握等差(等比)數(shù)列的判斷方法,求和方法;熟練掌握求解數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法,尤其是已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)這種基本的方法,另外注意累加法、累積法的應(yīng)用等差數(shù)列的判斷方法(等比數(shù)列有同類方法):(1)定義法:對(duì)于n2的任意自然數(shù),驗(yàn)證anan1為同一常數(shù)(即為常數(shù));(2)中項(xiàng)法:驗(yàn)證2an1anan2(n3,nN*)都成立;(3)通項(xiàng)公式法:驗(yàn)證anpnq;(4)前n項(xiàng)和公式法:驗(yàn)證SnAn2Bn.數(shù)列求和的常用方法: 公式法; 倒序相加法; 錯(cuò)位相減法; 裂項(xiàng)相消法; 分組求和法。一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中,可兩兩結(jié)合求解,則稱之為分組求和(或并項(xiàng)求和)形如an(1)nf(n)類型,可采用兩項(xiàng)合并求解例如,Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.(2)典題示例.等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算解決等差、等比數(shù)列的問題時(shí),通??紤]兩類方法:.基本量法,即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化成關(guān)于a1和d的方程(組);.巧妙運(yùn)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)【示例1】設(shè)an為等差數(shù)列,公差d2,Sn為其前n項(xiàng)和若S10S11,則a1()A18 B20 C22 D24解析由S10S11,得a11S11S100,a1a11(111)d0(10)(2)20.故選B.解題反思 本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、性質(zhì)、前n項(xiàng)和以及數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系,解題的突破口是由S10S11得出a110.等差、等比數(shù)列的判定等差、等比數(shù)列的判定通常作為解答題的第1問來考查【示例2】已知數(shù)列an滿足a11,a23,an23an12an(nN*)(1)證明:數(shù)列an1an是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(1)證明an23an12an,an2an12(an1an),a11,a23,2(nN*)an1an是以a2a12為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列(2)解由(1)得an1an2n(nN*),an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2212n1(nN*)解題反思 本題主要考查等比數(shù)列的判定及數(shù)列求和,同時(shí)考查推理論證能力及轉(zhuǎn)化化歸能力.數(shù)列求和數(shù)列求和主要是分析通項(xiàng),然后根據(jù)通項(xiàng)選擇相應(yīng)的求和方法【示例3】(2011新課標(biāo)全國(guó))等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),且2a13a21,a9a2a6.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bnlog3a1log3a2log3an,求數(shù)列的前n項(xiàng)和解(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q.由a9a2a6得a9a,q2.由條件q0,故q.由2a13a21,得2a13a1q1,所以a1.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an.(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n).故2.2.所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為.解題反思 本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和及對(duì)數(shù)運(yùn)算考查靈活運(yùn)用基本知識(shí)解決問題的能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新思維能力對(duì)于通項(xiàng)公式,可以利用基本量求出首項(xiàng)和公比;對(duì)于數(shù)列求和,可通過對(duì)數(shù)運(yùn)算求出bn,然后利用裂項(xiàng)求和【示例4】(2011年浙江 理19題)已知公差不為0的等差數(shù)列的首項(xiàng)為()設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,成等比數(shù)列()求數(shù)列的通項(xiàng)公式及;()記,當(dāng)時(shí),試比較與的大小解析:()設(shè)等差數(shù)列的公差為(),由,成等比數(shù)列和得,解得,且,于是 ,()因?yàn)?,所以, 又因?yàn)?,所以當(dāng)時(shí),因此,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),解題反思 本題主要考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)、性質(zhì)、求和,裂項(xiàng)求和與公式求和;考查分類討論和組合數(shù)的性質(zhì),在數(shù)列背景下,考查同學(xué)們的推理論證與演繹歸納能力。2.不等式(必修部分)(1)重難點(diǎn)透視不等式的性質(zhì)是解(證)不等式的基礎(chǔ),關(guān)鍵是正確理解和運(yùn)用,要弄清條件和結(jié)論,近幾年高考中多以小題出現(xiàn),題目難度不大,復(fù)習(xí)時(shí),應(yīng)抓好基本的東西,少做偏難題;不等式的定義、比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小、不等式的性質(zhì)是重要的基本內(nèi)容;結(jié)合“三個(gè)二次”之間的聯(lián)系,掌握一元二次不等式的解法;掌握確定平面區(qū)域的方法,理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,掌握解決線性規(guī)劃問題的方法(圖解法),注意線性規(guī)劃問題與其他知識(shí)的綜合;突出對(duì)基本不等式取等號(hào)的條件及運(yùn)算能力的強(qiáng)化訓(xùn)練高考試題中,對(duì)解不等式有較高的要求,近兩年不等式知識(shí)占相當(dāng)大的比例。一個(gè)技巧:作差法變形的技巧:作差法中變形是關(guān)鍵,常進(jìn)行因式分解或配方兩項(xiàng)防范:.二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí),參數(shù)的符號(hào)影響不等式的解集;不要忘了二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況;.解含參數(shù)的一元二次不等式,可先考慮因式分解,再對(duì)根的大小進(jìn)行分類討論;若不能因式分解,則可對(duì)判別式進(jìn)行分類討論,分類要不重不漏三點(diǎn)注意:.使用基本不等式求最值時(shí),失誤的主要原因是對(duì)其前提“一正、二定、三相等”的忽視,這三個(gè)條件缺一不可;.在運(yùn)用基本不等式時(shí),要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件;.連續(xù)使用基本不等式時(shí)取等號(hào)的條件必須一致(2)典題示例【示例1】(教材變式題)給出下列命題:abac2bc2;a|b|a2b2;aba3b3;|a|ba2b2.其中正確的命題是()A B C D解析當(dāng)c0時(shí),ac2bc2,不正確;a|b|0,a2|b|2b2,正確;a3b3(ab)(a2abb2)(ab)0,正確;取a2,b3,則|a|b,但a24b29,不正確答案B?!臼纠?】已知a,b,c是實(shí)數(shù),試比較a2b2c2與abbcca的大小解a2b2c2(abbcca)(ab)2(bc)2(ca)20,當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào)a2b2c2abbcca.解題反思 比較大小常采用作差法與作商法,但題型為選擇題時(shí)可以用特殊值法來比較大小【示例3】已知函數(shù)f(x)解不等式f(x)3.思維啟動(dòng)點(diǎn) 對(duì)x分x0、x0進(jìn)行討論從而把f(x)3變成兩個(gè)不等式組解由題意知或解得:x1.故原不等式的解集為x|x1解題反思 解一元二次不等式的一般步驟是:(1)化為標(biāo)準(zhǔn)形式;(2)確定判別式的符號(hào);(3)若0,則求出該不等式對(duì)應(yīng)的二次方程的根,若0,則對(duì)應(yīng)的二次方程無根;(4)結(jié)合二次函數(shù)的圖象得出不等式的解集特別地,若一元二次不等式的左邊的二次三項(xiàng)式能分解因式,則可立即寫出不等式的解集【示例4】(1)已知x0,y0,且2xy1,則的最小值為_;(2)當(dāng)x0時(shí),則f(x)的最大值為_思維啟動(dòng)點(diǎn) 第(1)問把中的“1”代換為“2xy”,展開后利用基本不等式;第(2)問把函數(shù)式中分子分母同除“x”,再利用基本不等式解析(1)x0,y0,且2xy1,332.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào)(2)x0,f(x)1,當(dāng)且僅當(dāng)x,即x1時(shí)取等號(hào)答案(1) 32;(2) 1解題反思 利用基本不等式求函數(shù)最值時(shí),注意“一正、二定、三相等,和定積最大,積定和最小”常用的方法為:拆、湊、代換、平方3.推理與證明(1)重難點(diǎn)透視1推理與證明一般與數(shù)列、幾何、等有關(guān)內(nèi)容糅合在一起考查。2推理與證明的內(nèi)容是高考的新增內(nèi)容,主要以選擇填空的形式出現(xiàn),難度上屬中偏低檔題。新課標(biāo)下把猜想、合情推理、類比推理與遞推數(shù)列等內(nèi)容結(jié)合是試題的一個(gè)亮點(diǎn),合情推理的考查仍將為高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)之一,因此要重視對(duì)合情推理的訓(xùn)練。本單元是培養(yǎng)同學(xué)們良好思維習(xí)慣,學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法,形成數(shù)學(xué)能力的重要重要內(nèi)容,但也不必要去做過難的題目。(2)典題示例【示例1】在平面上,若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為12,則它們的面積比為14,類似地,在空間中,若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為12,則它們的體積比為_解析:由類比推理得,若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)比為12,則體積比為18.【示例2】觀察以下三個(gè)等式:(1)13239;(2)13233336;(3歸納其特點(diǎn)可以獲得一個(gè)猜想是132333n3_.解析:92,362,1002,猜想:132333n32. 答案:2【示例3】觀察下列不等式:1,11,1,12,1,由此猜想第n個(gè)不等式為_解析:由1,1,1,1,1,可猜想第n個(gè)不等式為1.答案:1【示例4】將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣: 按照以上排列的規(guī)律,第行從左向右的第3個(gè)數(shù)為 。解析本小題考查歸納推理和等差數(shù)列求和公式。前行共用了 個(gè)數(shù),因此第行從左向右的第3個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中的第個(gè),即為?!臼纠?】 (2009湖南,理15題)將正分割成(,)個(gè)全等的小三角形(圖1,圖2)分別給出了,的情形),在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置1個(gè)數(shù),使位于的三邊及平行于某邊的任一直線上的數(shù)(當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí))依次成等差數(shù)列若頂點(diǎn),處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為,則有, , 圖2圖1解析:本題要用合情推理求解依題意,頂點(diǎn),處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1,且為等差數(shù)列,如果按等差數(shù)列的性質(zhì)及公式來計(jì)算,運(yùn)算量較大,且規(guī)律性不好探索,就而言,三邊中點(diǎn)分別設(shè)為,(逆時(shí)針方向)組成等差數(shù)列是,這3種,若點(diǎn)上的數(shù)記為,點(diǎn)上的數(shù)記為,所以,從而得,利用極端數(shù)法,把點(diǎn),均視為(圖3),同樣推理,在中,把10個(gè)頂點(diǎn)均視為,則(圖4),從而得,圖4圖3點(diǎn)撥:利用特殊值賦值法,分別對(duì),進(jìn)行特殊值賦值,發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)的平均值都是,利用合情推理做出判斷,每個(gè)頂點(diǎn)上的均值為,剩余事就是歸納頂點(diǎn)數(shù)二、 2013年高考命題動(dòng)向、分析與預(yù)測(cè) 1. 數(shù)列 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,是銜接初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁,在高考中的地位舉足輕重。在新課標(biāo)高考中,數(shù)列內(nèi)容的主要考點(diǎn)就兩個(gè)方面:一是數(shù)列的有關(guān)概念;二是等差(等比)數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式 試題難度相對(duì)老高考已降低,一般為中低檔題,選擇填空題重點(diǎn)考查等差(比)數(shù)列的性質(zhì);解答題重點(diǎn)考查通項(xiàng)公式、求和。預(yù)計(jì)2013年高考會(huì)這樣考:以數(shù)列的前幾項(xiàng)為背景,考查“歸納推理”思想;考查已知數(shù)列的通項(xiàng)公式或由遞推關(guān)系求數(shù)列的某項(xiàng);考查由數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式,尤其是已知Sn與an的關(guān)系求an等;考查運(yùn)用基本量法求等差(等比)數(shù)列的基本量;考查等差(等比)數(shù)列的性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式;考查對(duì)非等差(等比)數(shù)列求和的幾種常見方法2.不等式 不等式的考查主要以中檔題為主,題型主要是選擇題或填空題; 不等式的性質(zhì)常與簡(jiǎn)易邏輯結(jié)合考查; 不等式的解法主要以一元二次不等式為主,兼顧其它(如簡(jiǎn)單的分式不等式、指對(duì)數(shù)不等式、與分段函數(shù)有關(guān)的不等式等),常與集合(選填題)、導(dǎo)數(shù)(解答題中對(duì)參數(shù)的分類討論)結(jié)合; 線性規(guī)劃問題考查難度不大; 應(yīng)用基本不等式求最值是重點(diǎn),要加強(qiáng)訓(xùn)練; 不等式的恒成立問題也應(yīng)當(dāng)重視。預(yù)計(jì)2013年高考會(huì)這樣考:結(jié)合命題真假判斷、充要條件、大小比較等知識(shí)考查不等式性質(zhì)的基本應(yīng)用;考查一元二次不等式的

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