數(shù)學命題題源和設計探究.doc

數(shù)學命題題源和設計探究 廈門二中 廖金祥 雙十中學 陳文強縱觀歷年高考試題，年年有新意，屆屆有創(chuàng)新，雖然題目變化多樣，高考?？汲Ｐ拢}還是有一定的規(guī)律，也有一定的原則，如“貼近生活，背景公平，控制難度”等。命題是教師的基本功，單元考、期中考、期考和各種質(zhì)量檢查試卷，都需要我們根據(jù)學生的狀況、質(zhì)量要求、考試大綱等去組織試卷。筆者多次參加各級命題工作，把命題工作中的體驗和思考寫出來和同行們共享，更希望同行們的指教。一、 以教材為基礎教材是命題的基礎和源泉，每年的高考試題都有不少試題來源于課本的例題或習題，所以，我們在命題時，首先要從教材中“深挖洞，廣積糧”，深刻理解教材知識的內(nèi)涵，改編課本的例題或習題。 1擴大（縮小）問題的條件或結論，編制試題例1 ：全日制普通高級中學教科書（必修）第一冊（上）135頁第2題第（3）小題：已知a,c是符號相同的非零實數(shù)，那么是 a ,b, c成等比數(shù)列的 條件。 （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件。改編為已知a ,b, c是實數(shù)，那么是 a ,b, c成等比數(shù)列的 條件。 （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件。經(jīng)過這樣改造，考查的功能沒有變，但要求提高了。 2引入?yún)?shù)，演繹新題例2 ：全日制普通高級中學教科書第三冊（選修II）136頁第4題：求函數(shù)的極值改編為求函數(shù)的極值這樣一改，就從一個普通的數(shù)學問題，變成一道探索性的數(shù)學題，增加了解題層次，思維要求提高了，但沒有超綱，又達到高考命題要求。 3從問題的反面，編擬試題例3：高級中學課本平面解析幾何102頁第13題過拋物線焦點的一條直線與它交于兩點P、Q，通過點P和拋物線頂點的直線交準線于點M，求證：直線MQ平行于拋物線的對稱軸。2001年高考理科19題（文科20題）：設拋物線的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點。點C在拋物線的準線上，且BC平行x軸，證明直線AC經(jīng)過原點O。這道高考題是課本習題的改造，它把題設和結論作了更換。 4將問題延伸和拓展，構造新題例4：全日制普通高級中學教科書（必修）第一冊（上）128頁例4：已知是等比數(shù)列的前n項和,成等差數(shù)列,求證成等差數(shù)列。改造為：已知是等比數(shù)列的前n項和,成等差數(shù)列（1）求證成等差數(shù)列（2）判斷以為前三項的等差數(shù)列的第四項是否是數(shù)列中的一項，若是求出這一項，若不是請說明理由。這里只是增加了第二問，但增加的問題是一個開放性的問題，提高了問題的層次，由基礎題上升為綜合題，對計算能力和思維能力都提高了，既考查數(shù)學基礎知識，又體現(xiàn)數(shù)學素質(zhì)，第2問要求學生對新穎的信息、情景的設問，能綜合所學的數(shù)學知識、思想和方法進行獨立思考和探索，創(chuàng)造性地解決問題。 5以教材的模型為藍本，構造應用題2002年高考理20題就是一道環(huán)保應用題：例5：某城市2001年末騎車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同，為保護城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應超過多少輛？本題構建的數(shù)列模型源于高級中學代數(shù)課本（下冊）P.128第34題：已知數(shù)列的項滿足：證明這個數(shù)列的通項公式是 二、改造陳題，推陳出新有的題雖然是陳題，但它是經(jīng)典的好題，這種題經(jīng)過改造，是非常好的試題，例如我將一道初中的平面幾何題，經(jīng)過改造，應該是一道不錯的高中向量題。例6：如圖，正方形ABCD的邊長為1，P是對角線AC上任一點，點P在AB邊上的射影點為E；在BC邊上的射影點為F，設， 證明：； 若點P分的比為，求向量與夾角的余弦值解：設(0l1)，則=，而，所以； PEBF是矩形，PEBC，PFAB，有，所以， =l(1-l)+l(l-1)=0，所以。 若點P分的比為，即，所以， 又，所以=， 且，=。即向量與夾角的余弦值為。 三、源于著名的數(shù)學問題數(shù)學有許多著名的名題，這些數(shù)學問題，絕大多數(shù)是世界一流數(shù)學家提出來的，它的影響是巨大的，例如哥德巴赫猜想、費馬大定理、哥尼斯堡七橋問題、希爾伯特的23個問題、皮亞偌曲線問題等，數(shù)學家在研究這些問題時，往往有重大發(fā)現(xiàn)，我國數(shù)學家陳景潤就是這樣的杰出代表，他研究哥德巴赫猜想，取得重大突破，為數(shù)學做出了歷史性貢獻。數(shù)學歷史名題是人類文明的寶貴財富，它之所以有名，是因為與深刻的數(shù)學內(nèi)容、經(jīng)典的解題方法和著名的數(shù)學大師相聯(lián)系，有的問題雖然簡單，但閃爍著數(shù)學這快寶石的光芒；有的問題稍難，也許更能使我們欣賞到數(shù)學花園的千姿百態(tài)，體會到數(shù)學思想的靈巧和美妙，對它們作技術處理常常可以產(chǎn)生富有新意的考題。2003年高考北京卷理科18題實際上就是數(shù)學著名的“蝴蝶定理”派生出來的優(yōu)秀試題，蝴蝶定理曾經(jīng)是有名的幾何難題：過圓O的弦XY的中點M，作圓O的任意兩條弦AB和CD，線段AD和CB分別交線段XY于點P和Q，則PM=QM。一百多年來，蝴蝶定理有許多精彩巧妙的證明，還有人把它推廣的二次曲線。 四、高等數(shù)學問題初等化所謂站的高，看的遠，高等數(shù)學問題，通過命題者的精心改造，可以產(chǎn)生深刻而漂亮的數(shù)學試題。2002年高考理科壓軸題就是以高等數(shù)學中的“正項級數(shù)前n項的和有上界，則級數(shù)收斂”這一命題為靈感，結合級數(shù)收斂的速度得到的高考題。例7：有n個首項為1的等差數(shù)列（項數(shù)為n）排成如右圖所示的方陣，設第k個數(shù)列的第j項為(k、j=1，2，-，n且n)，公差為dk ，且d1=1，d2=3 當數(shù)列是等差數(shù)列時，求dk ； 在的條件下，求和S(n)= 解：依題意，是首項為1、公差為d1的等差數(shù)列的第n項，=1+(n-1) d1 同理，=1+(n-1) d2 ，=1+(n-1) d3，=1+(n-1) dn 。所以=(n-1)(d2- d1)， =(n-1)(d3- d2)，=(n-1)(dn- d(n-1)， 因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以d2- d1= d3- d2= dn- d(n-1) ，又d1=1，d2=3，有d2- d1=2， 所以數(shù)列d1，d2，dn是首項為1、公差為2的等差數(shù)列，所以dk=1+2(k-1)=2k-1 (k=1，2，-，n)。是以=1為首項、dk為公差的等差數(shù)列的第k項，則=1+(k-1) dk=1+(k-1)(2k-1)=2k2-3k+2 所以S(n)=2(12+22+n2)-3(1+2+n)+2n=這道題就是以高等代數(shù)中的矩陣和行列式為源泉構思設計的。五、以數(shù)學知識為主導命制試題高中數(shù)學有一百多個知識點，高考一般要考察其中七、八十個知識點，特別是重要知識點要重點考，所以，數(shù)學命題時要認真研究考試大綱，對數(shù)學基礎知識的考查，既要求全面又要突出重點，注重學科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合性，在知識網(wǎng)絡交匯點設計試題。例8：設點P1(a1，b1)，P2(a2，b2)，Pn(an，bn)，是函數(shù)圖象上的點，又a1=1， 若，求； 已知，求的值解：， 若，則，所以數(shù)列an是a1=1為首項、1為公差的等差數(shù)列，所以an=-1+(n-1)=n-2。 由知數(shù)列an是a1=1為首項、sina為公差的等差數(shù)列，所以an=-1+(n-1)sina因為，又，又，所以，得， 即sina(-1+5sina-1+4sina)=-1+8sina，所以，解得sina=或sina=1， 當sina=時，=1=；當sina=1時，=1=-1。本題設計時，抓住數(shù)學知識發(fā)展過程中的縱向聯(lián)系和各部分知識之間的橫向聯(lián)系，把函數(shù)、數(shù)列、向量、三角等重要數(shù)學知識有機地串聯(lián)起來，構建數(shù)學試題。六、以數(shù)學思想方法為主線，創(chuàng)作試題數(shù)學思想和方法是數(shù)學知識在更高層次上的抽象和概括，蘊涵在數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展和應用過程中，能夠遷移并廣泛應用于相關學科和社會生活，因此，數(shù)學思想和方法的考查必然要與數(shù)學知識的考查結合進行。例9：如圖，過ABC的重心G作直線分別交邊AB、AC于點P、點Q，已知，APQ和ABC的面積分別為S和T, 求證： ； 求的取值范圍 解： 連接AG并延長交BC于M，則M是BC的中點。設，則，又，所以，。P、G、Q三點共線，存在lR，使得即由平面向量基本定理得且，消去l得。=，由得即，所以=，令t=3h-1，則=易證函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞減、在(1,+)上單調(diào)遞增，而由0k1，0h1得1，01，所以t2，所以當t=2或時，u取最大值；當t=1時，u取最小值4。所以的取值范圍是。這道題的設計，在數(shù)學知識整合基礎上，考查了重要的數(shù)學思想，如數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想等。七、以生活熱點為題源，創(chuàng)作應用題從已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，以生活熱點問題為基礎，創(chuàng)作應用題，將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應用，從而獲得對數(shù)學的理解，數(shù)學是人們生活、勞動和學習必不可少的工具，能夠幫助人們處理數(shù)據(jù)、進行計算、推理和證明，數(shù)學模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象。數(shù)學課程倡導自主探索、動手實踐、合作交流等學習數(shù)學的方式，在數(shù)學應用和聯(lián)系實際方面需要大力加強，發(fā)展數(shù)學應用意識，提高實踐能力。這幾年，高考都考查了當年的現(xiàn)實熱點問題，如2002年的“環(huán)保問題”，2003年的“臺風災害問題”，2004年的“技術改造問題”（福建卷）。2005年的“旅游問題”（福建卷）等。例10：某民營企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關系如圖一；B產(chǎn)品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如二(注：利潤和投資單位：萬元) 分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關系式； 該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元？(精確到1萬元)？其姐妹題（上例可以理科考生做，下例可以文科考生做）某民營企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關系如圖一；B產(chǎn)品的利潤與投資的平方成正比，其關系如圖二(注：利潤和投