2012年考研數(shù)學(xué)真題及參考答案(數(shù)學(xué)二).pdf

2012 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 2012 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)二試題解析 一 選擇題 一 選擇題 1 8 小題 每小題小題 每小題 4 分 共分 共 32 分 下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 只有一項(xiàng)符合題目要求 的 請將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙 分 下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 只有一項(xiàng)符合題目要求 的 請將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙 指定位置上指定位置上 1 曲線 2 2 1 xx y x 漸近線的條數(shù)為 A 0 B 1 C 2 D 3 答案 答案 C 解析 解析 2 2 1 lim 1 x xx x 所以1x 為垂直的 2 2 lim1 1 x xx x 所以1y 為水平的 沒有斜漸近線 故兩條選 C 2 設(shè)函數(shù) 2 1 2 xxnx f xeeen L 其中為正整數(shù) 則n 0 f A 1 1 1 n n B 1 1 n n C 1 1 n n D 1 nn 答案 答案 C 解析 解析 222 2 1 22 1 2 xxnxxxnxxxnx fxe eeneeeneenen LLLL 所以 0 f 1 1 n n 3 設(shè) an 0 n 1 2 Sn a1 a2 an 則數(shù)列 sn 有界是數(shù)列 an 收斂的 A 充分必要條件 B 充分非必要條件 C 必要非充分條件 D 即非充分地非必要條件 答案 答案 A 您所下載的資料來源于 考研資料下載中心 獲取更多考研資料 請?jiān)L問 解析 解析 由于 則為正項(xiàng)級數(shù) Sn a1 a2 an為正項(xiàng)級數(shù)的前 項(xiàng)和 正項(xiàng)級數(shù)前 項(xiàng)和有界與正向級數(shù) 0 n a 1 n n a 1 n n a n n 1 n n a 收斂是充要條件 故選A 4 設(shè) 2k x k e Ie sinxdx k 1 2 3 則有 D A I1 I2 I3 B I2 I2 I3 C I1 I3 I1 D I1 I2 I3 答案 答案 D 解 析 解 析 看 為 以為 自 變 量 的 函 數(shù) 則 可 知 2 sin k x k e Iex 0 0 kk dxk 2 sin k k Ie 即可知關(guān)于在 2 sin k e x k x Iedx k0 上為單調(diào)增 函數(shù) 又由于 1 2 30 則 12 II 3 I 0 f x y y 0 f x1 y1 x2 y1 x2 y1 y1 C x1 x2 y1 y2 D x1 y2 答案 答案 D 解析 解析 0 f x y x 0 f x y y 表示函數(shù) f x y 關(guān)于變量x是單調(diào)遞增的 關(guān)于變 量 是單調(diào)遞減的 因此 當(dāng) y 121 2 xxyy必有 1122 f x yxyf 故選 D 6 設(shè)區(qū)域 D 由曲線 1 2 sin yxxy 圍成 則 1 5 dxdyyx 2 2 DCBA 答案 答案 D 解析 解析 由二重積分的區(qū)域?qū)ΨQ性 您所下載的資料來源于 考研資料下載中心 獲取更多考研資料 請?jiān)L問 dyyxdxdxdyyx x 1 sin 5 2 2 5 11 7 設(shè) 1234 123 001 0 1 1 1 ccc 4 1 c 其中 為任意常數(shù) 則下列向量組線性相關(guān) 的是 1234 c c c c A 123 B 124 C 134 D 234 答案 答案 C 解析 解析 由于 1341 134 011 11 0110 11 c ccc 可知 134 線性相關(guān) 故選 C 8 設(shè)A為 3 階 矩 陣 為 3 階 可 逆 矩 陣 且 P 1 1 1 2 P AP 123 P 12 23 Q 則 1 Q A Q A B 1 2 1 1 1 2 C D 2 1 2 2 2 1 答案 答案 B 解析 解析 則 100 110 001 QP 11 100 110 001 QP 故 11 10010010011001 11011011011101 00100100120012 Q AQP AP 故選 B 二 填空題 二 填空題 9 14 小題 每小題小題 每小題 4 分 共分 共 24 分 請將答案寫在答題紙分 請將答案寫在答題紙 指定位置上指定位置上 您所下載的資料來源于 考研資料下載中心 獲取更多考研資料 請?jiān)L問 9 設(shè) yy x 是由方程 2 1 y xy e所確定的隱函數(shù) 則 dy dx 答案 答案 2 1 y x e 解析 解析 方程 2 1 y xy e兩端對x求導(dǎo) 有2 y dydy xe dxdx 所以 2 1 y dyx dxe 10 計(jì)算 22222 111 lim 12 x n nnnn 答案 答案 4 解析 解析 原式 1 1 22 0 1 11 limarctan 14 1 n n i dx x nx i n 0 11 設(shè) 1 lnzfx y 其中函數(shù) f u可微 則 2 zz xy xy 答案 答案 0 解析 解析 因?yàn)?2 11 zz ff xxyy 所以 2 0 zz xy xy 12 微分方程滿足初始條件 2 3 ydxxydy 0 xy 1 1 的解為 答案 答案 2 xy 解析 解析 2 1 3 03 dx ydxxydyyx dyy 1 3 dx xy dyy 為一階線性微分方程 所以 1 1 2 1 33 dy dy y y xey edyCy dyC y 3 1 yC y 又因?yàn)?y 時(shí)1x 解得 故0C 2 xy 13 曲線上曲率為 2 0yxx x 您所下載的資料來源于 考研資料下載中心 獲取更多考研資料 請?jiān)L問 2 2 的點(diǎn)的坐標(biāo)是 答案 答案 1 0 解析 將 解析 將代入曲率計(jì)算公式 有 21 yxy 2 32 3 2 2 2 22 1 2 1 21 y K y x 整理有 解得 又 2 21 1x 0 x 或10 x 所以1x 這時(shí)0y 故該點(diǎn)坐標(biāo)為 1 0 14 設(shè)為 3 階矩陣 A3A 為的伴隨矩陣 若交換的第一行與第二行得到矩陣 AAAB 則 BA 答案 答案 27 解析 解析 由于 12 BE A 故 121212 3BAE A AA EE 所以 3 1212 3 3 27 1 27BAEE 三 解答題 三 解答題 15 23 小題 共小題 共 94 分分 請將解答寫在答題紙請將解答寫在答題紙 指定位置上指定位置上 解答應(yīng)寫出文字說明 證明過程或 演算步驟 解答應(yīng)寫出文字說明 證明過程或 演算步驟 15 本題滿分 10 分 已知函數(shù) 11 sin x f x xx 記 0 lim x af x 1 求的值 a 2 若當(dāng)時(shí) 0 x f xa 是 k x的同階無窮小 求 k 解析 解析 1 2 000 11sin lim lim 1 lim11 sin xxx xx f x xxx 即1a 2 當(dāng)時(shí) 由0 x 11sin 1 sinsin xx f xaf x xxxx 又因?yàn)?當(dāng)時(shí) 0 x sinxx 與 3 1 6 x等價(jià) 故 1 6 f xa x 即1k 16 本題滿分 10 分 求 22 2 xy f x yxe 的極值 您所下載的資料來源于 考研資料下載中心 獲取更多考研資料 請?jiān)L問 解析 解析 22 2 xy f x yxe 先求函數(shù)的駐點(diǎn) 0 xy fx yexfx yy 0 解得函數(shù)為駐點(diǎn)為 0e 又 01 00 01 xxxyyy AfeBfeCfe 所以 故 2 0 0BACA 0 x 22 2 0 20 2 12 x xt 0 xxeedt 22 0 0 x xt 可知 當(dāng)時(shí) 0y 0 x 2 1220 2xxe edt 0y 可知 可知0 x 是 0y 唯一的解 同時(shí) 由上述討論可知曲線在dttfxfy x 0 22 0 x 左右兩邊的凹凸性相反 可知點(diǎn)是曲線 唯一的拐點(diǎn) 0 0 dttfxfy x 0 22 20 本題滿分 10 分 證明 2 1 lncos1 11 12 xx xxx x 您所下載的資料來源于 考研資料下載中心 獲取更多考研資料 請?jiān)L問 解析 解析 令 2 1 lncos1 12 xx f xxx x 可得 您所下載的資料來源于 考研資料下載中心 獲取更多考研資料 請?jiān)L問 2 2 2 2 112 lnsin 11 1 12 lnsin 11 11 lnsin 11 xx xxxx xx x xx xx xx xx xx xx g g 1 f 當(dāng)0 x 所以 2 2 1 sin0 1 x xx x g 故 而 即得 0fx 0f 0 2 1 lncos10 12 xx xx x 所以 2 1 lncos1 12 xx xx x 當(dāng) 有10 x 所以 2 2 1 sin0 1 x xx x g 故 即得 0fx 2 1 lncos10 12 xx xx x 可知 2 1 lncos1 11 12 xx xxx x nxxx nn 1 2 1 內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根 2 記 1 中的實(shí)根為 證明存在 并求此極限 n x n n x lim 解 析 解 析 1 由 題 意 得 令 1 1 nn f xxxx L 則 再 由 1 0f 11 1 11 22 1 0 1 22 1 2 n n f 由零點(diǎn)定理得在 1 1 2 肯定有解 0 x 假設(shè)在此區(qū)間還有另外一根 1 x 所以 由歸納法得到 11 000 1 nnnn nnn xxxxxx L1 0 L 1 xx 即唯一性得證 2 假設(shè)根為 n x 即 所以 1 10 nn nnnn f xxxx L 1 1 10 1 12 n nn nn n xx f xx x 由于 可知 1 111 10 nn nnn xxx L 1 111 10 nn nnn xxx L 由于 可知 1 10 n x L 1n nn nn xx n xx 又由于 1 1 n 2 x 也即 n x是單調(diào)的 則由單調(diào)有界收斂 定理可知 n x收斂 假設(shè)lim n n xa 可知 21 1axx 當(dāng)時(shí) n 1 1 lim lim110 lim 11 n nn nn nnn nn xxa f xx xa 得 2 22 本題滿分 11 分 設(shè) 100 010 001 001 a a A a a 1 1 0 0 b 求A 已知線性方程組Axb 有無窮多解 求a 并求Axb 的通解 解析 解析 4 14 100 1000 010 101 1 101 001 00101 001 a aa a aaaa a a a 23 42 100110011001 010101010101 001000100010 0010001001 1001 0101 0010 0001 aaa aaa aaa aaaa a a a aaa 2 aa 可知當(dāng)要使得原線性方程組有無窮多解 則有 4 10a 及 2 0aa 可知 1a 此時(shí) 原線性方程組增廣矩陣為 11001 01101 00110 00000 進(jìn)一步化為行最簡形得 10010 01011 00110 00000 您所下載的資料來源于 考研資料下載中心 獲取更多考研資料 請?jiān)L問 可知導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為 非齊次方程的特解為 1 1 1 1 0 1 0 0 故其通解為 10 11 10 10 k 線性方程組Axb 存在 2 個(gè)不同的解 有 0A 即 2 11 010 1 1 11 A 0 得1 或 1 當(dāng)1 時(shí) 1 2 3 111 0000 1111 xx x x 顯然不符 故1 23 本題滿分 11 分 三階矩陣 為矩陣 101 011 10 A a T AA的轉(zhuǎn)置 已知 且二次型 T r A A 2 TT fx A Ax 1 求 a 2 求二次型對應(yīng)的二次型矩陣 并將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型 寫出正交變換過程 解析 解析 1 由可得 T r A Ar A 2 101 01110 10 aa a 1 2 1 1232 3 222 1231223 202 022 224 22444 TT x fx A Axx xxx x xxxx xx x 則矩陣 202 022 224 B