利用法向量解立體幾何題.doc

利用法向量解立體幾何題一、運用法向量求空間角向量法求空間兩條異面直線a, b所成角，只要在兩條異面直線a, b上各任取一個向量，則角=或-，因為是銳角，所以cos=, 不需要用法向量。nA1、運用法向量求直線和平面所成角設平面的法向量為=（x, y, 1)，則直線AB和平面所成的角的正弦值為sin= cos(-) = |cos| = 2、運用法向量求二面角設二面角的兩個面的法向量為，則或-是所求角。這時要借助圖形來判斷所求角為銳角還是鈍角，來決定是所求，還是-是所求角。二、運用法向量求空間距離1、求兩條異面直線間的距離 設異面直線a、b的公共法向量為，在a、b上任取一點A、B，則異面直線a、b的距離 d =ABcosBAA=略證：如圖，EF為a、b的公垂線段，a為過F與a平行的直線，在a、b上任取一點A、B，過A作AAEF，交a于A，則，所以BAA=（或其補角）異面直線a、b的距離d =ABcosBAA= *其中，的坐標可利用a、b上的任一向量（或圖中的），及的定義得 解方程組可得。2、求點到面的距離求A點到平面的距離，設平面的法向量法為，在內任取一點B，則A點到平面的距離為d =，的坐標由與平面內的兩個不共線向量的垂直關系，得到方程組（類似于前面所述, 若方程組無解，則法向量與XOY平面平行，此時可改設，下同）。3、求直線到與直線平行的平面的距離求直線a到平面的距離，設平面的法向量法為，在直線a上任取一點A，在平面內任取一點B，則直線a到平面的距離d = 4、求兩平行平面的距離設兩個平行設平面、的公共法向量法為，在平面、內各任取一點A、B，則平面到平面的距離d = 三、證明線面、面面的平行、垂直關系設平面外的直線a和平面、，兩個面、的法向量為，則 四、應用舉例：例1：（04年高考廣東18）如右下圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分別是線段AB、BC上的點，且EB= FB=1.(1) 求二面角CDEC1的正切值;(2) 求直線EC1與FD1所成的余弦值. 解：（I）以A為原點，分別為x軸，y軸,z軸的正向建立空間直角坐標系，則D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)于是，設法向量與平面C1DE垂直，則有（II）設EC1與FD1所成角為，則例2：（04年高考遼寧卷17）如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是菱形，DAB=600，PD平面ABCD，PD=AD，點E為AB中點，點F為PD中點。（1）證明平面PED平面PAB； （2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值證明：（1）面ABCD是菱形，DAB=600，ABD是等邊三角形，又E是AB中點，連結BD EDB=300，BDC=600，EDC=900， 如圖建立坐標系D-ECP，設AD=AB=1，則PF=FD=，ED=，P（0，0，1），E（，0，0），B（，0） =（，-1），= （，0，-1），平面PED的一個法向量為=（0，1，0） ，設平面PAB的法向量為=（x, y, 1)由 =（, 0, 1)=0 即 平面PED平面PAB（2）解：由（1）知：平面PAB的法向量為=（, 0, 1), 設平面FAB的法向量為1=（x, y, -1)，由（1）知：F（0，0，），=（，-）， = （，0，-），由 1=（-, 0, -1)二面角P-AB-F的平面角的余弦值cos= |cos| =例3：（04江蘇高考18)在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，點P在棱CC1上，且CC1=4CP.()求直線AP與平面BCC1B1所成的角的大?。ńY果用反三角函數值表示）；()設O點在平面D1AP上的射影是H，求證：D1HAP；()求點P到平面ABD1的距離.解: ()如圖建立坐標系D-ACD1, 棱長為4 A（4，0，0），B（4，4，0），P（0，4，1） = (-4, 4, 1) , 顯然=（0，4，0）為平面BCC1B1的一個法向量， 直線AP與平面BCC1B1所成的角的正弦值sin= |cos|= 為銳角，直線AP與平面BCC1B1所成的角為arcsin () 設平面ABD1的法向量為=（x, y, 1)，=（0，4，0），=（-4，0，4）由， 得 =（1, 0, 1)， 點P到平面ABD1的距離 d = 例4：在長、寬、高分別為2，2，3的長方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面中心，求A1O與B1C的距離。解：如圖，建立坐標系D-ACD1，則O（1，1，0），A1（2，2，3），C（0，2，0） 設A1O與B1C的公共法向量為，則 A1O與B1C的距離為 d =例5：在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、