2018幾何問題之中點問題.doc

幾何問題之 中點問題1、掌握三角形的內角和定理；2、了解三角形三邊的關系，并且能進行簡單的應用；3、學習用三角形邊、角的關系進行簡單的計算和證明；4、學習分析問題、解決問題的能力。一、中點有關聯想歸類：1、等腰三角形中遇到底邊上的中點，常聯想“三線合一”的性質；2、直角三角形中遇到斜邊上的中點，常聯想“斜邊上的中線，等于斜邊的一半”；3、三角形中遇到兩邊的中點，常聯想“三角形的中位線定理”；4、兩條線段相等，為全等提供條件（遇到兩平行線所截得的線段的中點時，常聯想“八字型”全等三角形）；5、有中點時常構造垂直平分線；6、有中點時，常會出現面積的一半（中線平分三角形的面積）；7、倍長中線。二、與中點問題有關的四大輔助線：1、出現三角形的中線時，可以延長（簡稱“倍長中線”）；2、出現直角三角形斜邊的中點，作斜邊中線；3、出現三角形邊上的中點，作中位線；4、出現等腰三角形底邊上的中點，構造“三線合一” 。三、幾何證明之輔助線構造技巧： 1、假如作一條輔助線，能起到什么作用； 2、常作那些輔助線能與已知條件聯系更緊密，且不破壞已知條件。一、基礎回顧1、線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做這條線段的中點。2、若點是線段的中點，則： 從線段來看：； 從點與點的相對位置來看：點在點之間，且點關于點對稱。3、三角形的中線：連接三角形的一個頂點和它所對的邊的中點所得的線段叫做三角形的中線。 一個三角形有三條中線； 每條中線平分三角形的面積； 三角形的三條中線交于一點，每條中線被該點（重心）分成1:2的兩段； 三角形的三條中線把三角形分成六個面積相等的小三角形。2、 如何延長三角形的中線 1、延長1倍的中線：如圖，線段是的中線，延長線段至，使（即延長1倍的中線），再連接。總的來說，就可以得到一個平行四邊形和兩對（中心選轉型）全等三角形、，且每對全等三角形都關于點中心對稱；詳細地說，就是可以轉移角：，；可以移邊：，；可以構造平行線：，；可以構造邊長與、有關的三角形：、。（1） 延長倍的中線：（且）如左（右）下圖，點為中線（延長線）上的點，延長至，使，連接、.在平行四邊形中就可以得到類似（1）中的結論。注意：通常在已知條件或結論中測及到與、有關的邊與角時，會用這種輔助線. 整體做題思路：例題1例1、如圖，中，是中線.求證：。DC例題2例2、如圖，已知在中，是邊上的中線，是上一點，且，延長交于.求證：。DC例題3例3、已知中，求邊上的中線的范圍。DC 1、如圖1，在中，點為中點，于點，則等于（ ）A B C D2、如圖，中，為斜邊的中點，、分別為、上的點，且，若，試求的長。 3、如圖，在中，為邊的中點，為的平分線，過作的平行線，交于，交的延長線于。求證：。4、如圖所示，已知為中點，點在上，且，求證：。 備用圖1、 出現直角三角形斜邊的中點，作斜邊中線1、如圖，在中，直角所對的邊稱為的斜邊，由，過點作交于點，且。，.， 又，2、發(fā)現線段為斜邊上的中線，且等于斜邊的一半。3、作斜邊中線，可以構造出等腰三角形，從而得到相等的邊、相等的角。4、通常在知道直角三角形斜邊的中點的情況下，想到作斜邊中線這條輔助線。2、 出現三角形邊上的中點，作中位線1、中位線：連接三角形兩邊的中點所得的線段叫做三角形的中位線；也可以過三角形一邊的中點作平行于三角形另外一邊交于第三邊所得的線段也是中位線；以上是中位線的兩種作法，第一種可以直接用中位線的性質，第二種需要說明理由為什么是中位線，再用中位線的性質. 2、中位線的性質：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；3、中位線輔助線能起到的作用： 在線段大小關系上，三角形的中位線是三角形第三邊的一半，起著傳遞線段長度的功能。 在位置上，三角形的中位線平行三角形的第三邊，起著角的位置轉移和計算角的的功能。4、通常在以下兩種情況下，會作中位線輔助線： 有兩個（或兩個以上）的中點時； 有一邊中點，并且已知或求證中涉及到線段的倍分關系時。熟悉以下兩個圖形：例題4例4、如圖，在四邊形中，點、分別是、的中點，、的延長線分別交的延長線、。求證：。 例題5例5、已知：如圖，中，在上取點，在延長線上取點，連結交于點，若是中點，求證：。 例題6例6、如圖，中，是邊的中點，是邊的中點，連結并延長交于點。求證：。 例題7例7、如圖1-1，已知中，在中，連結，取中點，連結和，（1）若點在邊上，點在邊上且與點不重合，如圖1-1，求證：且；（2）將圖1-1中的繞點逆時針轉小于的角，如圖1-2，那么（1）中的結論是否仍成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，請給予證明。圖1-2圖1-15、如圖，