2012年全國中考二次函數(shù)經(jīng)典習題(含詳細答案).doc

2012年全國中考數(shù)學二次函數(shù)及詳細解答一解答題1（2012天津）已知拋物線y=ax2+bx+c（02ab）的頂點為P（x0，y0），點A（1，yA）、B（0，yB）、C（1，yC）在該拋物線上（）當a=1，b=4，c=10時，求頂點P的坐標；求的值；（）當y00恒成立時，求的最小值2（2012泰州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，邊長為2的正方形OABC的頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過B、C兩點（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）結合函數(shù)的圖象探索：當y0時x的取值范圍3（2012泰安）如圖，半徑為2的C與x軸的正半軸交于點A，與y軸的正半軸交于點B，點C的坐標為（1，0）若拋物線y=x2+bx+c過A、B兩點（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上是否存在點P，使得PBO=POB？若存在，求出點P的坐標；若不存在說明理由；（3）若點M是拋物線（在第一象限內的部分）上一點，MAB的面積為S，求S的最大（小）值4（2012臺州）某汽車在剎車后行駛的距離s（單位：米）與時間t（單位：秒）之間的關系得部分數(shù)據(jù)如下表：時間t（秒）00.20.40.60.81.01.2行駛距離s（米）02.85.27.28.81010.8（1）根據(jù)這些數(shù)據(jù)在給出的坐標系中畫出相應的點；（2）選擇適當?shù)暮瘮?shù)表示s與t之間的關系，求出相應的函數(shù)解析式；（3）剎車后汽車行駛了多長距離才停止？當t分別為t1，t2（t1t2）時，對應s的值分別為s1，s2，請比較與的大小，并解釋比較結果的實際意義5（2012隨州）在一次數(shù)學活動課上，老師出了一道題：（1）解方程x22x3=0巡視后，老師發(fā)現(xiàn)同學們解此道題的方法有公式法、配方法和十字相乘法（分解因式法）接著，老師請大家用自己熟悉的方法解第二道題：（2）解關于x的方程mx2+（m3）x3=0（m為常數(shù)，且m0）老師繼續(xù)巡視，及時觀察、點撥大家，再接著，老師將第二道題變式為第三道題：（3）已知關于x的函數(shù)y=mx2+（m3）x3（m為常數(shù)）求證：不論m為何值，此函數(shù)的圖象恒過x軸、y軸上的兩個定點（設x軸上的定點為A，y軸上的定點為C）；若m0時，設此函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點為B當ABC為銳角三角形時，觀察圖象，直接寫出m的取值范圍請你也用自己熟悉的方法解上述三道題6（2012綏化）如圖，二次函數(shù)y=ax24x+c的圖象經(jīng)過坐標原點，與x軸交于點A（4，0）（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在拋物線上存在點P，滿足SAOP=8，請直接寫出點P的坐標7（2012蘇州）如圖，已知拋物線y=x2（b+1）x+（b是實數(shù)且b2）與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B的左側），與y軸的正半軸交于點C（1）點B的坐標為_，點C的坐標為_（用含b的代數(shù)式表示）；（2）請你探索在第一象限內是否存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；（3）請你進一步探索在第一象限內是否存在點Q，使得QCO，QOA和QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由8（2012深圳）如圖，已知ABC的三個頂點坐標分別為A（4，0）、B（1，0）、C（2，6）（1）求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線解析式；（2）設直線BC交y軸于點E，連接AE，求證：AE=CE；（3）設拋物線與y軸交于點D，連接AD交BC于點F，試問以A、B、F為頂點的三角形與ABC相似嗎？9（2012紹興）把一邊長為40cm的正方形硬紙板，進行適當?shù)募舨茫鄢梢粋€長方形盒子（紙板的厚度忽略不計）（1）如圖，若在正方形硬紙板的四角各剪一個同樣大小的正方形，將剩余部分折成一個無蓋的長方形盒子要使折成的長方形盒子的底面積為484cm2，那么剪掉的正方形的邊長為多少？折成的長方形盒子的側面積是否有最大值？如果有，求出這個最大值和此時剪掉的正方形的邊長；如果沒有，說明理由（2）若在正方形硬紙板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一條邊在正方形硬紙板的邊上），將剩余部分折成一個有蓋的長方形盒子，若折成的一個長方形盒子的表面積為550cm2，求此時長方形盒子的長、寬、高（只需求出符合要求的一種情況）10（2012紹興）如圖，矩形OABC的兩邊在坐標軸上，連接AC，拋物線y=x24x2經(jīng)過A，B兩點（1）求A點坐標及線段AB的長；（2）若點P由點A出發(fā)以每秒1個單位的速度沿AB邊向點B移動，1秒后點Q也由點A出發(fā)以每秒7個單位的速度沿AO，OC，CB邊向點B移動，當其中一個點到達終點時另一個點也停止移動，點P的移動時間為t秒當PQAC時，求t的值；當PQAC時，對于拋物線對稱軸上一點H，HOQPOQ，求點H的縱坐標的取值范圍11（2012陜西）如果一條拋物線y=ax2+bx+c（a0）與x軸有兩個交點，那么以該拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”（1）“拋物線三角形”一定是_三角形；（2）若拋物線y=x2+bx（b0）的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如圖，OAB是拋物線y=x2+bx（b0）的“拋物線三角形”，是否存在以原點O為對稱中心的矩形ABCD？若存在，求出過O、C、D三點的拋物線的表達式；若不存在，說明理由12（2012山西）綜合與實踐：如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+2x+3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點D是該拋物線的頂點（1）求直線AC的解析式及B、D兩點的坐標；（2）點P是x軸上一個動點，過P作直線lAC交拋物線于點Q，試探究：隨著P點的運動，在拋物線上是否存在點Q，使以點A、P、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由（3）請在直線AC上找一點M，使BDM的周長最小，求出M點的坐標13（2012日照）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，且A點坐標為（3，0），經(jīng)過B點的直線交拋物線于點D（2，3）（1）求拋物線的解析式和直線BD解析式；（2）過x軸上點E（a，0）（E點在B點的右側）作直線EFBD，交拋物線于點F，是否存在實數(shù)a使四邊形BDFE是平行四邊形？如果存在，求出滿足條件的a；如果不存在，請說明理由14（2012泉州）如圖，O為坐標原點，直線l繞著點A（0，2）旋轉，與經(jīng)過點C（0，1）的二次函數(shù)y=x2+h的圖象交于不同的兩點P、Q（1）求h的值；（2）通過操作、觀察，算出POQ的面積的最小值（不必說理）；（3）過點P、C作直線，與x軸交于點B，試問：在直線l的旋轉過程中，四邊形AOBQ是否為梯形？若是，請說明理由；若不是，請指出四邊形的形狀15（2012衢州）如圖，把兩個全等的RtAOB和RtCOD分別置于平面直角坐標系中，使直角邊OB、OD在x軸上已知點A（1，2），過A、C兩點的直線分別交x軸、y軸于點E、F拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、A、C三點（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；（2）點P為線段OC上一個動點，過點P作y軸的平行線交拋物線于點M，交x軸于點N，問是否存在這樣的點P，使得四邊形ABPM為等腰梯形？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由（3）若AOB沿AC方向平移（點A始終在線段AC上，且不與點C重合），AOB在平移過程中與COD重疊部分面積記為S試探究S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由16（2012青島）在“母親節(jié)”期間，某校部分團員參加社會公益活動，準備購進一批許愿瓶進行銷售，并將所得利潤捐給慈善機構根據(jù)市場調查，這種許愿瓶一段時間內的銷售量y（個）與銷售單價x（元/個）之間的對應關系如圖所示：（1）試判斷y與x之間的函數(shù)關系，并求出函數(shù)關系式；（2）若許愿瓶的進價為6元/個，按照上述市場調查的銷售規(guī)律，求銷售利潤w（元）與銷售單價x（元/個）之間的函數(shù)關系式；（3）若許愿瓶的進貨成本不超過900元，要想獲得最大利潤，試確定這種許愿瓶的銷售單價，并求出此時的最大利潤17（2012黔西南州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線經(jīng)過點A（0，4），B（1，0），C（5，0），拋物線的對稱軸l與x軸相交于點M（1）求拋物線對應的函數(shù)解析式和對稱軸；（2）設點P為拋物線（x5）上的一點，若以A、O、M、P為頂點的四邊形的四條邊的長度為四個連續(xù)的正整數(shù)，請你直接寫出點P的坐標；（3）連接AC，探索：在直線AC下方的拋物線上是否存在一點N，使NAC的面積最大？若存在，請你求出點N的坐標；若不存在，請說明理由18（2012黔東南州）如圖，已知拋物線經(jīng)過點A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點（1）求拋物線的解析式（2）點M是線段BC上的點（不與B，C重合），過M作MNy軸交拋物線于N，若點M的橫坐標為m，請用m的代數(shù)式表示MN的長（3）在（2）的條件下，連接NB、NC，是否存在m，使BNC的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，說明理由19（2012莆田）如圖，某種新型導彈從地面發(fā)射點L處發(fā)射，在初始豎直加速飛行階段，導彈上升的高度y（km）與飛行時間x（s）之間的關系式為 （0x10）發(fā)射3s后，導彈到達A點，此時位于與L同一水平面的R處雷達站測得AR的距離是2km，再過3s后，導彈到達B點（1）求發(fā)射點L與雷達站R之間的距離；（2）當導彈到達B點時，求雷達站測得的仰角（即BRL）的正切值20（2012攀枝花）如圖，在平面直角坐標系xOy中，四邊形ABCD是菱形，頂點A、C、D均在坐標軸上，且AB=5，sinB=（1）求過A、C、D三點的拋物線的解析式；（2）記直線AB的解析式為y1=mx+n，（1）中拋物線的解析式為y2=ax2+bx+c，求當y1y2時，自變量x的取值范圍；（3）設直線AB與（1）中拋物線的另一個交點為E，P點為拋物線上A、E兩點之間的一個動點，當P點在何處時，PAE的面積最大？并求出面積的最大值21（2012寧波）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A（1，0），B（2，0），交y軸于C（0，2），過A，C畫直線（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點P在x軸正半軸上，且PA=PC，求OP的長；（3）點M在二次函數(shù)圖象上，以M為圓心的圓與直線AC相切，切點為H若M在y軸右側，且CHMAOC（點C與點A對應），求點M的坐標；若M的半徑為，求點M的坐標22（2012南通）如圖，經(jīng)過點A（0，4）的拋物線y=x2+bx+c與x軸相交于B（2，0），C兩點，O為坐標原點（1）求拋物線的解析式；（2）將拋物線y=x2+bx+c向上平移個單位長度，再向左平移m（m0）個單位長度得到新拋物線，若新拋物線的頂點P在ABC內，求m的取值范圍；（3）設點M在y軸上，OMB+OAB=ACB，求AM的長23（2012南充）如圖，C的內接AOB中，AB=AO=4，tanAOB=，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點A（4，0）與點（2，6）（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）直線m與C相切于點A，交y軸于點D動點P在線段OB上，從點O出發(fā)向點B運動；同時動點Q在線段DA上，從點D出發(fā)向點A運動；點P的速度為每秒一個單位長，點Q的速度為每秒2個單位長，當PQAD時，求運動時間t的值；（3）點R在拋物線位于x軸下方部分的圖象上，當ROB面積最大時，求點R的坐標24（2012南昌）如圖，已知二次函數(shù)L1：y=x24x+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B左邊），與y軸交于點C（1）寫出二次函數(shù)L1的開口方向、對稱軸和頂點坐標；（2）研究二次函數(shù)L2：y=kx24kx+3k（k0）寫出二次函數(shù)L2與二次函數(shù)L1有關圖象的兩條相同的性質；若直線y=8k與拋物線L2交于E、F兩點，問線段EF的長度是否發(fā)生變化？如果不會，請求出EF的長度；如果會，請說明理由25（2012內江）如圖，已知點A（1，0），B（4，0），點C在y軸的正半軸上，且ACB=90，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C三點，其頂點為M（1）求拋物線y=ax2+bx+c的解析式；（2）試判斷直線CM與以AB為直徑的圓的位置關系，并加以證明；（3）在拋物線上是否存在點N，使得SBCN=4？如果存在，那么這樣的點有幾個？如果不存在，請說明理由26（2012綿陽）如圖1，在直角坐標系中，O是坐標原點，點A在y軸正半軸上，二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象F交x軸于B、C兩點，交y軸于M點，其中B（3，0），M（0，1）已知AM=BC（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）證明：在拋物線F上存在點D，使A、B、C、D四點連接而成的四邊形恰好是平行四邊形，并請求出直線BD的解析式；（3）在（2）的條件下，設直線l過D且分別交直線BA、BC于不同的P、Q兩點，AC、BD相交于N若直線lBD，如圖1，試求的值；若l為滿足條件的任意直線如圖2中的結論還成立嗎？若成立，證明你的猜想；若不成立，請舉出反例27（2012梅州）（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p24q0）的兩根為x1、x2；求證：x1+x2=p，x1x2=q（2）已知拋物線y=x2+px+q與x軸交于A、B兩點，且過點（1，1），設線段AB的長為d，當p為何值時，d2取得最小值，并求出最小值28（2012婁底）已知二次函數(shù)y=x2（m22）x2m的圖象與x軸交于點A（x1，0）和點B（x2，0），x1x2，與y軸交于點C，且滿足（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）探究：在直線y=x+3上是否存在一點P，使四邊形PACB為平行四邊形？如果有，求出點P的坐標；如果沒有，請說明理由29（2012臨沂）如圖，點A在x軸上，OA=4，將線段OA繞點O順時針旋轉120至OB的位置（1）求點B的坐標；（2）求經(jīng)過點A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由30（2012聊城）某電子廠商投產一種新型電子產品，每件制造成本為18元，試銷過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的關系可以近似地看作一次函數(shù)y=2x+100（利潤=售價制造成本）（1）寫出每月的利潤z（萬元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關系式；（2）當銷售單價為多少元時，廠商每月能獲得350萬元的利潤？當銷售單價為多少元時，廠商每月能獲得最大利潤？最大利潤是多少？（3）根據(jù)相關部門規(guī)定，這種電子產品的銷售單價不能高于32元，如果廠商要獲得每月不低于350萬元的利潤，那么制造出這種產品每月的最低制造成本需要多少萬元？答案與評分標準一解答題（共30小題）1（2012天津）已知拋物線y=ax2+bx+c（02ab）的頂點為P（x0，y0），點A（1，yA）、B（0，yB）、C（1，yC）在該拋物線上（）當a=1，b=4，c=10時，求頂點P的坐標；求的值；（）當y00恒成立時，求的最小值考點：二次函數(shù)綜合題。菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：計算題。分析：（）將a=1，b=4，c=10代入解析式，即可得到二次函數(shù)解析式；將二次函數(shù)化為頂點式，即可得到得到拋物線頂點坐標；將A（1，yA）、B（0，yB）、C（1，yC）分別代入解析式，即可求出yA、yB、CyC的值，然后計算的值即可；（）根據(jù)02ab，求出x0=1，作出圖中輔助線：點A作AA1x軸于點A1，則AA1=yA，OA1=1連接BC，過點C作CDy軸于點D，則BD=yByC，CD=1過點A作AFBC，交拋物線于點E（x1，yE），交x軸于點F（x2，0），證出RtAFA1RtBCD，得到=1x2，再根據(jù)AEGBCD得到=1x1，然后求出yA、yB、yC、EyE的表達式，然后y00恒成立，得到x2x11，從而利用不等式求出的最小值解答：解：（）若a=1，b=4，c=10，此時拋物線的解析式為y=x2+4x+10y=x2+4x+10=（x+2）2+6，拋物線的頂點坐標為P（2，6）點A（1，yA）、B（0，yB）、C（1，yC）在拋物線y=x2+4x+10上，yA=15，yB=10，yC=7=5（）由02ab，得x0=1由題意，如圖過點A作AA1x軸于點A1，則AA1=yA，OA1=1連接BC，過點C作CDy軸于點D，則BD=yByC，CD=1過點A作AFBC，交拋物線于點E（x1，yE），交x軸于點F（x2，0），則FAA1=CBD于是RtAFA1RtBCD有，即=1x2過點E作EGAA1于點G，易得AEGBCD有，即=1x1點A（1，yA）、B（0，yB）、C（1，yC）、E（x1，yE）在拋物線y=ax2+bx+c上，得yA=a+b+c，yB=c，yC=ab+c，yE=，=1x1化簡，得，解得x1=2（x1=1舍去）y00恒成立，根據(jù)題意，有x2x11，則1x21x1，即1x23的最小值為3點評：本題考查了配方法求二次函數(shù)頂點坐標，函數(shù)圖象上點的坐標特征，以及相似三角形的性質，利用不等式求最值，綜合性很強，旨在考查同學們的綜合邏輯思維能力，要認真對待2（2012泰州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，邊長為2的正方形OABC的頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過B、C兩點（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）結合函數(shù)的圖象探索：當y0時x的取值范圍考點：二次函數(shù)綜合題。菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：綜合題。分析：（1）根據(jù)正方形的性質得出點B、C的坐標，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式解答；（2）令y=0求出二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標，再根據(jù)y0，二次函數(shù)圖象在x軸的上方寫出c的取值范圍即可解答：解：（1）正方形OABC的邊長為2，點B、C的坐標分別為（2，2），（0，2），解得，二次函數(shù)的解析式為y=x2+x+2；（2）令y=0，則x2+x+2=0，整理得，x22x3=0，解得x1=1，x2=3，二次函數(shù)與x軸的交點坐標為（1，0）（3，0），當y0時，x的取值范圍是1x3點評：本題綜合考查了二次函數(shù)，正方形的性質，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，根據(jù)正方形的性質求出點B、C的坐標是解題的關鍵，也是本題的突破口，本題在此類題目中比較簡單3（2012泰安）如圖，半徑為2的C與x軸的正半軸交于點A，與y軸的正半軸交于點B，點C的坐標為（1，0）若拋物線y=x2+bx+c過A、B兩點（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上是否存在點P，使得PBO=POB？若存在，求出點P的坐標；若不存在說明理由；（3）若點M是拋物線（在第一象限內的部分）上一點，MAB的面積為S，求S的最大（?。┲悼键c：二次函數(shù)綜合題。菁優(yōu)網(wǎng)版權所有分析：（1）利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式因為已知A（3，0），所以需要求得B點坐標如答圖1，連接OB，利用勾股定理求解；（2）由PBO=POB，可知符合條件的點在線段OB的垂直平分線上如答圖2，OB的垂直平分線與拋物線有兩個交點，因此所求的P點有兩個，注意不要漏解；（3）如答圖3，作MHx軸于點H，構造梯形MBOH與三角形MHA，求得MAB面積的表達式，這個表達式是關于M點橫坐標的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的極值求得MAB面積的最大值解答：解：（1）如答圖1，連接OBBC=2，OC=1OB=B（0，）將A（3，0），B（0，）代入二次函數(shù)的表達式得，解得，y=x2+x+（2）存在如答圖2，作線段OB的垂直平分線l，與拋物線的交點即為點PB（0，），O（0，0），直線l的表達式為y=代入拋物線的表達式，得x2+x+=；解得x=1，P（1，）（3）如答圖3，作MHx軸于點H設M（xm，ym），則SMAB=S梯形MBOH+SMHASOAB=（MH+OB）OH+HAMHOAOB=（ym+）xm+（3xm）ym3=xm+ymym=xm2+xm+，SMAB=xm+（xm2+xm+）=xm2+xm=（xm）2+當xm=時，SMAB取得最大值，最大值為點評：本題是二次函數(shù)綜合題，重點考查二次函數(shù)相關性質、圓的性質、垂直平分線/勾股定理、面積求法等知識點第（2）問中注意垂直平分線與拋物線的交點有兩個，不要漏解；第（3）問中，重點關注圖形面積的求法以及求極值的方法本題考查知識點較多，要求同學們對所學知識要做到理解深刻、融會貫通、靈活運用，如此方能立于不敗之地4（2012臺州）某汽車在剎車后行駛的距離s（單位：米）與時間t（單位：秒）之間的關系得部分數(shù)據(jù)如下表：時間t（秒）00.20.40.60.81.01.2行駛距離s（米）02.85.27.28.81010.8（1）根據(jù)這些數(shù)據(jù)在給出的坐標系中畫出相應的點；（2）選擇適當?shù)暮瘮?shù)表示s與t之間的關系，求出相應的函數(shù)解析式；（3）剎車后汽車行駛了多長距離才停止？當t分別為t1，t2（t1t2）時，對應s的值分別為s1，s2，請比較與的大小，并解釋比較結果的實際意義考點：二次函數(shù)的應用。菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：行程問題。分析：（1）描點，用平滑曲線連接即可；（2）設出二次函數(shù)解析式，把3個點的坐標代入可得二次函數(shù)解析式，進而再把其余的點代入驗證是否在二次函數(shù)上；（3）汽車在剎車時間最長時停止，利用公式法，結合（2）得到的函數(shù)解析式，求得相應的最值即可；分別求得所給代數(shù)式的值，根據(jù)所給時間的大小，比較即可解答：解：（1）描點圖所示：（畫圖基本準確均給分）；（2）由散點圖可知該函數(shù)為二次函數(shù)設二次函數(shù)的解析式為：s=at2+bt+c，拋物線經(jīng)過點（0，0），c=0，又由點（0.2，2.8），（1，10）可得：解得：a=5，b=15；二次函數(shù)的解析式為：s=5t2+15t；經(jīng)檢驗，其余個點均在s=5t2+15t上（3）汽車剎車后到停止時的距離即汽車滑行的最大距離，當t=時，滑行距離最大，S=，即剎車后汽車行駛了米才停止s=5t2+15t，s1=5t12+15t1，s2=5t22+15t2=5t1+15；同理=5t2+15，t1t2，其實際意義是剎車后到t2時間內的平均速度小于剎車后到t1時間內的平均速度點評：考查二次函數(shù)的應用；結合實際意義比較剎車時的平均速度的大小是解決本題的難點5（2012隨州）在一次數(shù)學活動課上，老師出了一道題：（1）解方程x22x3=0巡視后，老師發(fā)現(xiàn)同學們解此道題的方法有公式法、配方法和十字相乘法（分解因式法）接著，老師請大家用自己熟悉的方法解第二道題：（2）解關于x的方程mx2+（m3）x3=0（m為常數(shù)，且m0）老師繼續(xù)巡視，及時觀察、點撥大家，再接著，老師將第二道題變式為第三道題：（3）已知關于x的函數(shù)y=mx2+（m3）x3（m為常數(shù)）求證：不論m為何值，此函數(shù)的圖象恒過x軸、y軸上的兩個定點（設x軸上的定點為A，y軸上的定點為C）；若m0時，設此函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點為B當ABC為銳角三角形時，觀察圖象，直接寫出m的取值范圍請你也用自己熟悉的方法解上述三道題考點：二次函數(shù)綜合題。菁優(yōu)網(wǎng)版權所有分析：（1）直接根據(jù)因式分解法解得x22x3=0的根；（2）觀察方程mx2+（m3）x3=0可把原方程分解成（x+1）（mx3）=0，解出方程的兩根即可；也可以運用公式法進行解答；（3）首先進行分類討論，當m=0時，函數(shù)是一次函數(shù)，可以求出函數(shù)恒過x軸、y軸上的兩個定點，當m0時，該函數(shù)是二次函數(shù)，函數(shù)的圖象是拋物線，結合（2）問知識，可以得到恒過x軸、y軸上的兩個定點；當m0時，由可知拋物線開口向上，且過點A（1，0），C（0，3）和B（，0），觀察圖象并結合題干條件，當ABC為Rt時，可知AOCCOB，進而求出OB的長度，若ABC為銳角三角形時，則09，解出m的取值范圍即可解答：解：（1）由x22x3=0，得（x+1）（x3）=0，x1=1，x2=3； （3分）（2）方法一：由mx2+（m3）x3=0，得（x+1）（mx3）=0，m0，x1=1，x2=（3分）方法2：由公式法：，x1=1，x2=；（3）1當m=0時，函數(shù)y=mx2+（m3）x3為y=3x3，令y=0，得x=1；令x=0，則y=3直線y=3x3過定點A（1，0），C（0，3）（2分）2當m0時，函數(shù)y=mx2+（m3）x3為y=（x+1）（mx3），拋物線y=（x+1）（mx3）恒過兩定點A（1，0），C（0，3）；當m0時，由可知拋物線開口向上，且過點A（1，0），C（0，3）和B（，0），（1分）觀察圖象，可知，當ABC為直角三角形時，則AOCCOB，|OC|2=|OA|OB|，32=1|OB|，OB=9，即B（9，0），當即：m，當m時，ABC為銳角三角形； （2分）觀察圖象可知當m0且m3時，點B在x軸的負半軸上，B與A不重合ABC中的BAC90，ABC是鈍角三角形當m0且m3時，ABC為鈍角三角形，綜上當m時，ABC為銳角三角形 （2分）點評：本題主要考查二次函數(shù)綜合題的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)圖象得性質，特別是解答第（3）問時，首先解出三角形ABC是直角三角形時m的值，進而求出ABC是銳角三角形時m的取值范圍，此題難度較大6（2012綏化）如圖，二次函數(shù)y=ax24x+c的圖象經(jīng)過坐標原點，與x軸交于點A（4，0）（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在拋物線上存在點P，滿足SAOP=8，請直接寫出點P的坐標考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征。菁優(yōu)網(wǎng)版權所有分析：（1）把點A原點的坐標代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；（2）根據(jù)三角形的面積公式求出點P到AO的距離，然后分點P在x軸的上方與下方兩種情況解答即可解答：解：（1）由已知條件得解得，所以，此二次函數(shù)的解析式為y=x24x；（2）點A的坐標為（4，0），AO=4，設點P到x軸的距離為h，則SAOP=4h=4，解得h=4，當點P在x軸上方時，x24x=4，解得x=2，所以，點P的坐標為（2，4），當點P在x軸下方時，x24x=4，解得x1=2+2，x2=22，所以，點P的坐標為（2+2，4）或（22，4），綜上所述，點P的坐標是：（2，4）、（2+2，4）、（22，4）點評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上的點的坐標特征，（2）要注意分點P在x軸的上方與下方兩種情況討論求解7（2012蘇州）如圖，已知拋物線y=x2（b+1）x+（b是實數(shù)且b2）與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B的左側），與y軸的正半軸交于點C（1）點B的坐標為（b，0），點C的坐標為（0，）（用含b的代數(shù)式表示）；（2）請你探索在第一象限內是否存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；（3）請你進一步探索在第一象限內是否存在點Q，使得QCO，QOA和QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由考點：二次函數(shù)綜合題。菁優(yōu)網(wǎng)版權所有分析：（1）令y=0，即y=x2（b+1）x+=0，解關于x的一元二次方程即可求出A，B橫坐標，令x=0，求出y的值即C的縱坐標；（2）存在，先假設存在這樣的點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形設點P的坐標為（x，y），連接OP，過P作PDx軸，PEy軸，垂足分別為D、E，利用已知條件證明PECPDB，進而求出x和y的值，從而求出P的坐標；（3）存在，假設存在這樣的點Q，使得QCO，QOA和QAB中的任意兩個三角形均相似，有條件可知：要使QOA與QAB相似，只能QAO=BAQ=90，即QAx軸；要使QOA與OQC相似，只能QCO=90或OQC=90；再分別討論求出滿足題意Q的坐標即可解答：解：（1）令y=0，即y=x2（b+1）x+=0，解得：x=1或b，b是實數(shù)且b2，點A位于點B的左側，點B的坐標為（b，0），令x=0，解得：y=，點C的坐標為（0，），故答案為：（b，0），（0，）；（2）存在，假設存在這樣的點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形設點P的坐標為（x，y），連接OP則S四邊形POCB=SPCO+SPOB=x+by=2b，x+4y=16過P作PDx軸，PEy軸，垂足分別為D、E，PEO=EOD=ODP=90四邊形PEOD是矩形EPO=90EPC=DPBPECPDB，PE=PD，即x=y由解得由PECPDB得EC=DB，即=b，解得b=2符合題意P的坐標為（，）；（3）假設存在這樣的點Q，使得QCO，QOA和QAB中的任意兩個三角形均相似QAB=AOQ+AQO，QABAOQ，QABAQO要使QOA與QAB相似，只能QAO=BAQ=90，即QAx軸b2，ABOA，Q0AABQ只能AOQ=AQB此時OQB=90，由QAx軸知QAy軸COQ=OQA要使QOA與OQC相似，只能QCO=90或OQC=90（I）當OCQ=90時，CQOQOAAQ=CO=由AQ=AQ2=OAAB得：（）2=b1解得：b=84b2，b=8+4點Q的坐標是（1，2+）（II）當OQC=90時，QCOQOA，=，即OQ2=OCAQ又OQ2=OAOB，OCAQ=OAOB即AQ=1b解得：AQ=4，此時b=172符合題意，點Q的坐標是（1，4）綜上可知，存在點Q（1，2+）或Q（1，4），使得QCO，QOA和QAB中的任意兩個三角形均相似點評：此題是一道綜合題，難度較大，主要考查二次函數(shù)的性質，全等三角形的判定和性質，以及相似三角形的判定和性質，還考查等腰三角形的性質及勾股定理，同時還讓學生探究存在性問題，對待問題要思考全面，學會分類討論的思想8（2012深圳）如圖，已知ABC的三個頂點坐標分別為A（4，0）、B（1，0）、C（2，6）（1）求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線解析式；（2）設直線BC交y軸于點E，連接AE，求證：AE=CE；（3）設拋物線與y軸交于點D，連接AD交BC于點F，試問以A、B、F為頂點的三角形與ABC相似嗎？考點：二次函數(shù)綜合題。菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：綜合題。分析：（1）利用待定系數(shù)發(fā)求解即可得出拋物線的解析式；（2）求出直線BC的函數(shù)解析式，從而得出點E的坐標，然后分別求出AE及CE的長度即可證明出結論；（3）求出AD的函數(shù)解析式，然后結合直線BC的解析式可得出點F的坐標，由題意得ABF=CBA，然后判斷出是否等于即可作出判斷解答：解：（1）設函數(shù)解析式為：y=ax2+bx+c，由函數(shù)經(jīng)過點A（4，0）、B（1，0）、C（2，6），可得，解得：，故經(jīng)過A、B、C三點的拋物線解析式為：y=x23x+4；（2）設直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b，由題意得：，解得：，即直線BC的解析式為y=2x+2故可得點E的坐標為（0，2），從而可得：AE=2，CE=2，故可得出AE=CE；（3）相似理由如下：設直線AD的解析式為y=kx+b，則，解得：，即直線AD的解析式為y=x+4聯(lián)立直線AD與直線BC的函數(shù)解析式可得：，解得：，即點F的坐標為（，），則BF=，AF=，又AB=5，BC=3，=，=，=，又ABF=CBA，ABFCBA故以A、B、F為頂點的三角形與ABC相似點評：此題屬于二次函數(shù)的綜合題目，涉及了相似三角形的判定與性質、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，兩點間的距離公式，解答本題要求我們仔細審題，將所學知識聯(lián)系起來，綜合解答9（2012紹興）把一邊長為40cm的正方形硬紙板，進行適當?shù)募舨?，折成一個長方形盒子（紙板的厚度忽略不計）（1）如圖，若在正方形硬紙板的四角各剪一個同樣大小的正方形，將剩余部分折成一個無蓋的長方形盒子要使折成的長方形盒子的底面積為484cm2，那么剪掉的正方形的邊長為多少？折成的長方形盒子的側面積是否有最大值？如果有，求出這個最大值和此時剪掉的正方形的邊長；如果沒有，說明理由（2）若在正方形硬紙板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一條邊在正方形硬紙板的邊上），將剩余部分折成一個有蓋的長方形盒子，若折成的一個長方形盒子的表面積為550cm2，求此時長方形盒子的長、寬、高（只需求出符合要求的一種情況）考點：二次函數(shù)的應用；一元二次方程的應用。菁優(yōu)網(wǎng)版權所有分析：（1）假設剪掉的正方形的邊長為xcm，根據(jù)題意得出（402x）2=484，求出即可；假設剪掉的正方形的邊長為xcm，盒子的側面積為ycm2，則y與x的函數(shù)關系為：y=4（402x）x，利用二次函數(shù)最值求出即可；（2）假設剪掉的正方形的邊長為xcm，利用折成的一個長方形盒子的表面積為550cm2，得出等式方程求出即可解答：解：（1）設剪掉的正方形的邊長為xcm則（402x）2=484，即402x=22，解得x1=31（不合題意，舍去），x2=9，剪掉的正方形的邊長為9cm側面積有最大值設剪掉的正方形的邊長為xcm，盒子的側面積為ycm2，則y與x的函數(shù)關系為：y=4（402x）x，即y=8x2+160x，即y=8（x10）2+800，x=10時，y最大=800即當剪掉的正方形的邊長為10cm時，長方形盒子的側面積最大為800cm2（2）在如圖的一種剪裁圖中，設剪掉的正方形的邊長為xcm2（402x）（20x）+2x（20x）+2x（402x）=550，解得：x1=35（不合題意，舍去），x2=15剪掉的正方形的邊長為15cm此時長方體盒子的長為15cm，寬為10cm，高為5cm點評：此題主要考查了二次函數(shù)的應用，找到關鍵描述語，找到等量關系準確的列出函數(shù)關系式是解決問題的關鍵10（2012紹興）如圖，矩形OABC的兩邊在坐標軸上，連接AC，拋物線y=x24x2經(jīng)過A，B兩點（1）求A點坐標及線段AB的長；（2）若點P由點A出發(fā)以每秒1個單位的速度沿AB邊向點B移動，1秒后點Q也由點A出發(fā)以每秒7個單位的速度沿AO，OC，CB邊向點B移動，當其中一個點到達終點時另一個點也停止移動，點P的移動時間為t秒當PQAC時，求t的值；當PQAC時，對于拋物線對稱軸上一點H，HOQPOQ，求點H的縱坐標的取值范圍考點：二次函數(shù)綜合題。菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：壓軸題；動點型；分類討論。分析：（1）已知拋物線的解析式，將x=0代入即可得A點坐標；由于四邊形OABC是矩形，那么A、B縱坐標相同，代入該縱坐標可求出B點坐標，則AB長可求（2）Q點的位置可分：在OA上、在OC上、在CB上 三段來分析，若PQAC時，很顯然前兩種情況符合要求，首先確定這三段上t的取值范圍，然后通過相似三角形（或構建相似三角形），利用比例線段來求出t的值，然后由t的取值范圍將不合題意的值舍去；當PQAC時，BPQBAC，通過比例線段求出t的值以及P、Q點的坐標，可判定P點在拋物線的對稱軸上，若P、H1重合，此時有H1OQ=POQ，顯然若做點H1關于OQ的對稱點H2，那么亦可得到H2OQ=POQ，而題干要求的是HOQPOQ，那么H1點以下、H2點以上的H點都是符合要求的解答：解：（1）由拋物線y=x24x2知：當x=0時，y=2，A（0，2）由于四邊形OABC是矩形，所以ABx軸，即A、B的縱坐標相同；當y=2時，2=x24x2，解得x1=0，x2=4，B（4，2），AB=4（2）由題意知：A點移動路程為AP=t，Q點移動路程為7（t1）=7t7當Q點在OA上時，即07tt2，1t時，如圖1，若PQAC，則有RtQAPRtABC=，即，t=，此時t值不合題意當Q點在OC上時，即27t76，t時，如圖2，過Q點作QDABAD=OQ=7（t1）2=7t9DP=t（7t9）=96t若PQAC，則有RtQDPRtABC，即=，t=，t=符合題意當Q點在BC上時，即67t78，t時，如圖3，若PQAC，過Q點作QGAC，則QGPG，即GQP=90QPB90，這與QPB的內角和為180矛盾，此時PQ不與AC垂直綜上所述，當t=時，有PQAC當PQAC時，如圖4，BPQBAC，=，=，解得t=2，即當t=2時，PQAC此時AP=2，BQ=CQ=1，P（2，2），Q（4，1）拋物線對稱軸的解析式為x=2，當H1為對稱軸與OP的交點時，有H1OQ=POQ，當yH2時，HOQPOQ作P點關于OQ的對稱點P，連接PP交OQ于點M，過P作PN垂直于對稱軸，垂足為N，連接OP，在RtOCQ中，OC=4，CQ=1OQ=，SOPQ=S四邊形ABCDSAOPSCOQSQBP=3=OQPM，PM=，PP=2PM=，NPP=COQRtCOQRtNPP，PN=，PN=，P（，），直線OP的解析式為y=x，OP與NP的交點H2（2，）當yH時，HOPPOQ綜上所述，當yH2或yH時，HOQPOQ點評：函數(shù)的動點問題是較難的函數(shù)綜合題，在解題時要尋找出關鍵點，然后正確的進行分段討論，做到不重復、不漏解11（2012陜西）如果一條拋物線y=ax2+bx+c（a0）與x軸有兩個交點，那么以該拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”（1）“拋物線三角形”一定是等腰三角形；（2）若拋物線y=x2+bx（b0）的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如圖，OAB是拋物線