數(shù)學北師大版八年級上冊勾股定理的應用教學設計.doc

勾股定理的教學設計一、教案背景（一）教材分析這節(jié)課是九年制義務教育初級中學教材華師大版八年級上冊第十四章第一節(jié)勾股定理第一課時：直角三角形三邊的關系。勾股定理是反映自然界基本規(guī)律的一條重要結論，它是直角三角形的一條重要性質，揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關系。它把三角形有一個直角的“形”的特點，轉化為三邊之間的“數(shù)”的關系，它是數(shù)形結合的典范。它可以解決許多直角三角形中的計算問題，勾股定理有著悠久的歷史，在數(shù)學發(fā)展中起過重要的作用，在現(xiàn)實世界中有著廣泛的作用。是初中數(shù)學教學內容重點之一。學生通過對勾股定理的學習，可以在原有的基礎上對直角三角形有進一步的認識和理解。也可了解我國古代在勾股定理研究方面的成就，激發(fā)熱愛祖國，熱愛祖國悠久文化的思想感情。（二）學情分析1通過初一一年的數(shù)學學習，初二學生能積極參與數(shù)學學習活動，對數(shù)學學習有較強的好奇心和求知欲，他們能探索具體問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，也能較清楚地表達解決問題的過程及所獲得的解題經驗，他們愿意對數(shù)學問題進行討論，并敢于對不懂的地方和不同的觀點提出自己的疑問。2.考慮到三角尺學生天天在用，較為熟悉，但真正仔細研究過三角尺的同學并不多，通過這樣的情景設計，能非常簡單地將學生的注意力引向本節(jié)課的本質。3.以與勾股定理有關的人文歷史知識為背景展開對勾股定理的認識，能激發(fā)學生的學習興趣。（三）教學設想1課型：新授課2設計理念：本教案以學生手中舞動的三角尺為知識背景展開，以勾股定理在古今中外的發(fā)展史為主線貫穿課堂始終，讓學生對勾股定理的發(fā)展過程有所了解，讓他們感受勾股定理的豐富文化內涵，體驗勾股定理的探索和運用過程，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，特別是通過向學生介紹我國古代在勾股定理研究和運用方面的成就，激發(fā)學生熱愛祖國，熱愛祖國悠久文化的思想感情，培養(yǎng)他們的民族自豪感和探究創(chuàng)新的精神。3教學思路：探索結論-得出結論-歷史介紹-初步應用結論-應用結論解決簡單的實際問題。二、教學目標（一）知識目標1理解回顧直角三角形中三角之間的關系，掌握新知即三邊之間關系。2理解勾股定理的內涵，并能用勾股定理進行簡單的計算3通過畫圖實驗，讓學生經歷探索勾股定理的過程，發(fā)展合情推理的能力，體會數(shù)形結合的思想。（二）能力目標1.掌握勾股定理的內容，初步會用它進行有關計算，即已知兩邊，運用勾股定理列式求第三邊。2.應用勾股定理解決實際問題（探索性問題和應用性問題）。3.經歷探索勾股定理內容的過程，學會簡單的合情推理與數(shù)學說理。4通過勾股定理的簡單應用，能用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界和有條理思考與表達的能力，感受勾股定理的價值，也能寫出簡單的推理格式，以培養(yǎng)學生的邏輯思維能力。三情感與價值觀培養(yǎng)學生參與的積極性，及合作交流的意識。學生通過適當訓練，養(yǎng)成數(shù)學說理的習慣，逐步體驗數(shù)學說理的重要性。在探索勾股定理的過程中，體驗獲得成功的快樂，鍛煉學生克服困難的勇氣。引導學生積極探索，注意觀察生活，體驗生活中的數(shù)學。通過了解我國古代在勾股定理研究方面的成就，激發(fā)熱愛祖國，熱愛祖國悠久文化的思想感情。三、重點難點剖析（一）重點1體驗勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，勾股定理的內涵。2勾股定理的簡單應用，即在直角三角形中，知道兩邊，可以求第三邊。（二）難點1勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程。2應用勾股定理時斜邊或直角的確定，推理格式的正確書寫。3靈活運用勾股定理。（三）難點成因在勾股定理的探索和驗證過程中，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想，而學生已有的知識能力水平很難從代數(shù)表示聯(lián)想到有關的幾何圖形，由幾何圖形聯(lián)想到有關的代數(shù)表示，這對學生具有一定的挑戰(zhàn)性。（四）難點突破為了突出重點，突破難點，在探索勾股定理的過程中，按特殊到一般的思想，引導學生先由特殊的直角三角形開始研究，然后從正方形的面積聯(lián)想a2、b2、c2；得出結論后，不把重點放在勾股定理的驗證過程中，而只是簡單介紹勾股歷史，簡單提到古今中外對勾股定理有很多證明方法，而對于怎樣證明則作為課后閱讀留給學生自己探索。然后直接進入勾股定理的應用。在教學中，給學生提供充分實踐、探索和交流的時間，鼓勵他們積極思考解決問題的辦法，并與他人進行合作與交流。另外對練習的精選，也選擇學生易錯的題型，讓他們養(yǎng)成先確定斜邊或直角再利用定理的習慣。四、教學策略及教法設計（一）教學策略課堂組織策略：創(chuàng)設貼近學生生活、生動有趣的問題情境，以熟悉的學習工具三角板為導入，開展有效的數(shù)學活動，組織學生主動參與、勤于動手、積極思考，使他們在自主探究與合作交流的過程中，從整體上把握勾股定理探索的方法。學生學習策略：明確學習目標，了解所需掌握的知識，在教師的組織、引導、點撥下主動地從事觀察、實驗、猜測、驗證與交流等數(shù)學活動，從而真正有效地理解和掌握勾股定理。輔助策略：借助多媒體課件，使學生直觀形象地觀察、動手操作。（二）教法設計探索法：讓學生在探索直角三角形三邊關系的活動中，積累數(shù)學活動經驗。討論法：在學生進行了自主探索之后，讓他們進行合作交流，使他們互相促進、共同學習。練習法：教學中通過對形的計算，使學生了解數(shù)對形的意義，使數(shù)形結合在勾股定理教學中得到充分的展示。并精心設計隨堂變式練習，鞏固和提高學生的認知水平。五、教學過程師生雙邊教學活動教學手記教學過程學生活動新知介紹這是新課，要掌握的哦。1、情景創(chuàng)設由身邊熟悉的工具-三角板開始新課根據(jù)三角板拓展思維回答相關問題（1）情景導入同學們，當你每天手握三角尺繪制自己的宏偉藍圖時，你是否仔細研究過三角尺，它作為工具在數(shù)學學習中作用非凡，同時，它又可以作為直角三角形家族的典型代表。那么，從數(shù)學的角度來看，你對這兩位老朋友了解多少呢？角:(1)有一個角是直角C= (2)兩個銳角互余；A+B=邊:(1)三角形兩邊的和大于第三邊；a+bc(2)在直角三角形中，斜邊大于任意一條直角邊；ca, c b(3)對于比較特殊的直角三角形，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半這不是本課重點，學生回答時教師也簡略而過，不必板書和過多延伸。（2）設置問題一般的直角三角形，三邊之間究竟具有怎樣的等量關系呢？今天我們就來探索這一小秘密。（板書課題：直角三角形三邊關系）學生渴求直角三角形的新知，積極期待。2、合作探究探索 討論 交流（1）嘗試作圖畫直角ABC，使兩直角邊的長分別是3cm、4cm，用直尺量出斜邊的長度同學們幸喜地發(fā)現(xiàn)正好斜邊正好是5（2）發(fā)現(xiàn)猜想找出這三條邊有什么等量關系？學生基于這個特殊的直角三角形，發(fā)現(xiàn)了很多特殊的關系。如（3+5）2=43+42=5不能否定，因此再要求畫一個直角三角形（如果再畫一個直角三角形，使兩直角邊的長分別是5cm、12cm，用直尺量出斜邊的長度。再找出這三條邊有什么等量關系。）兩個直角三角形比較，同學自然明白上面的式子僅符合第一個直角三角形，而它們共有的規(guī)律就是“兩直角邊的平方和，等于斜邊的平方?！痹趯W生畫圖的前提下，再展示幾何畫板課件，動畫演示直角三角形三邊關系。鞏固（3）提示幫助如圖，以這個直角三角形三條邊的長度為邊長，作三個正方形，計算這三個正方形的面積，并觀察這三個正方形的面積有何等量關系。3、師生互動（1）總結特殊規(guī)律我們可以得到下面的結論：（1）以這個直角三角形兩直角邊為邊長的兩個正方形的面積之和等于以斜邊為邊長的正方形的面積。S1+S2=S3（2）這個直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如32+42=52學生總結出來，教師板書（2）提出一般規(guī)律是不是所有直角三角形都有這個性質呢？世界上許多數(shù)學家，先后用不同方法證明了這個結論.我國把它稱為“勾股定理”4、定理展示勾股定理（gou-gu theorem)：文字語言：在一個直角三角形中：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。也就是說：如果直角三角形的兩直角邊為,斜邊為那么幾何語言：ABC是直角三角形 （已知）（勾股定理）板書“勾股定理”ABC是直角三角形 （已知）（勾股定理）5、勾股史話人們對勾股定理的認識經歷了從特殊到一般的過程，這在世界許多地區(qū)的數(shù)學原始文獻中都有反映（1）三邊古稱同學們知道勾股定理這個名稱的由來嗎？這是源于直角三角形的三邊古稱在古漢語里，人們將手臂彎曲成直角，上半部分稱為勾，下半部分稱為股我國古代學者又把直角三角形看作一把弓箭，所以，在直角三角形中，我們一般把較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦弦股勾（2）商高定理早在幾千年前西周時期，商高就發(fā)現(xiàn)了這個結論，商高定理即為勾股定理勾股定理在我國古代數(shù)學中占有十分重要的地位，千百年來逐漸形成了一門以勾股定理及其應用為核心的中國式的幾何學當時學生很激動，為祖國的歷史感到驕傲（3）百牛定理勾股定理在國外，尤其在西方被稱為畢達哥拉斯定理或百牛定理他發(fā)現(xiàn)勾股定理后高興異常，命令他的學生宰了一百頭牛來慶祝這個偉大的發(fā)現(xiàn)，因此勾股定理又叫做百牛定理1955年希臘發(fā)行了一張郵票，圖案是由三個棋盤排列而成這張郵票也是為了紀念勾股定理這個偉大的發(fā)現(xiàn)可畢達哥拉斯要比商高晚500多年，就因為我國那時沒能流傳出去，所以國外只承認畢達哥拉斯定理學生很專心的聽著老師的講解學生聽完這個介紹后，嘆聲一片，紛紛為祖國道不平，我順勢做起了思想工作，“現(xiàn)在科學如此發(fā)達，我們的學習條件又如此的好，我們更應努力學習，繼續(xù)去完成前人未完成的事業(yè)，把祖國的貢獻發(fā)揚光大，為祖國爭光！”學生都會意地笑了。6、達標反饋（1）新知應用例1、在RtABC中，ABc,BCa，ACb,B=90.(1)已知a=6,b=10,求c；(2)已知a=24,c=25,求b。尋找已知條件列式求解強調先確定直角或斜邊的重要性練習1、(1)在RtABC中，ABc,BCa，ACb,B=90已知a=3,b=4,求c(2)在RtABC中，ABc,BCa，ACb,C=90已知a=3,b=4,求c(3)如果一個直角三角形的兩條邊長分別是3厘米和4厘米，那么這個三角形的周長是多少厘米？在前兩個練習的鋪墊下，學生很容易理解練習3的用意。（2）拓展引申例2、將長為5.41米的梯子AC斜靠在墻上，BC長為2.16米，求梯子上端A到墻的底端B的距離AB.（精確到0.01米）勾股定理簡單的實際應用，體會數(shù)學源于生活、用于生活的意義。強調要畫圖，以轉化到直角三角形中解題。練習2、將長為5米的梯子AC斜靠在墻上，梯腳與墻的距離BC長為2米，若將梯腳與墻的距離拉到3米，求梯子的垂直高度下降多少米？（精確到0.01米）是例2的變式練習，體會數(shù)學的樂趣。（3）鞏固練習（1）直角三角形一條直角邊與斜邊分別長為3cm、5cm，則第三邊長為_cm（2）在ABC中,CRt.若a2、b3，則c_；若a5、c13，則b_；若c61、b11，則a_.（3）如果等邊三角形的周長為12cm，則它的面積為_cm（4）如圖,隔湖有兩點A、B，從與BA方向成直角的BC方向上的點C,測得CA=50m,CB=40m.求AB.可根據(jù)時間隨機而定。課外延伸這個部分供學生課后探索，感受數(shù)學情趣7、定理證明世界上很多數(shù)學家用多種方法證明了勾股定理，據(jù)說至今已經找到的證明方法有五百多種，且每年還會有所增加。下面我們就借助拼圖的方法，探究證明的思路（1）趙爽弦圖上圖稱為“弦圖”，或“勾股圓方圖”，最早是由三國時期的數(shù)學家趙爽在為周髀算經作注時給出的.下圖是在北京召開的2002年國際數(shù)學家大會（TCM2002）的會標，其圖案正是“弦圖”，它標志著中國古代的數(shù)學成就.設問:你能用不同方法表示大正方形的面積嗎?用四個準備好的完全相同的直角三角形，如圖所示的圖形.大正方形的面積可以表示為_又可以表示為_對比兩種表示方法，看看能不能得到勾股定理的結論.（2）辛卜松圖用四個準備好的完全相同的直角三角形，如圖所示的圖形.設問:你能用不同方法表示大正方形的面積嗎?大正方形的面積可以表示為_,又可以表示為_對比兩種表示方法，看看能不能得到勾股定理的結論.（3）總統(tǒng)證法勾股定理是數(shù)學史上的一顆璀璨明珠，它的證明在數(shù)學史上屢創(chuàng)奇跡，從畢達哥拉斯到現(xiàn)在，吸引著世界上無數(shù)的數(shù)學家、物理學家、數(shù)學愛好者對它的探究，甚至政界要人美國第20任總統(tǒng)加菲爾德，也加入到對它的探索證明中，如圖是他當年設計的證明方法。設問:你能用不同方法表示大正方形的面積嗎?大梯形的面積可以表示為_又可以表示為_.對比兩種表示方法，看看能不能得到勾股定理的結論.8、勾股之樹這個不起眼的圖形有什么作用呢？不要小看它哦！古希臘的數(shù)學家 畢達哥拉斯就是利用這個圖形也證明了勾股定理你能利用勾股定理的圖形設計出一棵勾股樹嗎？用這美麗的數(shù)學圖形來裝飾我們的教室吧！讓學生感受數(shù)學的美。9、勾股名題九章算術中的勾股問題，是具有歷史意義的世界著名算題勾股問題即直角三角形問題九章算術專設勾股章來研究勾股問題，共24個問題現(xiàn)摘選兩個。（1）引葭赴岸“今有池方一丈，葭生其中央出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊問水深、葭長各幾何”讓我們一起來熟悉一下圖形吧在RtABC中，b為池深，c為葭長，且葭出水一尺，即cb+1尺，由題意a為5尺不用問下面該勾股定理大顯身手了，剩下的問題你能解決了吧？解：根據(jù)勾股定理，在RtABC中（2）風動紅蓮波平如鏡一湖面，半尺高處出紅蓮，鮮艷多姿湖中立，猛遭狂風吹一邊；紅蓮斜臥水淹面，距根生處兩尺遠；漁翁發(fā)現(xiàn)忙