相似三角形典型模型及例題.doc

1：相似三角形模型一：相似三角形判定的基本模型（一）A字型、反A字型（斜A字型） （平行）（不平行）（二）8字型、反8字型 （蝴蝶型） （平行） （不平行）（三）母子型 （四）一線三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景，一個與等腰三角形的底角相等的頂點在底邊所在的直線上，角的兩邊分別與等腰三角形的兩邊相交如圖所示：（五）一線三直角型：三直角相似可以看著是“一線三等角”中當(dāng)角為直角時的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形為背景，或者在一條直線上有一個頂點在該直線上移動或者旋轉(zhuǎn)的直角，幾種常見的基本圖形如下：當(dāng)題目的條件中只有一個或者兩個直角時，就要考慮通過添加輔助線構(gòu)造完整的三直角型相似，這往往是很多壓軸題的突破口，進(jìn)而將三角型的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化。（六）雙垂型： 二：相似三角形判定的變化模型旋轉(zhuǎn)型：由A字型旋轉(zhuǎn)得到8字型拓展GABCEF共享性一線三等角的變形一線三直角的變形2：相似三角形典型例題（1）母子型相似三角形例1：如圖，梯形ABCD中，ADBC，對角線AC、BD交于點O，BECD交CA延長線于E 求證： 例2：已知：如圖，ABC中，點E在中線AD上, 求證：（1）； （2） ACDEB例3：已知：如圖，等腰ABC中，ABAC，ADBC于D，CGAB，BG分別交AD、AC于E、F求證： 1、如圖，已知AD為ABC的角平分線，EF為AD的垂直平分線求證：2、已知：AD是RtABC中A的平分線，C=90，EF是AD的垂直平分線交AD于M，EF、BC的延長線交于一點N。求證：(1)AMENMD; (2)ND=NCNB3、已知：如圖，在ABC中，ACB=90，CDAB于D，E是AC上一點，CFBE于F。求證：EBDF=AEDB4.在中，AB=AC，高AD與BE交于H，垂足為F，延長AD到G，使DG=EF，M是AH的中點。 求證：5 已知：如圖，在RtABC中，C=90，BC=2，AC=4，P是斜邊AB上的一個動點，PDAB，交邊AC于點D（點D與點A、C都不重合），E是射線DC上一點，且EPD=A設(shè)A、P兩點的距離為x，BEP的面積為y（1）求證：AE=2PE；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3）當(dāng)BEP與ABC相似時，求BEP的面積ACBPDE（2）雙垂型1、如圖，在ABC中，A=60，BD、CE分別是AC、AB上的高求證：（1）ABDACE；（2）ADEABC；(3)BC=2ED2、如圖，已知銳角ABC，AD、CE分別是BC、AB邊上的高，ABC和BDE的面積分別是27和3，DE=6，求：點B到直線AC的距離。（3）共享型相似三角形1、ABC是等邊三角形，DBCE在一條直線上,DAE=120,已知BD=1，CE=3，求等邊三角形的邊長.2、已知：如圖，在RtABC中，AB=AC，DAE=45求證：（1）ABEACD； （2）CADBEF(4)一線三等角型相似三角形例1：如圖，等邊ABC中，邊長為6，D是BC上動點，EDF=60（1）求證：BDECFD（2）當(dāng)BD=1，F(xiàn)C=3時，求BE 例2：（1）在中，點、分別在射線、上（點不與點、點重合），且保持.若點在線段上（如圖），且，求線段的長；若，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；ABCABCPQ（2） 正方形的邊長為（如下圖），點、分別在直線、上（點不與點、點重合），且保持.當(dāng)時，求出線段的長.ABCDABCD例3：已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如圖8，P為AD上的一點，滿足BPCA求證；ABPDPC求AP的長（2）如果點P在AD邊上移動（點P與點A、D不重合），且滿足BPEA，PE交直線BC于點E，同時交直線DC于點Q，那么當(dāng)點Q在DC的延長線上時，設(shè)APx，CQy，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；當(dāng)CE1時，寫出AP的長CDABP例4：如圖，在梯形中，點為邊的中點，以為頂點作，射線交腰于點，射線交腰于點，聯(lián)結(jié)（1）求證：；（2）若是以為腰的等腰三角形，求的長；（3）若，求的長 1、如圖，在ABC中，是邊上的一個動點，點在邊上，且(1) 求證：ABDDCE；(2) 如果，求與的函數(shù)解析式，并寫出自變量的定義域；(3) 當(dāng)點是的中點時，試說明ADE是什么三角形，并說明理由ABCDE2、如圖，已知在ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一點，BD=2，E是BC 上一動點，聯(lián)結(jié)DE，并作，射線EF交線段AC于F（1）求證：DBEECF； （2）當(dāng)F是線段AC中點時，求線段BE的長；（3）聯(lián)結(jié)DF，如果DEF與DBE相似，求FC的長3、已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且BC =6，AB=DC=4，點E是AB的中點 （1）如圖，P為BC上的一點，且BP=2求證：BEPCPD； （2）如果點P在BC邊上移動（點P與點B、C不重合），且滿足EPF=C，PF交直線CD于點F，同時交直線AD于點M，那么 當(dāng)點F在線段CD的延長線上時，設(shè)BP=，DF=，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域； 當(dāng)時，求BP的長EDCBAP4、如圖，已知邊長為的等邊，點在邊上，點是射線上一動點，以線段為邊向右側(cè)作等邊，直線交直線于點，（1）寫出圖中與相似的三角形；（2）證明其中一對三角形相似；（3）設(shè)，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（4）若，試求的面積(5)一線三直角型相似三角形例1、已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，點P是AD上的一個動點，且和點A,D不重合，過點P作，交邊AB于點E,設(shè)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍。例2、在中，是AB上的一點，且，點P是AC上的一個動點，交線段BC于點Q，（不與點B,C重合），設(shè)，試求關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系，并寫出定義域。1.在直角中，點D是BC的中點，點E是AB邊上的動點，交射線AC于點F（1）、求AC和BC的長（2）、當(dāng)時，求BE的長。（3）、連結(jié)EF,當(dāng)和相似時，求BE的長。2.在直角三角形ABC中，是AB邊上的一點，E是在AC邊上的一個動點，（與A,C不重合），與射線BC相交于點F.(1)、當(dāng)點D是邊AB的中點時，求證：(2)、當(dāng)，求的值（3）、當(dāng)，設(shè),求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域3.如圖，在中，是邊的中點，為邊上的一個動點，作，交射線于點設(shè)，的面積為（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式