八年級(jí)數(shù)學(xué)全等三角形總結(jié)與復(fù)習(xí)練習(xí)題4.doc

八年級(jí)數(shù)學(xué)全等三角形總結(jié)與復(fù)習(xí)練習(xí)題一. 本周教學(xué)內(nèi)容： 全等三角形復(fù)習(xí)與小結(jié)二. 教學(xué)目標(biāo)： 1. 回顧思考本章內(nèi)容，會(huì)靈活運(yùn)用本章知識(shí)進(jìn)行計(jì)算和證明。 2. 進(jìn)一步鞏固三角形全等的性質(zhì)及判定三角形全等的方法，培養(yǎng)和提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力。 3. 進(jìn)一步掌握數(shù)學(xué)幾何問題的解法，拓展學(xué)生的發(fā)散思維能力。三. 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)： 重點(diǎn)：全等三角形的概念和性質(zhì)，三角形全等的判定方法和直角三角形的性質(zhì)和判定。 難點(diǎn)：三角形全等的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，靈活選用判定三角形全等的方法解決問題，并能用基本尺規(guī)作圖進(jìn)行綜合作圖。四. 本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖： 五. 本章知識(shí)要點(diǎn)總結(jié)： 1. 旋轉(zhuǎn)的定義： 將一個(gè)平面圖形F上的每一個(gè)點(diǎn)，繞這個(gè)平面內(nèi)一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)同一個(gè)角，得到圖形F，圖形的這種變換叫旋轉(zhuǎn)。 2. 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)： 性質(zhì)1：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。 性質(zhì)2：對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角彼此相等，且等于旋轉(zhuǎn)角。 性質(zhì)3：旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小。 3. 全等三角形及其性質(zhì)： （1）全等形：能夠完全重合的圖形叫做全等形。 （2）全等三角形：能夠完全重合的三角形叫做全等三角形。 （3）全等三角形的表示方法：比如BCDAEF （4）全等三角形的性質(zhì)： 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等； 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等； 全等三角形周長(zhǎng)、面積相等。 4. 三角形全等的判定定理 （1）一般三角形：SAS，ASA，AAS，SSS。 （2）直角三角形：HL，SAS，ASA，AAS，SSS。 5. 直角三角形： （1）直角三角形的性質(zhì)： 直角三角形中兩銳角互余。 如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。 在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。 在直角三角形中，有一個(gè)角為90。 在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于30在直角三角形中，兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即a2b2c2。 （2）直角三角形的判定： 有一個(gè)角為90的三角形為直角三角形。 有兩個(gè)角互余的三角形為直角三角形。 如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c，有下面關(guān)系： a2b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。 6. 作三角形 （1）已知三邊作三角形。 （2）已知兩邊及其夾角作三角形 （3）已知兩角及其夾邊作三角形六、規(guī)律與方法 1. 三角形的邊角關(guān)系： （1）三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。 （2）三角形內(nèi)角和等于180。 （3）三角形的任一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。 2. 三角形的分類： 3. 證明線段相等的方法： （1）可證明它們所在的兩個(gè)三角形全等。 （2）角平分線性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等。 （3）等角對(duì)等邊。 （4）等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。 （5）垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。 （6）等式的性質(zhì)。 （7）中點(diǎn)的定義。 4. 證明角相等的方法： （1）同角（等角）的余角相等。 （2）同角（等角）的補(bǔ)角相等。 （3）平行線的性質(zhì)： 兩直線平行，同位角相等。 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。 （4）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。 （5）等邊對(duì)等角。 （6）角平分線的定義。 （7）等式的性質(zhì)。 （8）對(duì)頂角相等。 5. 證明垂直的方法 （1）證鄰補(bǔ)角相等。 （2）證和已知直角三角形全等。 （3）勾股定理的逆定理。 6. 常見輔助線的作法： （1）在ABC中，如AD是中線，常采用的作法是： 延長(zhǎng)AD到E，使DEAD，連結(jié)BE（或過B作BEAC，交AD的延長(zhǎng)線于E），如圖甲。 取AC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE（或過D作DEBA，交AC于E），如圖乙。 延長(zhǎng)BA至E，使AEAB，連結(jié)CE（或過C作CEAD交BA的延長(zhǎng)線于E），如圖丙。 （2）在ABC中，若AD是BAC的平分線，常采用的作法是： 延長(zhǎng)BA至E，使AEAC，連結(jié)CE（或過C作CEAD，交BA的延長(zhǎng)線于E），如圖甲。 在較長(zhǎng)邊AB上截取AEAC，連結(jié)DE，如圖乙。 過C作CEAB，交AD的延長(zhǎng)線于E，如圖丙。 過D作DEAB，交AC于E，如圖丁。 （3）在ABC中，若D是AB的中點(diǎn)，常采用的作法是： 過D作DEBC，交AC于E。 取AC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE。 連結(jié)CD，用中線的性質(zhì)。 若已知ABC為特殊三角形，可利用特殊三角形的性質(zhì)：如為等腰三角形，考慮頂點(diǎn)平分線；若為直角三角形，考慮斜邊中線；若為有一個(gè)角是30的直角三角形，考慮斜邊中線及30角所對(duì)邊之間的關(guān)系，?？勺鞒鲋芯€。七、數(shù)學(xué)思想方法 1. 通過學(xué)習(xí)，逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用分析、綜合、歸納、概括及類比的方法，逐步發(fā)展有條理的思考和表達(dá)能力。 2. 轉(zhuǎn)化的思想：將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化，分解，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成幾何問題解決。 3. 圖形處理方法： （1）分解圖形法： 復(fù)雜圖形都是由較簡(jiǎn)單的基本圖形組成，故可將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。 （2）構(gòu)造圖形的方法： 當(dāng)直接說明問題有困難時(shí)，常添加輔助線，構(gòu)造圖形達(dá)到解題目的。八、掌握以下8類問題及其解法，并領(lǐng)會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想： 1. 能夠利用三角形全等的判定及其性質(zhì)，證明線段或角相等，領(lǐng)會(huì)全等形的思想。 2. 能夠利用等腰三角形和直角三角形的特殊性質(zhì)解題，領(lǐng)會(huì)一般與特殊的關(guān)系。 3. 能夠理解旋轉(zhuǎn)，角平分線的概念及其性質(zhì)，領(lǐng)會(huì)對(duì)稱思想。 4. 能夠理解逆命題與逆定理的概念，領(lǐng)會(huì)對(duì)立統(tǒng)一的思想。 5. 通過幾何問題一題多解的研究和推理論證分析綜合的訓(xùn)練，滲透轉(zhuǎn)化思想和辨證唯物主義觀點(diǎn)。 6. 通過對(duì)實(shí)際問題的研究體現(xiàn)理論聯(lián)系實(shí)際的思想。 7. 通過用代數(shù)方法解決幾何問題又體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想和方程的思想。 8. 能夠運(yùn)用尺規(guī)作圖，將作圖問題轉(zhuǎn)化為基本作圖，領(lǐng)會(huì)化歸思想?！镜湫屠}】（一）構(gòu)造全等三角形法： 例1. 已知：如圖，ABCD，ADBC，證明：ABDC，ADBC 分析：需得到ABDC，ADBC，需構(gòu)造三角形，因此可添加輔助線：連結(jié)AC。 證明：連結(jié)AC ABCD 12 又ADBC 34 在ADC和CBA中 ADCCBA（ASA） ABDC，ADBC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等） 例2. 如圖，ABC中，A90，ABAC，BD平分ABC交AC于D，CEBD的延長(zhǎng)線于E，求證：BD2CE。 分析：和CEBD”，想到延長(zhǎng)CE、BA相交于F，因此先證明CF2CE，再證明BDCF。由此知需要證明ABDACF。 證明：延長(zhǎng)CE、BA相交于F 在FBE和CBE中 BEFBEC CF2CE 在RtBEF中，290F 同理190F 12 在ABD和ACF中 ABDACF BDCF BD2CE 小結(jié)：在題目中如果含有角平分線且含有和這條角平分線垂直的條件時(shí)，要想到翻折圖形，此題所作的輔助線，實(shí)質(zhì)上是將RtBCE以BE所在的直線為軸翻折過去得RtBFE。 此題圖中，可以把BE、CA看成是FBC的兩條高，注意“12”這個(gè)結(jié)論。（二）巧用勾股定理 例3. 已知：如圖，ABC中，ABAC，D為BC上任一點(diǎn)，求證：AB2AD2BDDC（ABAD） 分析：此題的求證中出現(xiàn)了AB2和AD2，由此可聯(lián)想到把它們放到兩個(gè)直角三角形中，利用勾股定理可得有AB2和AD2的式子，因此想到作輔助線AEBC于E。 證明：過A作AEBC于E ABAC，AEBC BECE，AEBAEC90 在RtAEB和RtAED中，由勾股定理得： 例4. 如圖，已知四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AD邊上，且AF 求證：EFCE 分析：此題中的已知條件告訴了我們邊之間的關(guān)系，若設(shè)AFa，則可得正方形邊長(zhǎng)為4a，AEBE2a，DF3a，由直角三角形和這些邊的關(guān)系，我們很容易想到勾股定理和其逆定理來證明兩條直線互相垂直。 證明：連結(jié)FC，設(shè)AFa，則正方形邊長(zhǎng)為4a， AEBE2a，DF3a 由勾股定理得： 在RtAEF中， 在RtBCE中， 在RtCDF中， 由勾股定理的逆定理知EFC為直角三角形 且CF為斜邊 EFEC（三）截長(zhǎng)補(bǔ)短法： 例5. 如圖甲，ABC中，C2B，12，求證：ABACCD 分析：此題是證兩條線段的和等于第三邊，這類型的題我們通常采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法，截長(zhǎng)法即為在這三條最長(zhǎng)的線段截取一段使它等于較短線段中的一條，然后證明剩下的一段等于另一條較短的線段。補(bǔ)短法即為在較短的一條線段上延長(zhǎng)一段，使它們等于最長(zhǎng)的線段，然后證明延長(zhǎng)的這一線段等于另一條較短的線段。 證明一：截長(zhǎng)法： 如圖乙，在AB上截取AEAC，連結(jié)DE 在ADE和ADC中 ADEADC（SAS） DEDC，AEDC CAEDBBDE2B EBDEDB BEDE BEDC ABAEEBACDC 即ABACDC 證明二：補(bǔ)短法 如圖丙，延長(zhǎng)AC至E，使AEAB，連結(jié)DE 在ABD和AED中 ABDAED BE ACB2BEEDC BEDC EEDC CDCE ABAEACCEACCD 即ABACCD【模擬試題】（答題時(shí)間：50分鐘）（一）填空題： 1. 已知一個(gè)等腰三角形的一個(gè)外角是120，腰長(zhǎng)是a，則它腰上的高是_。 2. 一直角三角形的兩邊長(zhǎng)是12，5，則第三邊長(zhǎng)是_。 3. AB是RtABC的斜邊，中線AD7，中線BE4，則AB_。 4. 已知ABCDEF，且DEF的周長(zhǎng)為13，若AB4，BC6，則DF的長(zhǎng)是_。 5. 如圖1，已知ABC是直角三角形，C90，A60，AB8cm，CD是AB邊上的高，則AD_，BD_。圖1 6. 如圖2，已知ABAC10cm，ABCD，CDAD，若B75，則DAC_，AD_cm。圖2 7. 等邊三角形繞它的三條高線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)120，240，都能與自己重合，它的旋轉(zhuǎn)中心是_，對(duì)應(yīng)線段是_。 8. 若圖形甲按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30得到圖形乙，那么圖形乙按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)_就得到圖形甲。 9. 正五角星繞著它的中心至少旋轉(zhuǎn)_可以與原圖重合。 10. 已知線段a，求作等邊三角形，使其邊長(zhǎng)為a，其作法是 （1）作線段AB_。 （2）分別以A、B為圓心，以_為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C。 （3）連結(jié)_和_。 則ABC為所求的等邊三角形。（二）選擇題： 1. 下列作圖語(yǔ)言，敘述正確的是（ ） A. 以A、B為端點(diǎn)，作直線AB B. 以B為端點(diǎn)，作射線AB C. 作線段AB，使ABa D. 連結(jié)AB，使ABa 2. 已知直角三角形的一直角邊為2，一銳角為60，則這個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)為（ ） A. B. C. D. 3. 如圖3，ABCD，ABD和BCE都是等腰直角三角形，若CD8，BE3，則AC為（ ）圖3 A. 8 B. 5 C. 3 D. 4. 下列現(xiàn)象屬于旋轉(zhuǎn)的是（ ） A. 摩托車在急剎車時(shí)向前滑動(dòng) B. 空中飛舞的雪花 C. 擰開自來水龍頭的過程 D. 飛機(jī)起飛沖向空中的過程 5. 某三角形三邊長(zhǎng)分別是整數(shù)，周長(zhǎng)是11，一邊長(zhǎng)是4，則這個(gè)三角形可能的最大邊長(zhǎng)是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 6. 有六根細(xì)木棒，它們的長(zhǎng)度分別是2，4，6，8，10，12（單位：cm），從中取出三根首尾順次連結(jié)搭成一個(gè)直角三角形，則這三根細(xì)木棒的比度分別為（ ） A. 2，4，8 B. 4，8，10 C. 6，8，10 D. 8，10，12 7. 下列條件中，能判定ABCABC的是（ ） AA，BB，CC ABAB，AA，CC ABAB，ACAC，BCBC BCBC，ACAC，CA A. 只有 B. 只有 C. 只有 D. 只有 8. 如圖5，將BAC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)60至DAE位置，若BAC120，則ABD是_三角形。圖5 A. 等邊三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 9. 如圖6，ADAB，AEAC，ADAB，AEAC，則下列各式中正確的是（ ）圖6 A. ABDACE B. ADFAEG C. BMFCMG D. ADCABE（三）已知：在ABC中，AD是BC邊上的高，ABAC，BAC120，DEAB于E，DFAC于F。 求證：。（四）如圖7，在ABC中，BAC90，D是ABC內(nèi)一點(diǎn)，將ADB繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至ADC，ADC與ADB能完全重合，求DAD的度數(shù)。圖7（五）已知：如圖8ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，BDC是頂角BDC120的等腰三角形，點(diǎn)M、N分別在AB、AC上，且MDN60 求證：AMN的周長(zhǎng)l2圖8【試題答案】（一） 1. 2. 3. 4. 3 5. 2，6 6. 60，5 7. 三條高線交點(diǎn)，三邊 8. 330 9. 72 10. a，a，AC，BC（二） 1. C 2. D 3. D 4. C 5. C 解析：設(shè)最大邊長(zhǎng)為x，則另一邊長(zhǎng)為7x，根據(jù)三角形三邊關(guān)系得：47xx，解得，因?yàn)閤是整數(shù)，所以x5。 6. C 7. B 8. A 9. D（三）ABAC，BAC120， BC30 DEAB，DE DFAC， DEDF（四）ADC與ADB完全重合 ADCADB BADCAD BAC90 BADDAC90 CADDAC90 即DAD90（五） 證明：ABCACB60 DBCDCB30 DBAACD90 DCDB 可將DBM繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120得DCE 即DCEDBM MDED，MDBEDC，MDE120 又MDN60 NDE60 DEN是將DMN沿DN翻折過來的 MDNEDN MNEN 即lMAMNAN AMANNE （ABBM）（ACCE） ABAC 2【勵(lì)志故事】云在低處