總習題一解答.doc

總習題一解答1. 用行列式定義計算。分析：此行列式含零元素較多，對含零元素較多的行列式，可直接用定義計算，只需找出行列式中的非零項即可。解：中第一行的非零元素只有，故只能取，同理由第，行知，于是，在可能取的數(shù)碼中，只能組成一個級排列，故中非零項只有一項，即。2. 計算下列行列式： ；解：。 ；解：原式 ；解：注意到該行列式中每一列中的個元素之和都為，故將第，行元素都加到第行上，得：。 。解：將第，列都加到第列上，得：。3. 利用行列式的性質(zhì)證明：。證：左邊第一項第二項。4. 已知，則中的系數(shù)是 。解：按展開，得：，所以中的系數(shù)是。另解：含的項是：，所以中的系數(shù)是。5. 。分析：先利用行列式的性質(zhì)，把行列式的某行（列）的元素化為盡可能多的零，再按此行（列）展開以降低行列式階數(shù)，將行列式轉(zhuǎn)化為較低階行列式來計算。解：行列式中的第列的三個數(shù)分別與，較接近，而第列的數(shù)與，相近，故可把第列的倍及倍分別加至第列與第列，第列再提取公因數(shù)，便可化簡計算，即。6. 計算下列行列式： ；分析：行列式所有行（或列）的對應(yīng)元素相加后相等，可通過提取公因子將第行（或列）全部元素化為，再采用“化零”的方法來計算。解：將的第、行都加到第行，并從第行中提取公因子，得：，再將第、列都減去第列，得：，把上面右端行列式第行加到第行中提取公因子，得：。 ；分析：利用行列式的性質(zhì)和按行（列）展開定理計算行列式。解：按第一行展開：。 。解：第一行、第列均只有兩個非零元素，可按第一行展開，得：。7. 計算下列行列式： ；分析：行列式所有行（列）對應(yīng)元素相加后相等，可通過提取公因子將第行（或列）全部元素化為，再采用“化零”的方法即可計算之。解：原式（將行列式按第一列展開，得）（將各行加至第一行）（從第2行起，將各行都加上第1行）。 。分析：利用行列式的性質(zhì)和按行（列）展開定理計算行列式。解：先把第列的倍加到第，列，。8. 計算下列行列式： ；解：用遞推法，先按的第行展開，得：，于是得遞推公式：，或，遞推下去得到：，同樣可得公式：，遞推下去得到：， ， ，解方程組，得：。 。解：按第行展開，由得：原行列式。9. 證明： ；分析：若一行列式的各行（列）都以第一行的升冪從上到下（從左到右）由到排列，則可利用范德蒙行列式的結(jié)論來計算。本題可根據(jù)所給行列式的特點，通過構(gòu)造輔助行列式來達到這一目的。證：該行列式與范德蒙行列式很接近，僅缺少一次項，可通過構(gòu)造輔助行列式來證明。令，則， 另一方面，按第列展開，得：，題設(shè)行列式正是，即的系數(shù)，展開式，易得到的系數(shù)為：。 設(shè)，則。證：此題由于主對角線上元素各不相同，盡管1較多，但用拆項及加減法都困難。（這里，即第一行提取，第二行提取，最后一行提?。ㄟ@里把從第二行起，以后各行都加到第一行上）（這里提取第一行的，下一等式是將第一行乘以加到第二行，第一行乘以加到第三行，直至是將第一行乘以加到第行。）。10. 設(shè)，試求，其中為元素（）的代數(shù)余子式。解：。11. 已知四階行列式，試求與，其中（）是中第四行第列元素的代數(shù)余子式。解：由題設(shè)把此行列式按第四行展開，以及用第二行元素乘以對應(yīng)第四行元素的余子式，得：，由此解得：，。12. 已知階行列式，求代數(shù)余子式之和。解：直接求出每個代數(shù)余子式的值，再求和計算過程較復(fù)雜，利用代數(shù)余子式的性質(zhì)改變后的值不變。因而可構(gòu)造行列式，使與的（，）一樣，通過計算。構(gòu)造行列式，由于與的代數(shù)余子式，是一樣的，對按第一行展開，有，所以 。13. 用克萊姆法則解下列線性方程組： ；解：， ，。 。解：，同理可得：，所以，。14. 設(shè)，求導(dǎo)函數(shù)的零點個數(shù)及其所在區(qū)間。解：對行列式按第列展開，知是的次多項式，則是的次多項式，據(jù)羅爾定理，只要找到的幾個根，也就知道的根所在的區(qū)間。據(jù)范德蒙行列式知是的次多項式，且，其中，由羅爾定理，在，區(qū)間內(nèi)至少各有的一個點，又是次方程，它只有個根。因此，上述各區(qū)間內(nèi)有且僅有的一個零點。15. 證明平面上三條不同的直線，相交于一點的充分必要條件是。證：必要性設(shè)所給三條直線相交于一點，則，可視為齊次線性方程組，的非零解，從而有系數(shù)行列式，因為三條直線互不相同，所以，也不全相同，故。充分性若，將方程組化為：， 的第一、二個方程加到第三個方程，得：， 下面證明方程有唯一解。反證法：若方程組的解不唯一，則，由得：，不妨設(shè)，由，得，再由，得，矛盾，故，由克萊姆法則知，方程組有唯一解，從而知方程組有唯一解，即三條不同直線交于一點。16. 設(shè)，用克萊姆法則證明：如果有個互不相同的根，則是零多項式。證：設(shè)，為的個互不相同