高等數(shù)學B教案第九章.doc

第九章 多元函數(shù)微分法及其應用教學目的：1、理解多元函數(shù)的概念和二元函數(shù)的幾何意義。2、了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。3、理解多元函數(shù)偏導數(shù)和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。4、理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計算方法。5、掌握多元復合函數(shù)偏導數(shù)的求法。6、會求隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導數(shù)。7、了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程。8、了解二元函數(shù)的二階泰勒公式。9、理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格郎日乘數(shù)法求條件極值，會求簡多元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題。教學重點：1、二元函數(shù)的極限與連續(xù)性；2、函數(shù)的偏導數(shù)和全微分；3、方向?qū)?shù)與梯度的概念及其計算；4、多元復合函數(shù)偏導數(shù)；5、隱函數(shù)的偏導數(shù)6、曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線；7、多元函數(shù)極值和條件極值的求法。教學難點：1、二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念；2、全微分形式的不變性；3、復合函數(shù)偏導數(shù)的求法；4、二元函數(shù)的二階泰勒公式；5、隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導數(shù)；6、拉格郎日乘數(shù)法；7、多元函數(shù)的最大值和最小值。9. 1 多元函數(shù)的基本概念一、教學目的與要求：1理解多元函數(shù)的概念和二元函數(shù)的幾何意義。2了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。二、重點（難點）：二元函數(shù)極限的定義與連續(xù)性三、教學方式：講授式教學結(jié)合多媒體講授內(nèi)容：一、平面點集n維空間 1平面點集 由平面解析幾何知道, 當在平面上引入了一個直角坐標系后, 平面上的點P與有序二元實數(shù)組(x, y)之間就建立了一一對應. 于是, 我們常把有序?qū)崝?shù)組(x, y)與平面上的點P視作是等同的. 這種建立了坐標系的平面稱為坐標平面. 二元的序?qū)崝?shù)組(x, y)的全體, 即R2=RR=(x, y)|x, yR就表示坐標平面. 坐標平面上具有某種性質(zhì)P的點的集合, 稱為平面點集, 記作 E=(x, y)| (x, y)具有性質(zhì)P. 例如, 平面上以原點為中心、r為半徑的圓內(nèi)所有點的集合是 C=(x, y)| x2+y2r2. 如果我們以點P表示(x, y), 以|OP|表示點P到原點O的距離, 那么集合C可表成 C=P| |OP|0為半徑的圓的內(nèi)部的點P (x, y)的全體. 點P0的去心d鄰域, 記作, 即 . 注: 如果不需要強調(diào)鄰域的半徑d, 則用U (P0)表示點P0的某個鄰域, 點P0的去心鄰域記作. 點與點集之間的關(guān)系: 任意一點PR2與任意一個點集ER2之間必有以下三種關(guān)系中的一種: (1)內(nèi)點: 如果存在點P的某一鄰域U(P), 使得U(P)E, 則稱P為E的內(nèi)點; (2)外點: 如果存在點P的某個鄰域U(P), 使得U(P)E=, 則稱P為E的外點; (3)邊界點: 如果點P的任一鄰域內(nèi)既有屬于E的點, 也有不屬于E的點, 則稱P點為E的邊點. E的邊界點的全體, 稱為E的邊界, 記作E. E的內(nèi)點必屬于E; E的外點必定不屬于E; 而E的邊界點可能屬于E, 也可能不屬于E . 聚點: 如果對于任意給定的d0, 點P的去心鄰域內(nèi)總有E中的點, 則稱P是E的聚點. 由聚點的定義可知, 點集E的聚點P本身, 可以屬于E, 也可能不屬于E . 例如, 設平面點集 E=(x, y)|1x2+y22. 滿足1x2+y22的一切點(x, y)都是E的內(nèi)點; 滿足x2+y2=1的一切點(x, y)都是E的邊界點, 它們都不屬于E; 滿足x2+y2=2的一切點(x, y)也是E的邊界點, 它們都屬于E; 點集E以及它的界邊E上的一切點都是E的聚點. 開集: 如果點集E 的點都是內(nèi)點, 則稱E為開集. 閉集: 如果點集的余集E c為開集, 則稱E為閉集. 開集的例子: E=(x, y)|1x2+y22. 閉集的例子: E=(x, y)|1x2+y22. 集合(x, y)|1x2+y22既非開集, 也非閉集. 連通性: 如果點集E內(nèi)任何兩點, 都可用折線連結(jié)起來, 且該折線上的點都屬于E, 則稱E為連通集. 區(qū)域(或開區(qū)域): 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域. 例如E=(x, y)|1x2+y21是無界開區(qū)域; 集合(x, y)| x+y1是無界閉區(qū)域. 2. n維空間 設n為取定的一個自然數(shù), 我們用Rn表示n元有序數(shù)組(x1, x2, , xn)的全體所構(gòu)成的集合, 即 Rn=RR R=(x1, x2, , xn)| xiR, i=1, 2, , n. Rn中的元素(x1, x2, , xn)有時也用單個字母x來表示, 即x=(x1, x2, , xn). 當所有的xi (i=1, 2, , n)都為零時, 稱這樣的元素為Rn中的零元, 記為0或O . 在解析幾何中, 通過直角坐標, R2(或R3)中的元素分別與平面(或空間)中的點或向量建立一一對應, 因而Rn中的元素x=(x1, x2, , xn)也稱為Rn中的一個點或一個n維向量, xi稱為點x的第i個坐標或n維向量x的第i個分量. 特別地, Rn中的零元0稱為Rn中的坐標原點或n維零向量. 為了在集合Rn中的元素之間建立聯(lián)系, 在Rn中定義線性運算如下: 設x=(x1, x2, , xn), y=(y1, y2, , yn)為Rn中任意兩個元素, lR, 規(guī)定 x+y=(x1+ y1, x2+ y2, , xn+ yn), lx=(lx1, lx2, , lxn). 這樣定義了線性運算的集合Rn稱為n維空間. Rn中點x=(x1, x2, , xn)和點 y=(y1, y2, , yn)間的距離, 記作r(x, y), 規(guī)定 . 顯然, n=1, 2, 3時, 上述規(guī)定與數(shù)軸上、直角坐標系下平面及空間中兩點間的距離一至. Rn中元素x=(x1, x2, , xn)與零元0之間的距離r(x, 0)記作|x|(在R1、R2、R3中, 通常將|x|記作|x|), 即 . 采用這一記號, 結(jié)合向量的線性運算, 便得 . 在n維空間Rn中定義了距離以后, 就可以定義Rn中變元的極限: 設x=(x1, x2, , xn), a=(a1, a2, , an)Rn. 如果 |x-a|0, 則稱變元x在Rn中趨于固定元a, 記作xa . 顯然, xa x1a1, x2a2, , xnan . 在Rn中線性運算和距離的引入, 使得前面討論過的有關(guān)平面點集的一系列概念, 可以方便地引入到n(n3)維空間中來, 例如, 設a=(a1, a2, , an)Rn, d是某一正數(shù), 則n維空間內(nèi)的點集 U(a, d)=x| x Rn, r(x, a)0, h0內(nèi)取定一對值(r , h)時, V對應的值就隨之確定. 例2 一定量的理想氣體的壓強p、體積V和絕對溫度T之間具有關(guān)系 ,其中R為常數(shù). 這里, 當V、T在集合(V ,T) | V0, T0內(nèi)取定一對值(V, T)時, p的對應值就隨之確定.例3 設R 是電阻R1、R2并聯(lián)后的總電阻, 由電學知道, 它們之間具有關(guān)系 .這里, 當R1、R2在集合( R1, R2) | R10, R20內(nèi)取定一對值( R1 , R2)時, R的對應值就隨之確定. 定義1 設D是R2的一個非空子集, 稱映射f : DR為定義在D上的二元函數(shù), 通常記為z=f(x, y), (x, y)D (或z=f(P), PD)其中點集D稱為該函數(shù)的定義域, x, y稱為自變量, z稱為因變量. 上述定義中, 與自變量x、y的一對值(x, y)相對應的因變量z的值, 也稱為f在點(x, y)處的函數(shù)值, 記作f(x, y), 即z=f(x, y). 值域: f(D)=z| z=f(x, y), (x, y)D. 函數(shù)的其它符號: z=z(x, y), z=g(x, y)等. 類似地可定義三元函數(shù)u=f(x, y, z), (x, y, z)D以及三元以上的函數(shù). 一般地, 把定義1中的平面點集D換成n維空間Rn內(nèi)的點集D, 映射f : DR就稱為定義在D上的n元函數(shù), 通常記為 u=f(x1, x2, , xn), (x1, x2, , xn)D, 或簡記為 u=f(x), x=(x1, x2, , xn)D, 也可記為 u=f(P), P(x1, x2, , xn)D . 關(guān)于函數(shù)定義域的約定: 在一般地討論用算式表達的多元函數(shù)u=f(x)時, 就以使這個算式有意義的變元x的值所組成的點集為這個多元函數(shù)的自然定義域. 因而, 對這類函數(shù), 它的定義域不再特別標出. 例如, 函數(shù)z=ln(x+y)的定義域為(x, y)|x+y0(無界開區(qū)域); 函數(shù)z=arcsin(x2+y2)的定義域為(x, y)|x2+y21(有界閉區(qū)域). 二元函數(shù)的圖形: 點集(x, y, z)|z=f(x, y), (x, y)D稱為二元函數(shù)z=f(x, y)的圖形, 二元函數(shù)的圖形是一張曲面. 例如 z=ax+by+c是一張平面, 而函數(shù)z=x2+y2的圖形是旋轉(zhuǎn)拋物面. 三. 多元函數(shù)的極限 與一元函數(shù)的極限概念類似, 如果在P(x, y)P0(x0, y0)的過程中, 對應的函數(shù)值f(x, y)無限接近于一個確定的常數(shù)A, 則稱A是函數(shù)f(x, y)當(x, y)(x0, y0)時的極限. 定義2 設二元函數(shù)f(P)=f(x, y)的定義域為D, P0(x0, y0)是D的聚點. 如果存在常數(shù)A, 對于任意給定的正數(shù)e總存在正數(shù)d, 使得當時, 都有 |f(P)-A|=|f(x, y)-A|0, 取, 則當 , 即時, 總有|f(x, y)-0|0, 由于sin x在x0處連續(xù), 故$d0, 當|x-x0|d時, 有 |sin x-sin x0|e. 以上述d作P0的d鄰域U(P0, d), 則當P(x, y)U(P0, d)時, 顯然 |f(x, y)-f(x0, y0)|=|sin x-sin x0|0, 使得對一切PD, 有|f(P)|M; 且存在P1、P 2D, 使得 f(P1)=maxf(P)|PD, f(P2)=minf(P)|PD, 性質(zhì)2 (介值定理) 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值和最小值之間的任何值. 9. 2 偏導數(shù)一、教學目的與要求：1理解多元函數(shù)偏導數(shù)概念，偏導數(shù)的計算。2了解高階偏導數(shù)的定義和算法。二、重點（難點）：偏導數(shù)計算三、教學方式：講授式教學結(jié)合多媒體講授內(nèi)容：一、偏導數(shù)的定義及其計算法 對于二元函數(shù)z=f(x, y), 如果只有自變量x 變化, 而自變量y固定, 這時它就是x的一元函數(shù), 這函數(shù)對x的導數(shù), 就稱為二元函數(shù)z=f(x, y)對于x的偏導數(shù). 定義 設函數(shù)z=f(x, y)在點(x0, y0)的某一鄰域內(nèi)有定義, 當y固定在y0而x在x0處有增量Dx時, 相應地函數(shù)有增量f(x0+Dx, y0)-f(x0, y0). 如果極限 存在, 則稱此極限為函數(shù)z=f(x, y)在點(x0, y0)處對x的偏導數(shù), 記作, , , 或.例如. 類似地, 函數(shù)z=f(x, y)在點(x0, y0)處對y 的偏導數(shù)定義為, 記作 , , , 或fy(x0, y0). 偏導函數(shù): 如果函數(shù)z=f(x, y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(x, y)處對x的偏導數(shù)都存在, 那么這個偏導數(shù)就是x、y的函數(shù), 它就稱為函數(shù)z=f(x, y)對自變量的偏導函數(shù), 記作, , , 或.偏導函數(shù)的定義式: . 類似地, 可定義函數(shù)z=f(x, y)對y的偏導函數(shù), 記為 , , zy , 或. 偏導函數(shù)的定義式: .求時, 只要把y暫時看作常量而對x求導數(shù); 求時, 只要把x暫時看作常量而對y求導數(shù). 討論: 下列求偏導數(shù)的方法是否正確？ , . , . 偏導數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù). 例如三元函數(shù)u=f(x, y, z)在點(x, y, z)處對x的偏導數(shù)定義為 , 其中(x, y, z)是函數(shù)u=f(x, y, z)的定義域的內(nèi)點. 它們的求法也仍舊是一元函數(shù)的微分法問題. 例1 求z=x2+3xy+y2在點(1, 2)處的偏導數(shù). 解 , ., . 例2 求z=x2sin 2y的偏導數(shù). 解 , . 例3 設, 求證: . 證 , . . 例4 求的偏導數(shù). 解 ; . 例5 已知理想氣體的狀態(tài)方程為pV=RT(R為常數(shù)), 求證: . 證 因為, ; , ; , ; 所以. 例5 說明的問題: 偏導數(shù)的記號是一個整體記號, 不能看作分子分母之商. 二元函數(shù)z=f(x, y)在點(x0, y0)的偏導數(shù)的幾何意義: fx(x0, y0)=f(x, y0)x是截線z=f(x, y0)在點M0處切線Tx對x軸的斜率. fy(x0, y0) =f(x0, y)y是截線z=f(x0, y)在點M0處切線Ty對y軸的斜率. 偏導數(shù)與連續(xù)性: 對于多元函數(shù)來說, 即使各偏導數(shù)在某點都存在, 也不能保證函數(shù)在該點連續(xù). 例如 在點(0, 0)有, fx(0, 0)=0, fy(0, 0)=0, 但函數(shù)在點(0, 0)并不連續(xù).提示: , ; , . 當點P(x, y)沿x軸趨于點(0, 0)時, 有 ; 當點P(x, y)沿直線y=kx趨于點(0, 0)時, 有 . 因此, 不存在, 故函數(shù)f(x, y)在(0, 0)處不連續(xù). 類似地, 可定義函數(shù)z=f(x, y)對y的偏導函數(shù), 記為 , , zy , 或. 偏導函數(shù)的定義式: .二. 高階偏導數(shù) 設函數(shù)z=f(x, y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導數(shù), , 那么在D內(nèi)fx(x, y)、fy(x, y)都是x, y 的函數(shù). 如果這兩個函數(shù)的偏導數(shù)也存在, 則稱它們是函數(shù)z=f(x, y)的二偏導數(shù). 按照對變量求導次序的為同有下列四個二階偏導數(shù) 如果函數(shù)z=f(x, y)在區(qū)域D內(nèi)的偏導數(shù)fx(x, y)、fy(x, y)也具有偏導數(shù), 則它們的偏導數(shù)稱為函數(shù)z=f(x, y)的二階偏導數(shù). 按照對變量求導次序的不同有下列四個二階偏導數(shù) , , , .其中, 稱為混合偏導數(shù)., , , .同樣可得三階、四階、以及n 階偏導數(shù).二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù). 例6 設z=x3y2-3xy3-xy+1, 求、和. 解 , ; , ; , . 由例6觀察到的問題: 定理 如果函數(shù)z=f(x, y)的兩個二階混合偏導數(shù)及在區(qū)域D內(nèi)連續(xù), 那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導數(shù)必相等. 類似地可定義二元以上函數(shù)的高階偏導數(shù). 例7 驗證函數(shù)滿足方程. 證 因為, 所以 , , , .因此 . 例8證明函數(shù)滿足方程, 其中. 證: , .同理 , .因此 .提示: .9. 3 全微分及其應用一、教學目的與要求：1理解多元函數(shù)全微分的概念，會求全微分。2了解全微分存在的必要條件和充分條件。 二、重點（難點）：多元函數(shù)連續(xù)、可偏導及可微分之間的關(guān)系三、教學方式：講授式教學結(jié)合多媒體講授內(nèi)容：一、全微分的定義 根據(jù)一元函數(shù)微分學中增量與微分的關(guān)系, 有 偏增量與偏微分: f(x+Dx, y)-f(x, y)fx(x, y)Dx, f(x+Dx, y)-f(x, y)為函數(shù)對x的偏增量, f x(x, y)Dx為函數(shù)對x的偏微分; f(x, y+Dy)-f(x, y)fy(x, y)Dy, f(x, y+Dy)-f(x, y)為函數(shù))對y的偏增量, f y(x, y)Dy為函數(shù)對y的偏微分. 全增量: Dz= f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y). 計算全增量比較復雜, 我們希望用Dx、Dy的線性函數(shù)來近似代替之. 定義 如果函數(shù)z=f(x, y)在點(x, y)的全增量 Dz= f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y) 可表示為 , 其中A、B不依賴于Dx、Dy 而僅與x、y 有關(guān), 則稱函數(shù)z=f(x, y)在點(x, y)可微分, 而稱ADx+BDy為函數(shù)z=f(x, y)在點(x, y)的全微分, 記作dz, 即 dz=ADx+BDy. 如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點處都可微分, 那么稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分. 可微與連續(xù): 可微必連續(xù), 但偏導數(shù)存在不一定連續(xù). 這是因為, 如果z=f(x, y)在點(x, y)可微, 則 Dz= f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y)=ADx+BDy+o(r),于是 , 從而 . 因此函數(shù)z=f(x, y)在點(x, y)處連續(xù). 可微條件: 定理1(必要條件) 如果函數(shù)z=f(x, y)在點(x, y)可微分, 則函數(shù)在該點的偏導數(shù)、必定存在, 且函數(shù)z=f(x, y)在點(x, y)的全微分為 . 證 設函數(shù)z=f(x, y)在點P(x, y)可微分. 于是, 對于點P的某個鄰域內(nèi)的任意一點P (x+Dx, y+Dy), 有Dz=ADx+BDy+o(r). 特別當Dy=0時有 f (x+Dx, y)-f(x, y)=ADx+o(|Dx|). 上式兩邊各除以Dx, 再令Dx0而取極限, 就得 , 從而偏導數(shù)存在, 且. 同理可證偏導數(shù)存在, 且. 所以 . 簡要證明: 設函數(shù)z=f(x, y)在點(x, y)可微分. 于是有Dz=ADx+BDy+o(r). 特別當Dy=0時有 f (x+Dx, y)-f(x, y)=ADx+o(|Dx|). 上式兩邊各除以Dx, 再令Dx0而取極限, 就得 , 從而存在, 且. 同理存在, 且. 所以. 偏導數(shù)、存在是可微分的必要條件, 但不是充分條件. 例如, 函數(shù)在點(0, 0)處雖然有f x(0, 0)=0及f y(0, 0)=0, 但函數(shù)在(0, 0)不可微分, 即Dz-fx(0, 0)Dx+fy(0, 0)Dy不是較r高階的無窮小. 這是因為當(Dx, Dy)沿直線y=x趨于(0, 0)時, . 定理2(充分條件) 如果函數(shù)z=f(x, y)的偏導數(shù)、在點(x, y)連續(xù), 則函數(shù)在該點可微分. 定理1和定理2的結(jié)論可推廣到三元及三元以上函數(shù). 按著習慣, Dx、Dy分別記作dx、dy, 并分別稱為自變量的微分, 則函數(shù)z=f(x, y)的全微分可寫作 . 二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理. 疊加原理也適用于二元以上的函數(shù), 例如函數(shù)u=f (x, y, z) 的全微分為 . 例1 計算函數(shù)z=x2y +y2的全微分. 解 因為, , 所以dz=2xydx+(x2+2y)dy . 例2 計算函數(shù)z=exy在點(2, 1)處的全微分. 解 因為, , , , 所以 dz=e2dx+2e2dy . 例3 計算函數(shù)的全微分. 解 因為, , , 所以 . 9. 4 多元復合函數(shù)的求導法則一、教學目的與要求：1掌握多元復合函數(shù)導數(shù)的求法。2了解全微分形式的不變性。二、重點（難點）：多元復合函數(shù)導數(shù)的求法三、教學方式：講授式教學結(jié)合多媒體講授內(nèi)容： 設z=f(u, v), 而u=j(t), v=y(t), 如何求？ 設z=f(u, v), 而u=j(x, y), v=y(x, y), 如何求和？ 1. 復合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形 定理1 如果函數(shù)u=j(t)及v=y(t)都在點t可導, 函數(shù)z=f(u, v)在對應點(u, v)具有連續(xù)偏導數(shù), 則復合函數(shù)z=fj(t), y(t)在點t可導, 且有 . 簡要證明1: 因為z=f(u, v)具有連續(xù)的偏導數(shù), 所以它是可微的, 即有 .又因為u=j(t)及v=y(t)都可導, 因而可微, 即有 , , 代入上式得 , 從而 . 簡要證明2: 當t取得增量Dt時, u、v及z相應地也取得增量Du、Dv及Dz . 由z=f(u, v)、u=j(t)及v=y(t)的可微性, 有 , , 令Dt0, 上式兩邊取極限, 即得 . 注:. 推廣: 設z=f (u, v, w), u=j(t), v=y(t), w=w(t), 則z=fj(t), y(t), w(t)對t 的導數(shù)為: . 上述稱為全導數(shù). 2. 復合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形 定理2 如果函數(shù)u=j(x, y), v=y(x, y)都在點(x, y)具有對x及y的偏導數(shù), 函數(shù)z=f(u, v)在對應點(u, v)具有連續(xù)偏導數(shù), 則復合函數(shù)z=f j(x, y), y(x, y)在點(x, y)的兩個偏導數(shù)存在, 且有 , . 推廣: 設z=f(u, v, w ), u=j(x, y), v=y(x, y), w=w(x, y), 則 , . 討論: (1)設z=f(u, v), u=j(x, y), v=y(y), 則？ 提示: , . (2)設z=f(u, x, y), 且u=j(x, y), 則？ 提示: , . 這里與是不同的, 是把復合函數(shù)z=fj(x, y), x, y中的y看作不變而對x的偏導數(shù), 是把f(u, x, y)中的u及y看作不變而 對x的偏導數(shù). 與也朋類似的區(qū)別. 3復合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù), 又有多元函數(shù)的情形 定理3 如果函數(shù)u=j(x, y)在點(x, y)具有對x及對y的偏導數(shù), 函數(shù)v=y(y)在點y可導, 函數(shù)z=f(u, v)在對應點(u, v)具有連續(xù)偏導數(shù), 則復合函數(shù)z=fj(x, y), y(y)在點(x, y)的兩個偏導數(shù)存在, 且有 , . 例1 設z=eusin v, u=xy, v=x+y, 求和. 解 =eusin vy+eucos v1 =ex yy sin(x+y)+cos(x+y), =eusin vx+eucos v1 =exyx sin(x+y)+cos(x+y). 例2 設, 而. 求和. 解 . . 例3 設z=uv+sin t , 而u=et, v=cos t. 求全導數(shù). 解 =vet+u(-sin t)+cos t =etcos t-e tsin t+cos t =et(cos t-sin t)+cos t . 例4 設w=f(x+y+z, xyz), f具有二階連續(xù)偏導數(shù), 求及. 解 令u=x+y+z, v=xyz , 則w=f(u, v). 引入記號: , ; 同理有,等. , . 注: , . 例5 設u=f(x, y)的所有二階偏導數(shù)連續(xù), 把下列表達式轉(zhuǎn)換成極坐標系中的形式: (1); (2). 解 由直角坐標與極坐標間的關(guān)系式得 u=f(x, y)=f(rcos, rsin)=F(r, ), 其中x=rcos, y=rsin, , .應用復合函數(shù)求導法則, 得 , .兩式平方后相加, 得 .再求二階偏導數(shù), 得 .同理可得 .兩式相加, 得 . 全微分形式不變性: 設z=f(u, v)具有連續(xù)偏導數(shù), 則有全微分 . 如果z=f(u, v)具有連續(xù)偏導數(shù), 而u=j(x, y), v=y(x, y)也具有連續(xù)偏導數(shù), 則 . 由此可見, 無論z 是自變量u、v的函數(shù)或中間變量u、v的函數(shù), 它的全微分形式是一樣的. 這個性質(zhì)叫做全微分形式不變性. 例6 設z=e usin v, u=x y, v=x+y, 利用全微分形式不變性求全微分. 解 = e usin vdu+ e ucos v dv = e usin v(y dx+x dy )+ e ucos v(dx+dy) =( ye usin v+ e ucos v)dx+(xe usin v+ e ucos v )dy =e xy y sin(x+y)+cos(x+y)dx+ e xy x sin(x+y)+cos(x+y)dy . 9. 5 隱函數(shù)的求導法則一、教學目的與要求：會求隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導數(shù)。二、重點（難點）：隱函數(shù)的偏導數(shù)三、教學方式：講授式教學結(jié)合多媒體講授內(nèi)容：一、一個方程的情形 隱函數(shù)存在定理1 設函數(shù)F(x, y)在點P(x0, y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導數(shù), F(x0, y0)=0, Fy(x0, y0)0, 則方程F(x, y)=0在點(x0, y0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)y=f(x), 它滿足條件y0=f(x0), 并有 . 求導公式證明: 將y=f(x)代入F(x, y)=0, 得恒等式 F(x, f(x)0, 等式兩邊對x求導得 , 由于F y連續(xù), 且Fy(x0, y0)0, 所以存在(x0, y0)的一個鄰域, 在這個鄰域同F(xiàn)y 0, 于是得 . 例1 驗證方程x2+y2-1=0在點(0, 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)、當x=0時y=1的隱函數(shù)y=f(x), 并求這函數(shù)的一階與二階導數(shù)在x=0的值. 解 設F(x, y)=x2+y2-1, 則Fx=2x, Fy=2y, F(0, 1)=0, Fy(0, 1)=20. 因此由定理1可知, 方程x2+y2-1=0在點(0, 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)、當x=0時y=1的隱函數(shù)y=f(x). , ; ； . 隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù). 一個二元方程F(x, y)=0可以確定一個一元隱函數(shù), 一個三元方程F(x, y, z)=0可以確定一個二元隱函數(shù). 隱函數(shù)存在定理2 設函數(shù)F(x, y, z)在點P(x0, y0, z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導數(shù), 且F(x0, y0, z0)=0, Fz(x0, y0, z0)0 , 則方程F(x, y, z)=0在點(x0, y0, z0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)z=f(x, y), 它滿足條件z0=f(x0, y0), 并有 , . 公式的證明: 將z=f(x, y)代入F(x, y, z)=0, 得F(x, y, f(x, y)0, 將上式兩端分別對x和y求導, 得 , . 因為F z連續(xù)且F z(x0, y0, z0)0, 所以存在點(x0, y0, z0)的一個鄰域, 使F z0, 于是得 , . 例2. 設x2+y2+z2-4z=0, 求. 解 設F(x, y, z)= x2+y2+z2-4z, 則Fx=2x, Fy=2z-4, , . 二、方程組的情形 在一定條件下, 由個方程組F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0可以確定一對二元函數(shù)u=u(x, y), v=v(x, y), 例如方程xu-yv=0和yu+xv=1可以確定兩個二元函數(shù), . 事實上, xu-yv=0 , . 如何根據(jù)原方程組求u, v的偏導數(shù)？ 隱函數(shù)存在定理3 設F(x, y, u, v)、G(x, y, u, v)在點P(x0, y0, u0, v0)的某一鄰域內(nèi)具有對各個變量的連續(xù)偏導數(shù), 又F(x0, y0, u0, v0)=0, G(x0, y0, u0, v0)=0, 且偏導數(shù)所組成的函數(shù)行列式： 在點P(x0, y0, u0, v0)不等于零, 則方程組F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0在點P(x0, y0, u0, v0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)u=u(x, y), v=v(x, y), 它們滿足條件u0=u(x0, y0), v0=v(x0, y0), 并有 , , , . 隱函數(shù)的偏導數(shù): 設方程組F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0確定一對具有連續(xù)偏導數(shù)的二元函數(shù)u=u(x, y), v=v(x, y), 則 偏導數(shù), 由方程組確定; 偏導數(shù), 由方程組確定. 例3 設xu-yv=0, yu+xv=1, 求, , 和. 解 兩個方程兩邊分別對x 求偏導, 得關(guān)于和的方程組,當x2+y2 0時, 解之得, . 兩個方程兩邊分別對x 求偏導, 得關(guān)于和的方程組,當x2+y2 0時, 解之得, . 另解 將兩個方程的兩邊微分得 , 即. 解之得 , . 于是 , , , . 例4 設函數(shù)x=x(u, v), y=y(u, v)在點(u, v)的某一領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且有連續(xù)偏導數(shù), 又 . (1)證明方程組 在點(x, y, u, v)的某一領(lǐng)域內(nèi)唯一確定一組單值連續(xù)且有連續(xù)偏導數(shù)的反函數(shù)u=u(x, y), v=v(x, y). (2)求反函數(shù)u=u(x, y), v=v(x, y)對x, y的偏導數(shù). 解 (1)將方程組改寫成下面的形式 , 則按假設 由隱函數(shù)存在定理3, 即得所要證的結(jié)論. (2)將方程組(7)所確定的反函數(shù)u=u(x