蘇汝鏗量子力學(xué)課后習(xí)題及答案chapter2.pdf

第二章 典型例題分析 2003 12 8 2 1 粒子在一維勢(shì) 0 0 0 0 xa V x Vxxa 運(yùn)動(dòng) 當(dāng)粒子的總能量 E V0時(shí) 試說(shuō)明粒子 的能譜是分立的 解題思路 粒子的運(yùn)動(dòng)滿足 Shrodinger 方程 當(dāng) E V0時(shí) 由于方程的邊值條件使能級(jí)分裂 由粒子的波函數(shù)和它的一次導(dǎo)數(shù)連續(xù) 可得到能級(jí) 解 由靜態(tài) Shrodinger 方程及x 時(shí)波函數(shù)為零 22 2 2 d V xE m dx 得到 1020 0 sincos 0 kx kx c ex xck xck xxa c exa 2 1 00 2 2 km VEkmE 2 2 在 x a 處 1020 sincos ka ck ack ac e 2 3 1020 0 cossin ka k ck ack ac e k 2 4 在 x 0 處 1 0 k cc k 2 5 2 cc 2 6 由此 00 01 20 00 0 sincos cossin ka ka k c ek ak a kck k ck c ek ak a k 2 7 化簡(jiǎn)后有 0 0 22 0 2 tan k k k a kk 2 8 再用圖解法 可以知道 E 的解是分立的 即粒子的能譜是分立的 2 2 證明從單粒子 Schrodinger 方程得出的粒子速度場(chǎng)是非旋的 即 0v 其中 vj 為概率密度 j 為概率流密度 解體思路 運(yùn)用概率密度和概率流密度公式即可證此題 證明 概率密度和概率流密度的公式 2 9 2 i j m 2 10 速度場(chǎng)為 ln 22 ii vj mm 2 11 其旋度 ln 0 2 i v m 2 12 得證 2 3 求二維各向同性皆振子的能級(jí)和簡(jiǎn)并度 解題思路 在列出 Schrodinger 方程之后 可以看到二維情況下 方程可以通過(guò)分離變量法 求解 而且除了量子數(shù)外 方程形式和一維時(shí)一樣 這樣 就可以方便地得到能級(jí)形式 解 由 Shrodinger 方程 222 222 22 1 22 mxyx yEx y mxy 2 13 設(shè) x yX x Y y 方程可化為 22 22 2 1 22 y my Y yE Y y m y 2 14 22 22 2 1 22 y mxX xEEX x m x 2 15 顯然 這是兩個(gè)一維振子的方程 它們的能級(jí)為 1 2 yy En 和 1 2 yx EEn 2 16 所以 1 1 xy Ennn 2 17 由于 當(dāng) n 一定時(shí) nx取 0 1 2 而 ny相應(yīng)地取 n nx 都對(duì)應(yīng)同一能級(jí) 因此此能級(jí) 是 n 1 度簡(jiǎn)并的 2 4 在時(shí)間 t 0 時(shí) 一維線性皆振子處于用下列歸一化的波函數(shù)所描寫(xiě)的狀態(tài) 0233 11 0 52 xuxuxc u x 其中 un x 為第 n 個(gè)時(shí)間無(wú)關(guān)的本征函數(shù) 1 求 C3的值 2 寫(xiě)出 t 時(shí)刻的波函數(shù) 3 在 t 0 時(shí)的振子能量的期望值為多少 t 1 時(shí)又如何 解題思路 題設(shè)的狀態(tài)是一個(gè)混合態(tài) 由幾個(gè)本征態(tài)組合而成 第一小題用波函數(shù)的歸一 化條件即可解決 第二小題只要在每一項(xiàng)添上波函數(shù)的時(shí)間因子 第三小題直接利用定義即 可 解 1 歸一化條件 0 0 1xxdx 2 18 即 2222 0233 11 1 52 ux dxux dxcux dx 2 19 或 2 33 11 3 1 10 52 cc 2 20 2 既然題設(shè)的狀態(tài)是由幾個(gè)本征態(tài)組合而成 應(yīng)將每個(gè)本征態(tài)的時(shí)間因子補(bǔ)上 即 n E it nn n x tc ux e 2 21 1 2 n En 2 22 因此 0 1 2 E 2 5 2 E 3 7 2 E 157 222 023 113 5210 ititit x tux eux eu x e 2 23 4 在 t 時(shí)刻的能量期望值 22 22 2 1 22 d Ex tmxx t dx m dx 2 24 22 2 22 2 1 22 nn EE itit nnn n d Ecux emx ux edx m dx 2 25 而 22 22 2 1 22 nnn d mx uxE ux m dx 2 26 22 2 nnnnn nn Ec Eux dxc E 2 27 所以 1 11 53712 5 22 210 25 E 2 28 2 5 粒子以動(dòng)能 E 入射到如下勢(shì)壘 0 V xVxxa 求反射率和透射率 及發(fā) 生完全透射的條件 解題思路 通過(guò) Shrodinger 方程 可以得到波函數(shù)的形式 入射波函數(shù)由入射波和反射波構(gòu) 成 再利用邊界上波函數(shù)的連續(xù)性 即可確定波函數(shù)系數(shù)的具體值 便可得到反射率和透 射率 要注意的是 勢(shì)壘為廣義函數(shù) 要用特殊的方法來(lái)處理邊界的情況 解 設(shè) 2 kmE 2 0 2 CmaV Shrodinger 方程可寫(xiě)成 2 0 C kxxa a 2 29 在 x 0 附近幾分 可得 躍變條件 0 0 0 C a 2 30 x a 處 C aaa a 2 31 而 x 應(yīng)是連續(xù)的 除了 x 0 a 兩個(gè)奇點(diǎn)外 Schrodinger 方程為 2 0k 2 32 特解為 ikx e 如取入射波為 ikx e 則總波函數(shù)可表為 0 0 ikxikx ikxikx ikx eRex xAeBexa Dexa 2 33 其中 R 項(xiàng)為反射波 D 項(xiàng)為透射波 2 R為反射率 2 D為透射率 利用 連續(xù)條件和 躍變條件 得到 1RAB 2 34 1 C ik ABRAB a 2 35 ikaikaika AeBeDe 2 36 ikaikaika C ik DA eikBeDe a 2 37 解出 R D A B 2 22 iak i A ie 2 22 iak i