江蘇2008年——2011年數(shù)學(xué)高考試卷及答案.doc

2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）一、填空題：本大題共1小題，每小題5分，共70分1.的最小正周期為，其中，則= 2一個(gè)骰子連續(xù)投2 次，點(diǎn)數(shù)和為4 的概率 3.表示為，則= 4.A=，則A Z 的元素的個(gè)數(shù) 5.，的夾角為， 則 6.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)D是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對值均不大于2 的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域， E是到原點(diǎn)的距離不大于1 的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，向D 中隨機(jī)投一點(diǎn)，則所投的點(diǎn)落入E 中的概率是 7.某地區(qū)為了解70-80歲老人的日平均睡眠時(shí)間（單位：h），隨即選擇了50為老人進(jìn)行調(diào)查，下表是這50為老人日睡眠時(shí)間的頻率分布表。序號（i）分組（睡眠時(shí)間）組中值（Gi）頻數(shù)（人數(shù)）頻率（Fi）14，54.560.1225，65.5100.2036，76.5200.4047，87.5100.2058，98.540.08在上述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析中，一部分計(jì)算見算法流程圖，則輸出的S的值是 8.設(shè)直線是曲線的一條切線，則實(shí)數(shù)b 9在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)三角形ABC 的頂點(diǎn)分別為A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，點(diǎn)P（0，p）在線段AO 上的一點(diǎn)（異于端點(diǎn)），設(shè)a,b,c, p 均為非零實(shí)數(shù)，直線BP,CP 分別與邊AC , AB 交于點(diǎn)E、F ，某同學(xué)已正確求得OE的方程：，請你完成直線OF的方程：（ ）.10將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：12 34 5 67 8 9 10 11 12 13 14 15 按照以上排列的規(guī)律，數(shù)陣中第n 行（n 3）從左向右的第3 個(gè)數(shù)為 11.已知，滿足，則的最小值是 12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓1( 0)的焦距為2c，以點(diǎn)O為圓心，為半徑作圓M，若過點(diǎn)P 所作圓M的兩條切線互相垂直，則該橢圓的離心率為= 13滿足條件AB=2, AC=BC 的三角形ABC的面積的最大值是 14.設(shè)函數(shù)（xR），若對于任意，都有0 成立，則實(shí)數(shù)= 二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分。請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊做兩個(gè)銳角,，它們的終邊分別與單位圓相交于A、B 兩點(diǎn)，已知A、B 的橫坐標(biāo)分別為（）求tan()的值；（）求的值16如圖，在四面體ABCD 中，CB= CD, ADBD，點(diǎn)E 、F分別是AB、BD 的中點(diǎn)，求證：（）直線EF 平面ACD ；（）平面EFC平面BCD 17如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD 的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B 及CD的中點(diǎn)P 處，已知AB=20km, CB =10km ，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形ABCD 的區(qū)域上（含邊界），且與A、B 等距離的一點(diǎn)O 處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道AO,BO,OP ，設(shè)排污管道的總長為km（）按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：設(shè)BAO=(rad)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式；設(shè)OP(km) ，將表示成的函數(shù)關(guān)系式（）請你選用（）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短18設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C（）求實(shí)數(shù)b 的取值范圍；（）求圓C 的方程；（）問圓C 是否經(jīng)過某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與b 無關(guān)）？請證明你的結(jié)論19.（）設(shè)是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列（），且公差，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)得到的數(shù)列（按原來的順序）是等比數(shù)列：當(dāng)n =4時(shí)，求的數(shù)值；求的所有可能值；（）求證：對于一個(gè)給定的正整數(shù)n(n4)，存在一個(gè)各項(xiàng)及公差都不為零的等差數(shù)列，其中任意三項(xiàng)（按原來順序）都不能組成等比數(shù)列20.若，為常數(shù)，函數(shù)f (x)定義為：對每個(gè)給定的實(shí)數(shù)x，（）求對所有實(shí)數(shù)x成立的充要條件（用表示）；（）設(shè)為兩實(shí)數(shù)，滿足，且,若，求證：在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為（閉區(qū)間的長度定義為）2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)參考答案一、填空題：本大題共1小題，每小題5分，共70分1. 【答案】10【解析】本小題考查三角函數(shù)的周期公式.2【答案】【解析】本小題考查古典概型基本事件共66 個(gè)，點(diǎn)數(shù)和為4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 個(gè)，故3. 【答案】1【解析】本小題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算 ，0，1，因此4. 【答案】0【解析】本小題考查集合的運(yùn)算和解一元二次不等式由得,0，集合A 為 ，因此A Z 的元素不存在5. 【答案】7【解析】本小題考查向量的線性運(yùn)算=，76. 【答案】【解析】本小題考查古典概型如圖：區(qū)域D 表示邊長為4 的正方形的內(nèi)部（含邊界），區(qū)域E 表示單位圓及其內(nèi)部，因此7. 【答案】6.428. 【答案】ln21【解析】本小題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的求法 ，令得，故切點(diǎn)（2，ln2），代入直線方程，得，所以bln219【答案】【解析】本小題考查直線方程的求法畫草圖，由對稱性可猜想填事實(shí)上，由截距式可得直線AB：，直線CP： ，兩式相減得，顯然直線AB與CP 的交點(diǎn)F 滿足此方程，又原點(diǎn)O 也滿足此方程，故為所求直線OF 的方程10【答案】【解析】本小題考查歸納推理和等差數(shù)列求和公式前n1 行共有正整數(shù)12（n1）個(gè)，即個(gè)，因此第n 行第3 個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第3個(gè)，即為11. 【答案】3【解析】本小題考查二元基本不等式的運(yùn)用由得，代入得，當(dāng)且僅當(dāng)3 時(shí)取“”12. 【答案】【解析】設(shè)切線PA、PB 互相垂直，又半徑OA 垂直于PA，所以O(shè)AP 是等腰直角三角形，故，解得13【答案】【解析】本小題考查三角形面積公式、余弦定理以及函數(shù)思想設(shè)BC，則AC ，根據(jù)面積公式得=，根據(jù)余弦定理得，代入上式得=由三角形三邊關(guān)系有解得，故當(dāng)時(shí)取得最大值14. 【答案】4【解析】本小題考查函數(shù)單調(diào)性的綜合運(yùn)用若x0，則不論取何值，0顯然成立；當(dāng)x0 即時(shí)，0可化為，設(shè)，則， 所以 在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，從而4；當(dāng)x0 即時(shí)，0可化為， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此，從而4，綜上4二、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟15【解析】本小題考查三角函數(shù)的定義、兩角和的正切、二倍角的正切公式解：由已知條件及三角函數(shù)的定義可知，因?yàn)?為銳角，所以=因此（）tan()= （） ，所以為銳角，=16【解析】本小題考查空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系的判定解：（） E,F 分別是AB,BD 的中點(diǎn)，EF 是ABD 的中位線，EFAD，EF面ACD ，AD 面ACD ，直線EF面ACD （） ADBD ，EFAD， EFBD.CB=CD, F 是BD的中點(diǎn)，CFBD.又EFCF=F，BD面EFCBD面BCD，面EFC面BCD 17【解析】本小題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用解：（）延長PO交AB于點(diǎn)Q，由條件知PQ 垂直平分AB，若BAO=(rad) ，則, 故，又OP1010ta，所以， 所求函數(shù)關(guān)系式為若OP=(km) ，則OQ10，所以O(shè)A =OB=所求函數(shù)關(guān)系式為（）選擇函數(shù)模型，令0 得sin ，因?yàn)椋?，當(dāng)時(shí)， ，是的減函數(shù)；當(dāng)時(shí)， ，是的增函數(shù)，所以當(dāng)=時(shí)，。這時(shí)點(diǎn)P 位于線段AB 的中垂線上，且距離AB 邊km處。18【解析】本小題主要考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、圓的方程的求法解：（）令0，得拋物線與軸交點(diǎn)是（0，b）；令，由題意b0 且0，解得b1 且b0（）設(shè)所求圓的一般方程為令0 得這與0 是同一個(gè)方程，故D2，F(xiàn)令0 得0，此方程有一個(gè)根為b，代入得出Eb1所以圓C 的方程為.（）圓C 必過定點(diǎn)（0，1）和（2，1）證明如下：將（0，1）代入圓C 的方程，得左邊0120（b1）b0，右邊0，所以圓C 必過定點(diǎn)（0，1）同理可證圓C 必過定點(diǎn)（2，1）19.【解析】本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)，考查運(yùn)用分類討論的思想方法進(jìn)行探索分析及論證的能力，滿分16分。解：首先證明一個(gè)“基本事實(shí)”：一個(gè)等差數(shù)列中，若有連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列的公差d0=0事實(shí)上，設(shè)這個(gè)數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)a-d0,a,d+d0成等比數(shù)列，則a2=(d-d0)(a+d0)由此得d0=0（1）(i) 當(dāng)n=4時(shí), 由于數(shù)列的公差d0,故由“基本事實(shí)”推知，刪去的項(xiàng)只可能為a2或a3若刪去，則由a1,a3,a4 成等比數(shù)列，得(a1+2d)2=a1(a1+3d)因d0，故由上式得a1=4d，即=4，此時(shí)數(shù)列為4d, 3d, 2d, d，滿足題設(shè)。若刪去a3，則由a1,a2,a4 成等比數(shù)列，得(a1+d)2=a1(a1+3d)因d0，故由上式得a1=d，即=1，此時(shí)數(shù)列為d, 2d, 3d, 4d，滿足題設(shè)。綜上可知，的值為4或1。(ii)若n6，則從滿足題設(shè)的數(shù)列a1,a2,an中刪去一項(xiàng)后得到的數(shù)列，必有原數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)，從而這三項(xiàng)既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，故由“基本事實(shí)”知，數(shù)列a1,a2,an的公差必為0，這與題設(shè)矛盾，所以滿足題設(shè)的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n5，又因題設(shè)n4，故n=4或5.當(dāng)n=4時(shí)，由（i）中的討論知存在滿足題設(shè)的數(shù)列。當(dāng)n=5時(shí)，若存在滿足題設(shè)的數(shù)列a1,a2,a3,a4,a5，則由“基本事實(shí)”知，刪去的項(xiàng)只能是a3，從而a1,a2,a4,a5成等比數(shù)列，故(a1+d)2=a1(a1+3d)及 (a1+3d)2=(a1+d)(a1+4d)分別化簡上述兩個(gè)等式，得a1d=d2及a1d=5d,故d=0，矛盾。因此，不存在滿足題設(shè)的項(xiàng)數(shù)為5的等差數(shù)列。綜上可知，n只能為4.（2）假設(shè)對于某個(gè)正整數(shù)n，存在一個(gè)公差為d的n項(xiàng)等差數(shù)列b1,b1+ d,，b1+(n-1) d(b1 d0)，其中三項(xiàng)b1+m1 d,b1+m2 d,b1+m3 d成等比數(shù)列，這里0m1m20，使得，則稱函數(shù)具有性質(zhì).（1）設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)（）求證：函數(shù)具有性質(zhì)；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）已知函數(shù)具有性質(zhì)，給定，且，若|0)的圖像在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak+1,k為正整數(shù)，a1=16，則a1+a3+a5=_簡析：對原函數(shù)求導(dǎo)得y=2x (x0)，據(jù)題意，由a1=16=24依次求得a2=8，a3=4，a4=2，a5=1，所以a1+a3+a5=219、 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x2+y2=4四個(gè)點(diǎn)到直線12x5y+c=0的距離為1，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是_簡析：若使圓上有且僅有四點(diǎn)到直線12x5y+c=0距離為1，則圓心到該直線之距應(yīng)小于1，即f(2x)的x的范圍是_簡析：設(shè)t=1x2，當(dāng)x1時(shí)，t0，2x1時(shí)，t2，f(1x2)=1，f(2x)=(2x)2+15，顯然不滿足f(1x2)f(2x)當(dāng)1x0時(shí)，t0，2xf(2x) (x1)；當(dāng)0x1時(shí)，t0，2x0，所以f(1x2)=(1x2)2+11，f(2x)=(2x)2+1，由f(1x2)f(2x) (1x2)2+1(2x)2+1x46x2+100x1 綜上，x(1,1)12、 設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足3xy28，49，則的最大值是_簡析：由題意知x,y均為非0的正實(shí)數(shù)。 由3xy28 ，又49 3，即3 493 2713、 在銳角三角形ABC，A、B、C的對邊分別為a、b、c，+=6cosC，則+=_簡析：據(jù)正、余弦定理，由已知等式，角化邊得3c2=2a2+2b2 ，邊化角得=6cosC 因?yàn)?= tanC( + )=tanC = 至此，式還有多種變形，此不贅舉，僅以下法解本題。 據(jù)式，式= ，又據(jù)式，式=4 14、 將邊長為1的正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S=,則S的最小值是_簡析：如圖，ABC是邊長為1的正，EFBC，四邊形BCFE為梯形； 設(shè)AE=x (0x1)，則梯形BCFE周長=3x，梯形BCFE面積=(1x2)，所以據(jù)題意知： S= (0x1) 對S(x)求導(dǎo)，令S(x)=0，聯(lián)系0x1得x=，又0x，S(x)0，x0 所以x=時(shí)S(x)有最小值S()=2、 解答題15、 （14分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)(1) 求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長(2) 設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(t)=0=0，求t的值簡析：據(jù)題意，本小問解法不唯一，如利用平行四邊形性質(zhì)求出第四點(diǎn)D，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式求兩對角線；又如，亦可利用向量知識(shí)，求向量與和、差的模；兩對角線長為2,4因?yàn)?(3,5), =(2,1)，所以由(t)=0知t= 16、 （14分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,ABDC，BCD=900(1) 求證：PCBC(2) 求點(diǎn)A到平面PBC的距離 簡析：證：因PD底面ABCD，BC在底面上，所以PDBC； 又因BCD=900，所以BCDC；又PD、DC相交于D，所以BC平面PDC 又PC在平面PDC上，所以BCPC，即PCBC在底面ABCD上作AEBC交CD延長線于E，則E在平面PDC上；在平面PDC上作EFPC交PC于F，結(jié)合推知EF平面PBC，所以垂線段EF長就是點(diǎn)A到平面PBC的距離。在PEC中，利用面積的等積性有 ECPDPCEF所以EF=，所以點(diǎn)A到平面PBC之距為此法求解，主要依據(jù)線面平行時(shí)，直線上每一點(diǎn)到平面的距離都相等；另外，本題也可以通過構(gòu)造三棱錐，利用等積法來求點(diǎn)面距；如三棱錐APBC與三棱錐PABC實(shí)為同一個(gè)錐，而三棱錐PABC的底面積=ABBC=1，高=PD=1；三棱錐APBC的底面積=PCBC=，所以可求得三棱錐APBC的高為，亦即點(diǎn)A到平面PBC的距離為17、 （14分）某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位m），如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿BC高度h=4m，仰角ABE=，ADE=(1) 該小組已經(jīng)測得一組、的值，tan=1.24,tan=1.20,請據(jù)此算出H的值(2) 該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d（單位m），使與之差較大，可以提高測量精確度，若電視塔實(shí)際高度為125m，問d為多少時(shí)，最大解析：18.（16分）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓+=1的左右頂點(diǎn)為A,B，右焦點(diǎn)為F，設(shè)過點(diǎn)T(t,m)的直線TA,TB與橢圓分別交于點(diǎn)M(x1,y1)，N(x2,y2)，其中m0,y10,y2cSk都成立。求證：c的最大值為20.（16分）設(shè)f(x)使定義在區(qū)間(1,+)上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f (x).如果存在實(shí)數(shù)a和函數(shù)h(x)，其中h(x)對任意的x(1,+)都有h(x)0，使得f (x)=h(x)(x2ax+1)，則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(a).設(shè)函數(shù)f(x)=h(x)+ (x1)，其中b為實(shí)數(shù)求證：函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(b) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間已知函數(shù)g(x)具有性質(zhì)P(2)，給定x1,x2(1,+)，x11，b1，若|g(a)g(b)|b Then maElse mbEnd IfPrint m1已知集合，則 2函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是 3設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的實(shí)部是 4根據(jù)如圖所示的偽代碼，當(dāng)輸入分別為2，3時(shí)，最后輸出的的值為 5從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)的兩倍的概率是 6某老師從星期一到星期五收到的信件數(shù)分別是10，6，8，5，6，則該組數(shù)據(jù)的方差 7已知，則的值為 8在平面直角坐標(biāo)系中，過坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線與函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)，則線段長的最小值是 9函數(shù)（，是常數(shù)，）的部分圖象如圖所示，則的值是 10已知，是夾角為的兩個(gè)單位向量，若，則實(shí)數(shù)的值為 11已知實(shí)數(shù)，函數(shù)，若，則的值為 12在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)是函數(shù)的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，該圖象在處的切線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則的最大值是 13設(shè)，其中成公比為的等比數(shù)列，成公差為1的等差數(shù)列，則的最小值是 14設(shè)集合，若， 則實(shí)數(shù)的取值范圍是 二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分14分）在中，角的對邊分別為（1）若，求的值；（2）若，求的值16（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐中，平面平面，分別是的中點(diǎn)求證：（1）直線平面；（2）平面平面17（本小題滿分14分）請你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)設(shè)AEFBx（cm）（1）某廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S（cm2）最大，試問x應(yīng)取何值？（2）某廠商要求包裝盒的容積V（cm3）最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值18（本小題滿分16分）