電磁場與電磁波(第四版)謝處方 第五章習(xí)題解答.pdf

電磁場與電磁波 第四版 謝處方電磁場與電磁波 第四版 謝處方 第第五章習(xí)題解答五章習(xí)題解答 5 1 真空中直線長電流I的磁場中有一等邊三角形回路 如題 5 1 圖所示 求三角形回路內(nèi) 的磁通 解解 根據(jù)安培環(huán)路定理 得到長直導(dǎo)線的電流I產(chǎn)生的磁場 0 2 I r Be 穿過三角形回路面積的磁通為 d S B S 3232 00 0 2 d dd 2 dbdbz dd IIz zxx xx 由題 5 1 圖可知 tan 63 xd zxd 故得到 32 0 d 3 db d Ixd x x 0 3 ln 1 223 I bdb d 5 2 通過電流密度為J的均勻電流的長圓柱導(dǎo)體中有一平行的圓柱形空腔 如題 5 2 圖所 示 計(jì)算各部分的磁感應(yīng)強(qiáng)度B 并證明腔內(nèi)的磁場是均勻的 解解 將空腔中視為同時(shí)存在J和 J 的兩種電流密度 這樣可將原來的電流分布分解為兩個(gè) 均勻的電流分布 一個(gè)電流密度為J 均勻分布在半徑為b的圓柱內(nèi) 另一個(gè)電流密度為 J 均勻分布在半徑為a的圓柱內(nèi) 由安培環(huán)路定律 分別求出兩個(gè)均勻分布電流的磁場 然后進(jìn)行 疊加即可得到圓柱內(nèi)外的磁場 由安培環(huán)路定律 0 d C I Bl 可得到電流密度為J 均勻分布在半徑為b的圓柱內(nèi)的電 d b I z x 題 5 1 圖 dS b r a r J b o a o a b 題 5 2 圖 d 流產(chǎn)生的磁場為 0 2 0 2 2 2 bb b b b b rb b rb r Jr B Jr 電流密度為 J 均勻分布在半徑為a的圓柱內(nèi)的電流產(chǎn)生的磁場為 0 2 0 2 2 2 aa a a a a ra a ra r Jr B Jr 這里 a r和 b r分別是點(diǎn) a o 和 b o 到場點(diǎn)P的位置矢量 將 a B 和 b B疊加 可得到空間各區(qū)域的磁場為 圓柱外 22 0 22 2 ba ba ba rr BJrr b rb 圓柱內(nèi)的空腔外 2 0 2 2 ba a a r BJrr ba rb ra 空腔內(nèi) 00 22 ba BJrrJd a ra 式中d是點(diǎn)和 b o 到點(diǎn) a o 的位置矢量 由此可見 空腔內(nèi)的磁場是均勻的 5 3 下面的矢量函數(shù)中哪些可能是磁場 如果是 求其源變量J 1 0 rar HeBH 圓柱坐標(biāo) 2 0 xy ayaxHeeBH 3 0 xy axayHeeBH 4 0 arHeBH 球坐標(biāo)系 解解 根據(jù)恒定磁場的基本性質(zhì) 滿足 0B 的矢量函數(shù)才可能是磁場的場矢量 否則 不是磁場的場矢量 若是磁場的場矢量 則可由J H 求出源分布 1 在圓柱坐標(biāo)中 2 11 20 r rBara r rr r B 該矢量不是磁場的場矢量 2 0ayax xy B 該矢量是磁場的矢量 其源分布為 2 0 xyz z a xyz a ya x eee JHe 3 0axay xy B 該矢量是磁場的場矢量 其源分布為 0 0 xyz xyz a xa y eee JH 4 在球坐標(biāo)系中 11 0 sinsin B ar rr B 該矢量是磁場的場矢量 其源分布為 2 2 sin 1 ctag2 sin 00sin r r rr aa rr ar eee JHee 5 4 由矢量位的表示式 d 4R J r A r證明磁感應(yīng)強(qiáng)度的積分公式 0 3 d 4R J rR B r 并證明 0B 解 0 d 4R J r B rA r 0 d 4R J r 0 1 d 4R J r 0 3 d 4R R J r 0 3 d 4R J rR 0 BA r 5 5 有一電流分布 0 zrJ r aJ re 求矢量位 A r 和磁感應(yīng)強(qiáng)度 B r 解解 由于電流只有 z e 分量 且僅為r的函數(shù) 故 A r 也只有 z e 分量 且僅為r的函數(shù) 即 zz A rA re 在圓柱坐標(biāo)系中 由 rAz 滿足的一維微分方程和邊界條件 即可求解出 rA 然后由 rBA r 可求出 B r 記 ar 和 ar 的矢量位分別為 1 A r 和 2 A r 由于在 ar 時(shí)電流為零 所以 2 1 100 1 z z A ArrJ r r rr ar 2 2 2 1 0 z z A Arr r rr ar 由此可解得 3 10011 1 ln 9 z ArJ rCrD 222 ln DrCrAz 1 rAz 和 2 rAz 滿足的邊界條件為 0 r 時(shí) 1 rAz 為有限值 ar 時(shí) 21 aAaA zz ar z ar z r A r A 21 由條件 有 0 1 C 3 0022 1 ln 9 J aCaD 2 002 11 3 J aC a 由此可解得 3 200 1 3 CJ a 3 200 11 ln 33 DJ aa 故 3 1001 1 9 z ArJ rD ar 33 20000 111 ln ln 333 z ArJ arJ aa ar 式中常數(shù) 1 D 由參考點(diǎn)確定 若令 0 r 時(shí) 0 1 rAz 則有 0 1 D 空間的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 2 1100 1 3 rrJ r BAe ra 3 00 22 3 J a rr r BAe ra 5 6 如題 5 6 圖所示 邊長分別為a和b 載有電流I的小矩形回路 1 求遠(yuǎn)處的任一點(diǎn) zyxP 的矢量位 A r 并證明它可以寫成 0 3 4 m r pr A r 其 中 mzIab pe 2 由A求磁感應(yīng)強(qiáng)度B 并證明B可以寫成 0 4 I Bd 式中 2 zr ab r ee d 場點(diǎn)對小電流回路所張的立體角 解解 1 電流回路的矢量位為 0 1 d 4 C I R A rl 式中 222 1 2 Rxxyyz 222 1 2 2 sin cossin rrxyxy 根據(jù)矢量積分公式dd CS lS 有 11 dd CS RR lS 而 11 RR 所以 0 1 d 4 S I R A rS x zyxP z a b r y I 題 5 6 圖 對于遠(yuǎn)區(qū)場 yrxr 所以 rR 故 0 1 d 4 S I r A rS 0 1 d 4 S I r S 0 1 4 zIab r e 0 3 4 m r r p 0 3 4 m r pr 2 由于 0 3 4 mz rp r r Ae 0 2 sin 4 m p r e 故 11 sin sin r ArA rr r BAee 0 3 2cossin 4 m r p r ee 又由于 33 22 cos 2cossin zr r rr rr ee ee 故 000 22 d 444 mzrzr pIIab rr eeee B 5 7 半徑為a磁介質(zhì)球 具有磁化強(qiáng)度為 2 z AzBMe 其中A和B為常數(shù) 求磁化電流和等效磁荷 解解 磁介質(zhì)球內(nèi)的磁化電流體密度為 2 20 mzzz AzBAz JMeee 等效磁荷體密度為 2 2 m AzBAz z M 磁介質(zhì)球表面的磁化電流面密度為 22 cos mSr azr AaB JMnee 22 cos sinAaB e 等效磁荷面密度為 22 cos mr arz AaB n Mee 22 cos cosAaB 5 8 如題 5 8 所示圖 無限長直線電流I垂直于磁導(dǎo)率分別為 1 和 2 的兩種磁介質(zhì)的分界 面 試求 1 兩種磁介質(zhì)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度 1 B和 2 B 2 磁化電流分布 解解 1 由安培環(huán)路定理 可得 2 I r He 所以得到 0 10 2 I r BHe 10 2 I x z 題 5 8 圖 2 2 I r BHe 2 磁介質(zhì)在的磁化強(qiáng)度 0 2 00 1 2 I r MBHe 則磁化電流體密度 0 0 1 d1 d1 0 d2d mzz I rMr rrrr JMee 在 0 r 處 2 B 具有奇異性 所以在磁介質(zhì)中 0 r 處存在磁化線電流 m I 以z軸為中心 r為 半徑作一個(gè)圓形回路C 由安培環(huán)路定理 有 0 1 d m C II Bl 0 I 故得到 m I 0 1 I 在磁介質(zhì)的表面上 磁化電流面密度為 0mSzz JMe 0 0 2 r I r e 5 9 已知一個(gè)平面電流回路在真空中產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度為 0 H 若此平面電流回路位于磁導(dǎo)率 分別為 1 和 2 的兩種均勻磁介質(zhì)的分界平面上 試求兩種磁介質(zhì)中的磁場強(qiáng)度 1 H和 2 H 解解 由于是平面電流回路 當(dāng)其位于兩種均勻磁介質(zhì)的分界平面上時(shí) 分界面上的磁場只有 法向分量 根據(jù)邊界條件 有 12 BBB 在分界面兩側(cè)作一個(gè)小矩形回路 分別就真空和存 在介質(zhì)兩種不同情況 應(yīng)用安培環(huán)路定律即可導(dǎo)出 1 H 2 H 與 0 H 的關(guān)系 在分界面兩側(cè) 作一個(gè)尺寸為 lh 2 的小矩形回路 如題 5 9 圖所示 根據(jù)安培環(huán)路定律 有 11211222 d C H PhHPhH PhHPhI Hl 1 因H垂直于分界面 所以積分式中 0Hl 這里I為與小矩形回路交鏈的電流 對平面電流回路兩側(cè)為真空的情況 則有 00102 d2 2 C HPhHPhI Hl 2 由于 1 P和 2 P 是分界面上任意兩點(diǎn) 由式 1 和 2 可得到 120 2HHH 即 0 12 2 BB H 于是得到 12 0 12 2 BH 1 2 h l 11P H 12 PH 22 PH 21 PH 題 5 9 圖 故有 2 10 112 2B HH 1 20 212 2B HH 5 10 證明 在不同介質(zhì)分界面上矢量位A的切向分量是連續(xù)的 解解 由 BA得 ddd SSC BSASAl 1 在媒質(zhì)分界面上任取一點(diǎn)P 圍繞點(diǎn)P任作一個(gè)跨越分界面的狹小矩形回路C 其長為 l 寬為 h 如題 5 10 圖所示 將式 1 應(yīng)用于回路C上 并令 h 趨于零 得到 12 0 dlim Sh C d AlAlAlBS 由于B為有限值 上式右端等于零 所以 12 0 AlAl 由于矢量 l平行于分界面 故有 12tt AA 5 11 一根極細(xì)的圓鐵桿和一個(gè)很薄的圓鐵盤樣品放在磁場 0 B中 并使它們的軸與 0 B平行 鐵的磁導(dǎo)率為 求兩樣品內(nèi)的B和H 若已知 0 1TB 0 5000 求兩樣品內(nèi)的磁 化強(qiáng)度M 解解 對于極細(xì)的圓鐵桿樣品 根據(jù)邊界條件 12tt HH 有 000 HHB 0 0 BHB 0 0000 14999 1 B MHB 對于很薄的圓鐵盤樣品 根據(jù)邊界條件 12nn BB 有 0 BB 0 HBB 0 000 114999 5000 B MHB 5 12 如題 5 12 圖所示 一環(huán)形螺線管的平均半徑15 0 r cm 其圓形截面的半徑 2 a cm 鉄芯的相對磁導(dǎo)率 1400 r 環(huán)上繞 1000 N 匝線圈 通過電流 AI7 0 1 計(jì)算螺旋管的電感 題 5 10 圖 媒質(zhì) C n 1 A l h 媒質(zhì) 2 A 2 在鉄芯上開一個(gè) cm1 0 0 l 的空氣隙 再計(jì)算電感 假設(shè)開口后鉄芯的 r 不變 3 求空氣隙和鉄芯內(nèi)的磁場能量的比值 解解 1 由于 0 ra 可認(rèn)為圓形截面上的磁場是均勻的 且等于截面的中心處的磁場 由安培環(huán)路定律 可得螺旋管內(nèi)的磁場為 0 2 NI H r 與螺線管鉸鏈的磁鏈為 22 0 2 a N I NS H r 故螺線管的電感為 22 0 2 a N L Ir 722 1400 4100 021000 2 346 H 2 0 15 2 當(dāng)鐵芯上開有小空氣隙時(shí) 由于可隙很小 可忽略邊緣效應(yīng) 則在空氣隙與鉄芯的分 界面上 磁場只有法向分量 根據(jù)邊界條件 有 0 BBB 但空氣隙中的磁場強(qiáng)度 0 H 與鐵 芯中的磁場強(qiáng)度 H不同 根據(jù)安培環(huán)路定律 有 0 000 2 H lHrlNI 又由于 000 BH 0r BH 及BBB 0 于是可得 0 000 2 r r NI B lrl 所以螺線管得磁鏈為 22 0 000 2 r r a N I NSB lrl 故螺線管得電感為 22 0 000 2 r r a N L Ilrl 2722 4101400 0 021000 0 944 H 1400 0 001 20 150 001 3 空氣隙中的磁場能量為 2 0000 1 2 m WH Sl 鉄芯中的磁場能量為 2 000 1 2 2 mr WH Srl 故 00 00 1400 0 001 1 487 220 150 001 mr m Wl Wrl 5 13 證明 單匝線圈勵(lì)磁下磁路的自感量為 0 1 m LR m R 為磁路的磁阻 故NI激勵(lì)下 電感量為 2 m LNR 磁路中單匝激勵(lì)下的磁場儲能 2 00 2 mm WR 則NI激勵(lì)下的 0 r 0 l I a o 題 5 12 圖 2 0mm WN W 解解 在單匝線圈勵(lì)磁下 設(shè)線圈中的電流為I 有 00 m I L I R 則在NI激勵(lì)下 磁路 的磁通為 2 2 0 m N I N R 故電感量為 2 m N L IR 在單匝線圈勵(lì)磁下 2 22 000 1 222 m m m RI WL I R 在NI激勵(lì)下 磁路的磁能為 222 22 0 1 222 m m m N RN I WLI R 2 0m N W 5 14 如題 5 14 圖所示 兩個(gè)長的矩形線圈 放置在同 一平面上 長度分別為 1 l 和 2 l 寬度分別為 1 w 和 2 w 兩線 圈最近的邊相距為S 兩線圈中分別載有電流 1 I 和 2 I 設(shè) 1 l 2 l 且兩線圈都只有一匝 略去端部效應(yīng) 證明 兩線 圈的互感是 0 212 12 ln 2 lSwSw M S Sww 解解 由于 1 l 2 l 因此可近似認(rèn)為線圈 中的電流在線 圈 的回路中產(chǎn)生的磁場與兩根無限長的平行直線電流產(chǎn) 生的磁場相同 線圈 中的電流 1 I 在線圈 的回路中產(chǎn)生的 磁場為 0 1 12 1 11 2 I B rrw 與線圈 交鏈的磁通 12 為 2 0 1 122 1 11 d 2 S w S I lr rrw 0 1 2212 1 lnln 2 I lSwSww SSw 0 1 212 12 ln 2 I lSwSw S Sww 故兩線圈間的互感為 0 21212 112 ln 2 lSwSw M IS