離散數學2014春學期圖論綜合練習輔導.doc

離散數學2014春學期圖論部分綜合練習輔導大家好！本學期的第二次教學輔導活動現在開始，本次活動主要是針對第二單元圖論的重點學習內容進行輔導，方式同樣是通過講解一些典型的綜合練習作業(yè)題目，幫助大家進一步理解和掌握圖論的基本概念和方法圖論作為離散數學的一部分，主要介紹圖論的基本概念、理論與方法教學內容主要有圖的基本概念與結論、圖的連通性與連通度、圖的矩陣表示、最短路問題、歐拉圖與漢密爾頓圖、平面圖、對偶圖與著色、樹與生成樹、根樹及其應用等本次綜合練習主要是復習這一單元的主要概念與計算方法，與集合論一樣，也安排了五種類型，有單項選擇題、填空題，判斷說明題、計算題、證明題這樣的安排也是為了讓同學們熟悉期末考試的題型，能夠較好地完成這一部分主要內容的學習一、單項選擇題單項選擇題主要是第4次形考作業(yè)的部分題目第4次作業(yè)同樣也是由10個單項選擇題組成，每小題10分，滿分100分在每次作業(yè)在關閉之前，允許大家反復多次練習，系統將保留您的最好成績，希望大家要多練幾次，爭取好成績需要提醒大家的是每次練習的作業(yè)題目可能不一樣，請大家一定要認真閱讀題目 1設圖G，vV，則下列結論成立的是 ( ) Adeg(v)=2E B deg(v)=E C D該題主要是檢查大家對握手定理掌握的情況復習握手定理：定理3.1.1 設G是一個圖，其結點集合為V，邊集合為E，則也就是說，無向圖G的結點的度數之和等于邊數的兩倍正確答案：C 2設無向圖G的鄰接矩陣為，則G的邊數為( ) A6 B5 C4 D3主要是檢查對鄰接矩陣的概念理解是否到位大家要復習鄰接矩陣的定義，要記住當給定的簡單圖是無向圖時，鄰接矩陣為對稱的即當結點vi與vj相鄰時，結點vj與vi也相鄰，所以連接結點vi與vj的一條邊在鄰接矩陣的第i行第j列處和第j行第i列處各有一個1，題中給出的鄰接矩陣中共有10個1，故有102=5條邊ooooabcdoe正確答案：B 3如右圖所示，以下說法正確的是 ( ) A(a, e)是割邊 B(a, e)是邊割集C(a, e) ,(b, c)是邊割集 D(d, e)是邊割集先復習割邊、邊割集的定義： 定義3.2.9 設無向圖G=為連通圖，若有邊集E1E，使圖G刪除了E1的所有邊后，所得的子圖是不連通圖，而刪除了E1的任何真子集后，所得的子圖是連通圖，則稱E1是G的一個邊割集若某個邊構成一個邊割集，則稱該邊為割邊（或橋）因為刪除答案A或B或C中的邊后，得到的圖是還是連通圖，因此答案A、B、C是錯誤的正確答案：D 注：如果第3題只給出圖的結點和邊，沒有圖示，大家也應該會做如： 若圖G=，其中V= a, b, c, d, e ，E= (a, b), (a, c) , (a, e) , (b, c) , (b, e) , (c, e) , (e, d)，則該圖中的割邊是什么？ 4設有向圖（a）、（b）、（c）與（d）如下圖所示，則下列結論成立的是( ) A（a）是強連通的 B（b）是強連通的C（c）是強連通的 D（d）是強連通的 我們先復習強連通的概念：定義3.2.5 在簡單有向圖中，若在任何結點偶對中，至少從一個結點到另一個結點可達的，則稱圖G是單向（側）連通的； 若在任何結點偶對中，兩結點對互相可達，則稱圖G是強連通的正確答案：A問：上面的圖中，哪個僅為弱連通的？ 請大家要復習“弱連通”的概念 5設完全圖K有n個結點(n2)，m條邊，當（ ）時，K中存在歐拉回路Am為奇數 Bn為偶數 Cn為奇數 Dm為偶數 我們先復習完全圖的概念： 定義3.1.6 簡單圖G=中，若每一對結點間都有邊相連，則稱該圖為完全圖有n個結點的無向完全圖記為Kn由定義可知，無向完全圖Kn中的任一結點v到其它結點都有一條邊，共有n-1條邊，即每個結點的度數是n-1，當n為奇數時，n-1為偶數由定理4.1.1的推論 一個無向圖具有一條歐拉回路，當且僅當該圖是連通的，并且它的結點度數都是偶數 所以，正確答案應該是C 提示：前面提到n階無向完全圖Kn的每個結點的度數是n-1，現在要問：無向完全圖Kn的邊數是多少？ 如2013年7月份試卷中：3n階無向完全圖Kn的邊數及每個結點的度數分別是（ ） An(n-1)/2，n-1 Bn-1，n Cn(n-1), n-1 Dn(n-1), n6設G是連通平面圖，有v個結點，e條邊，r個面，則r= ( ) Aev2 Bve2 Cev2 Dev2 本題主要檢查大家是否掌握了歐拉定理 定理4.3.2（歐拉定理） 設連通平面圖G的結點數為v，邊數為e，面數為r，則歐拉公式v-e+r =2成立 由歐拉公式v-e+r =2，得到r = e- v+2所以，答案A是正確的問：如果連通平面圖G有4個結點，7條邊，那么圖G有幾個面？7無向簡單圖G是棵樹，當且僅當( )AG連通且邊數比結點數少1 BG連通且結點數比邊數少1CG的邊數比結點數少1 DG中沒有回路可以運用教材中的定理5.1.1，可以作出正確選擇因為定理5.1.1中給出的圖T為樹的等價定義之一是圖T連通且e=v-1，其中e是邊數，v是結點數也就是說：無向簡單圖G是棵樹，當且僅當G連通且邊數比結點數少1正確答案：A注：由上面的樹的等價定義可知，結點數v與邊數e滿足e=v-1關系的無向連通圖就是樹問當樹T有6個結點，那么它有多少條邊？8已知一棵無向樹T中有8個結點，4度，3度，2度的分支點各一個，T的樹葉數為（ ） A8 B5 C4 D3設無向樹T的樹葉數為x，因為樹葉是度數為1的結點那么，由定理3.1.1（握手定理） 設G是一個圖，其結點集合為V，邊集合為E，則，得 4+3+2+x=2（8-1），即x=5正確答案：B下面的內容主要是第5次形考作業(yè)的部分題目 二、填空題1已知圖G中有1個1度結點，2個2度結點，3個3度結點，4個4度結點，則G的邊數是 也是檢查大家對握手定理掌握的情況因為圖G中有1個1度結點，2個2度結點，3個3度結點，4個4度結點，即，根據握手定理，邊數有 應該填寫：15ooooabcdoeof討論： 已知圖G中有15條邊，3個3度結點，4個4度結點，其它結點的度數小于等于2，討論圖G可能的結點數2設給定圖G (如右圖所示)，則圖G的點割集是 本題主要是檢查大家對點割集、割點的概念理解的情況定義3.2.7 設無向圖G=為連通圖，若有點集V1V，使圖G刪除了V1的所有結點后，所得的子圖是不連通圖，而刪除了V1的任何真子集后，所得的子圖是連通圖，則稱V1是G的一個點割集若某個結點構成一個點割集，則稱該結點為割點從圖G中刪除結點f，得到的子圖是不連通圖，即結點集f是點割集；同樣，從圖G中刪除結點c，e，得到的子圖也是不連通圖，那么結點集c, e也是點割集而刪除其他結點集都沒有滿足點割集、定義的集合，所以應該填寫：f、c, e提示：若f是圖G的割點，則f是圖G的點割集，刪除f點后圖G是連通嗎？3無向圖G存在歐拉回路，當且僅當G連通且 由定理4.1.1的推論 一個無向圖具有一條歐拉回路，當且僅當該圖是連通的，并且它的結點度數都是偶數應該填寫：結點度數都是偶數 444若圖G=中具有一條漢密爾頓回路，則對于結點集V的每個非空子集S，在G中刪除S中的所有結點得到的連通分支數為W，則S中結點數|S|與W滿足的關系式為 定理4.2.1 若圖G=中具有一條漢密爾頓回路，則對于結點集V的每個非空子集S均有W(G-S) |S|成立，其中W(G-S)是（G-S）中連通分支數應該填寫：W(G-S) |S|5設圖G是有6個結點的連通圖，結點的總度數為18，則可從G中刪去 條邊后使之變成樹（邊后，可以確定圖G的一棵生成樹）由握手定理（定理3.1.1）知道圖G有182=9 條邊，又由定理5.1.1中給出的圖T為樹的等價定義之一是“圖T連通且e=v-1”，可以知道：應該填寫：4 注意：選擇題和填空題講完后還要強調考核說明中第3章的第1個考核要求：1理解圖的基本概念：結點、邊、有向圖，無向圖、簡單圖、完全圖、結點的度數、圖的同構、子圖等，理解握手定理 三、判斷說明題1如果圖G是無向圖，且其結點度數均為偶數，則圖G存在一條歐拉回路 分析：先復習歐拉圖的判別定理：定理4.1.1的推論：一個無向圖具有一條歐拉回路，當且僅當該圖是連通的，并且它的結點度數都是偶數 解：不正確 因為題中的圖G沒有“連通”的條件ooooabcdoeofog圖G問：“如果圖G是無向連通圖，則圖G存在一條歐拉回路”是否正確？2如右圖所示的圖G不是歐拉圖而是漢密爾頓圖解：正確圖G有4個3度結點a，b，d，f，所以圖G不是歐拉圖圖G有漢密爾頓回路abefgdca，所以圖G是漢密爾頓圖注意：漢密爾頓圖不一定是歐拉圖，為什么？3設G是一個有7個結點16條邊的連通圖，則G為平面圖 分析：定理4.3.3 設G是一個有v個結點e條邊的連通簡單平面圖，若v3，則e3v-6利用該定理判斷本題解：不正確 因為題中的連通簡單平面圖有v=7個結點，e=16條邊，那么1637-6=15，由定理4.3.3知道，圖G不是平面圖問：“完全圖K6是平面圖”是否正確？答：不正確因為完全圖K6有6個結點15條邊，且1536-6=12，即e 3v-6對K6不成立，所以K6不是平面圖 四、計算題1設G=，V= v1，v2，v3，v4，v5，E= (v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3,v4)，(v3,v5)，(v4,v5) ，試(1) 給出G的圖形表示； (2) 寫出其鄰接矩陣；(3) 求出每個結點的度數； (4) 畫出其補圖的圖形oooov1ov5v2v3v4 解：(1) 因為V= v1，v2，v3，v4，v5，E= (v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3,v4)，(v3,v5)，(v4,v5) ，所以G的圖形表示為：(2) 分析：本題給定的簡單圖是無向圖，因此鄰接矩陣為對稱的即當結點vi與vj相鄰時，結點vj與vi也相鄰，所以連接結點vi與vj的一條邊在鄰接矩陣的第i行第j列處和第j行第i列處各寫一個1；當結點vi與vj沒有邊連接時，鄰接矩陣的第i行第j列處和第j行第i列處各寫一個0鄰接矩陣： (3) 由G的圖形可知，v1，v2，v3，v4，v5結點的度數依次為1，2，4，3，2 oooov1ov5v2v3v4oooov1ov5v2v3v4(4) 由關于補圖的定義3.1.9可知，先畫出完全圖（見圖1），然后去掉原圖，可得補圖（見圖2）如下： 圖1 圖2注意：補圖中，如果沒有標出結點v3，則是錯的 2圖G=，其中V= a, b, c, d, e，E= (a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (c, d), (d, e) ，對應邊的權值依次為2、1、2、3、6、1、4及5，試cabedooooo12216435（1）畫出G的圖形； （2）寫出G的鄰接矩陣；（3）求出G權最小的生成樹及其權值解 （1）因為V= a, b, c, d, e， E= (a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (c, d), (d, e)， 所以G的圖形如右圖表示（2）由圖得圖G的鄰接矩陣為： （3）圖G有5個結點，其生成樹有4條邊，用Kruskal算法（避圈法）求其權最小的生成樹T：cabedooooo1213第1步，取具最小權1的邊(a, c)；第2步，取剩余邊中具最小權1的邊(c, e)；第3步，取剩余邊中不與前2條邊構成回路的具最小權2的邊(a, b)；第4步，取剩余邊中不與前3條邊構成回路的具最小權3的邊(b, d)所求最小生成樹T如右下圖，其權為 注意：在用避圈法求最小的生成樹的關鍵是：“取圖中權數最小的邊，且與前面取到的邊不構成圈”，很多學生只注意到取權數最小的邊了，而忽略了“不構成圈”的要求如果題目給出如計算題2的解(1) 中所示賦權圖，要求出該賦權圖的最小生成樹，大家應該會吧如2013年7月份試卷中第17題：17試求出如圖一所示賦權圖中的最小生成樹（要求寫出求解步驟），并求此最小生成樹的權 圖一3設有一組權為2, 3, 5, 7, 17, 31，試畫出相應的最優(yōu)二叉樹，計算該最優(yōu)二叉樹的權ooooo32755173410oooo1731oo65解：方法（Huffman）：從2, 3, 5, 7, 17, 31中選2, 3為最低層結點，并從權數中刪去，再添上他們的和數，即5, 5, 7, 17, 31；再從5, 5, 7, 17, 31中選5, 5為倒數第2層結點，并從上述數列中刪去，再添上他們的和數，即7, 10, 17, 31； 然后，從7, 10, 17, 31中選7, 10為倒數第3層結點，并從上述數列中刪去，再添上他們的和數，即17, 17, 31； 最優(yōu)二叉樹如右圖所示最優(yōu)二叉樹權值為：25+35+54+73+172+311 =10+15+20+21+34+31=131 補充： 教材第101頁 例3 給定如圖3.3.3所示有向圖，其鄰接矩陣以及鄰接矩陣的乘積如下：oooov1ov5v2v3v4圖3.3.3 例3圖， ，從上面的矩陣中可以得到一些結論，如： （1）從A2中第1行第3列的為1可知，結點v1與v3之間有一條長度為2的路