等比數(shù)列的前n項和（2）.doc

第19課 等比數(shù)列的前n項和（2）【學習目標】 1.掌握等比數(shù)列的前n項和公式；學會用公式解決一些較復雜問題。 2.利用等比數(shù)列模型，培養(yǎng)解實際問題的能力?！菊n前導學】1.在等比數(shù)列an中，Sn表示前n項和，若a3=2S21，a4=2S3+1,則公比q等于 2在公比為整數(shù)的等比數(shù)列an中，已知a1a418，a2a312，那么a5a6a7a8等于 3在14與之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)組成等比數(shù)列，若各項的和為,則此數(shù)列的項數(shù)為 4在等比數(shù)列an中，公比q=2,log2a1+log2a2+log2a10=25,則a1+a2+a10=. 【答案】1、3；2、480；3、5；4、【課堂活動】一、建構(gòu)數(shù)學1、等比數(shù)列性質(zhì)：（1）若是等比數(shù)列，且公比，則數(shù)列 ，是等比數(shù)列;當，且為偶數(shù)時，數(shù)列 ，是常數(shù)數(shù)列0，它不是等比數(shù)列. （2） 當時，這里，但，這是等比數(shù)列前項和公式特征，據(jù)此判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列（3）對于分期付款，銀行有如下規(guī)定：（）分期付款為復利計息，每期付款數(shù)相同，且在期末付款；（）到最后一次付款時，各期所付的款額的本利之和等于商品售價的本利之和2、等比數(shù)列的單調(diào)性：在等比數(shù)列an中(1)若a10，q1或a10，0q1則數(shù)列遞增，(2)若a10,0q1,或a10，q1 ,則數(shù)列遞減；(3)若q=1，則數(shù)列為常數(shù)列；(4)若q0，則數(shù)列為擺動數(shù)列.二、應用數(shù)學1、利用等比數(shù)列模型，培養(yǎng)解實際問題【例1】水土流失是我國西部大開發(fā)中最突出的生態(tài)問題全國9100萬畝的坡耕地需要退耕還林，其中西部地區(qū)占國家確定2000年西部地區(qū)退耕土地面積為515萬畝，以后每年退耕土地面積遞增，那么從2000年起到2005年底，西部地區(qū)退耕還林的面積共有多少萬畝（精確到萬畝）？【解】根據(jù)題意，每年退耕還林的面積比上一年增長的百分比相同，所以從2000年起，每年退耕還林的面積（單位：萬畝）組成一個等比數(shù)列，其中515，1.12，則答從2000年起到2005年底，西部地區(qū)退耕還林的面積共有4179萬畝【解后反思】通過枚舉發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列，找準等比數(shù)列的基本量，合理用等比數(shù)列相關(guān)知識求解。【例2】某人2004年初向銀行申請個人住房公積金貸款20萬元購買住房，月利率3.375，按復利計算，每月等額還貸一次，并從貸款后的次月初開始還貸如果10年還清，那么每月應還貸多少元？【思路分析】對于分期付款，銀行有如下規(guī)定：（）分期付款為復利計息，每期付款數(shù)相同，且在期末付款；（）到最后一次付款時，各期所付的款額的本利之和等于商品售價的本利之和為解決上述問題，我們先考察一般情形設某商品一次性付款的金額為元，以分期付款的形式等額地分成次付清，每期期末所付款是元，則分期付款方式可表示為：從而有運用等比數(shù)列求和公式，化簡得這就是分期付款的數(shù)學模型【解】設每月應還貸元，共付款1210=120次，則有化簡得答每月應還貸款2029.66元2、利用等比數(shù)列性質(zhì)解題【例3】已知為等比數(shù)列，且=a，=b，（ab0），求.【解】設等比數(shù)列的公比為q.若q=1（此時數(shù)列為常數(shù)列），則=n=a，=b，從而有2a=b （或）若q1（即2ab），由已知a b 又ab0,/得 , 將代入，得 若等比數(shù)列an中，S42，S86，則a17a18a19+a20的值等于_32_.【例3】在等比數(shù)列an中，當基本量滿足什么條件時，an是單調(diào)增數(shù)列？當基本量滿足什么條件時，an是單調(diào)減數(shù)列？【思路分析】利用定義探求條件【解】（1）若，兩鄰兩項一正一負，數(shù)列沒有單調(diào)性；（2）若，數(shù)列為常數(shù)列，數(shù)列沒有單調(diào)性；（3）若，則（）當，則（）0,數(shù)列為單調(diào)增數(shù)列當，則（）0,數(shù)列為單調(diào)減數(shù)列（4）若，則（）當，則（）0,數(shù)列為單調(diào)減數(shù)列當，則（）0,數(shù)列為單調(diào)增數(shù)列綜上：若a10，q1或a10，0q1則數(shù)列遞增；(2若a10,0q1,或a10，q1 ,則數(shù)列遞減；等比數(shù)列an的公比q1，第17項的平方等于第24項，求使a1a2an恒成立的正整數(shù)n的取值范圍.【思路分析】利用條件中兩項間的關(guān)系，尋求數(shù)列首項a1與公比q之間的關(guān)系，再利用等比數(shù)列前n項公式和及所得的關(guān)系化簡不等式，進而通過估算求得正整數(shù)n的取值范圍.【解】由題意得：(a1q16)2a1q23，a1q91.由等比數(shù)列的性質(zhì)知：數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，要使不等式成立，則須，把aq-18代入上式并整理，得q-18(qn1)q(1)，qnq19，q1，n19，故所求正整數(shù)的取值范圍是n20.【解后反思】本題解答數(shù)列與不等式兩方面的知識都用到了，主要體現(xiàn)為用數(shù)列知識化簡，用不等式知識求得最后的結(jié)果.本題解答體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想、方程思想及估算思想的應用.已知數(shù)列an是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，a37，S424()求數(shù)列an的通項公式；()設p、q都是正整數(shù)，且pq，證明：Sp+q(S2pS2q)【思路分析】根據(jù)條件首先利用等差數(shù)列的通項公式及前n項公式和建立方程組即可解決第()小題；第()小題利用差值比較法就可順利解決.【解】（）設等差數(shù)列an的公差是d，依題意得，解得，數(shù)列an的通項公式為ana1(n1)d2n1.（）證明：an2n1，Snn22n2Sp+q(S2pS2q)2(pq)22(pq)(4p24p)(4q24q)2(pq)2，pq，2Sp+q(S2pS2q)0，Sp+q(S2pS2q)【解后反思】利用差值比較法比較大小的關(guān)鍵是對作差后的式子進行變形，途徑主要有：（1）因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，則利用通分；（4）如果涉及根式，則利用分子或分母有理化.三、理解數(shù)學1. 知識點：數(shù)列的前n項的和的二種形式及使用前提2. 數(shù)學思想與方法：方程思想，整體代換；錯位相減。3. 檢測：（1）已知等比數(shù)列an中，前n項和Sn=54,S2n=60,則S3n等于 （2）已知an是公比為的等比數(shù)列，若a1+a4+a7+a97=100,則a3+a6+a9+a99的值是 3.數(shù)列1，1+2,1+2+22，(1+2+22+2n1)，前n項和等于 4等比數(shù)列an共2n項，其和為240，且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80，則公比q=_.5若等比數(shù)列an中，S42，S86，則a17a18a19+a20的值等于_.【答案】（1）60；（2）25；（3）2n+1n2；（4）2；（5）32【課后提升】1. 必做題：課本P55練習1-7 2. 選作題：蘇大測試反饋181 回答我國古代用詩歌形式提出的一個數(shù)列問題：遠望巍巍塔七層，紅燈向下成倍增，共燈三百八十一，試問塔頂幾盞燈？【答案】塔頂3盞燈2我國1980年底人口以十億計算（）若我國人口年增長率為1.2，則到2005年底我國約有多少人口？（）要使我國到2010年底人口不超過14億，那么人口的年平均增長率最高是多少？