2010年5月高等數(shù)學(xué)競賽試卷評析.pdf

西南科技大學(xué) 2009 2010 學(xué)年第二學(xué)期 高等數(shù)學(xué) 期末考試試卷 試卷 第頁 共頁 1 西南科技大學(xué) 2009 級高等數(shù)學(xué)競賽試題評析 西南科技大學(xué)理學(xué)院 鮮大權(quán) 考試時間 2010 年 5 月 15 日 評卷人 得分 一 選擇 4 小題 共 12 分 1 函數(shù)在點 處連續(xù)是它在該點偏導(dǎo)數(shù)存在的 zfy xy 00 0 0 xy xy 0 0 x A 必要而非充分條件 B 充分而非必要條件 C 充分必要條件 D 既非充分又非必要條件 答 D 既非充分又非必要條件 反例1 在點的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在 但在該點不連續(xù) 0 1 yxf 反例2 2 yx 0 0 0 x f 2 yxf在點連續(xù) 但 0 均不存在 0 0 y f 2 設(shè)u y x arctan 則 u x A y xy 22 B x xy 22 C y 2 xy 2 D x xy 22 解 22 2 1 1 uyy y 2 xxx x y AB 即選A 3 曲線弧上的曲線積分和BA ABBA 上的曲線積分有關(guān)系 A f x y dsf ABBA x y ds B f x y dsf x y d s ABBA f x y dsf x y ds ABBA f x y dsfxy d C 0 D 0 s 777 3 ln sin DDD 答 因為關(guān)于弧長的曲線積分與曲線弧的方向無關(guān) 因此選B 4 設(shè) 12 Ixydxdy Ixydxdy Ixy dxdy 其 中D是 由 x 0 y 0 1 2 xy x y 1所圍成的區(qū)域 則I1 I2 I3的大小順序是 學(xué)院 班級名稱 學(xué)號 姓名 教師 密 封 線 以 內(nèi) 答 題 無 效 A I1 I2 I3 B I3 I2 I1 C I1 I3 I2 D I3 I1 I2 答 選C 參考單元作業(yè)題 設(shè)平面區(qū)域 D 由直線 2 1 yx1 yx 0 與兩坐標(biāo)軸 0 y D dxdyyxI 9 1 ln 9 2 D x圍成 若 Ixydxdy D dxdyyxI 9 3 sin 1 I 則它們之間的大小順序為 A 32 II B 123 III C D 231 III 213 III 圖 f x yxy 解 積分區(qū)域如圖 函數(shù) 在區(qū)域D內(nèi)無極值 在邊界有最大值1 和最小值 1 2 999 n10sin ln sin ln lxyxyxyxyxyxy 99 ln sin DDD 從而 9 xydxdyxydxdyxydxdy 所以點 11 24 為非極值點 函數(shù) 無極大值點 在點 z 2 3 1 3 2 ACB 處取極小值 注 教材P 110關(guān)于二元函數(shù)極值存在充分性定理中的判別式 用行列式記憶為 xxx yxyy zz D x y zz 0 yxfxy y 12 設(shè)閉區(qū)域為D上的連續(xù)函數(shù) 且 22 yxD 1 22 dudvvufyxyxf yxf Adudvv 8 D 求 解 設(shè) 在已知等式兩邊求區(qū)域D上的二重積分 有 uf D 從而 sin 23 22 000 112 1 cos 3323 rrdrd 所以 21Ad 8 2 dxdy A dxdyy D 1 2 xdxdyyxf DD 故 12 623 A 于是 22 42 1 323 f x yxy D f u v dudvA注 D AdxdyAS D 是一個實數(shù) 所以 f t 0 在參考 1997 III 設(shè)函數(shù) 上連續(xù)且滿足方程 2 222 42 4 1 2 t xyt 2 tefxydx dy 求ff t 解 由極坐標(biāo)有 222 22 000 111 2 222 tt f 222 4xyt xydxdydfr rdrrfr dr 22 4 0 1 2 2 t t terfr fdr t 2 4 88 t 兩邊對 求導(dǎo)得 f ttetf t f t 22288 4424 8 4 tdttdt ttt 的一階線性非齊次微分方程有 解此關(guān)于 teedtc etdtc etc e 8f t 0 11 由已知有fc 2 24 41 t 因此 f tte y注 一階線性非齊次微分方程p x yq x p x dxp x dx yq x edxc e 的通解公式為 13 計算二重積分 D xdxdy 其中D是由拋物線 2 1 2 yx 及直線y x 4所圍成的區(qū)域 2 4 西南科技大學(xué) 2009 2010 學(xué)年第二學(xué)期 高等數(shù)學(xué) 期末考試試卷 試卷 第頁 共頁 4 解 原式 2 444 1 22 2 4 23 1 8 2 x x xdxdyxxx dx 1 14 計算I 2yzdv 其中 是由x2 z2 1 y 0 y 1所圍的位于z 0部分的立體 解 2 11 00 2 dIx 1 0 d2yzdz x y 111 22 000 2 2 d 1 1 3 x yxxdx 1 0 15 已知L是由 22 xyy x所確定的平面域的邊界線 求 L dsyx 22 cos 解 22 cos L dxys 2 1 2 000 12cosdcosdcos 2 dxxt 4 xx 2 2 1cos 4 1sin 0 2sin x 1cos 4 1sin2 16 計 算 曲 線 積 分 L yxxsin 2 dyyxydx cos 222 式 中L是 正 向 圓 周 22 xy 2 解 L的參數(shù)方程為 cos 2 02 sin 2 t xt yt 2 0 sincoscos 222 L xdxydytd 22 0 1 cos cos0 22 2 tt 評卷人 得分 四 證明 1小題 共8分 17 試證曲面的切平面與三個坐標(biāo)面所圍四面體的體積為常數(shù) xyza 3 xyz 000 證明 曲面上點處的切平面法向量為 ny zz xx y 000000 yyx yzz 0000 0 所以切平面方程為y zxxz x 00000 即 x x y y z z333 1 000 故得切平面與三個坐標(biāo)平面所圍四面體的體積 Vxyz 1 6 333 9 2 000 3 a為常數(shù) xyza a參考單元作業(yè)題參考單元作業(yè)題 試證曲面0 上任何點處的切平面在各坐標(biāo)軸 上的截距之和等于 a 證 令 F x y zxyza 000 P xyz 曲面上任一點 則曲面點處的法向量為 P 000 111 222 x