數學的故事研究性報告.docx

：沈晨宇數學的故事前序事先聲明：本研究性學習報告作于3.4.2016，部分資料引自世界數學史及數學的故事及網絡。本次研究性活動，我選擇的主題是數學史的探究，意在重拾那些艱辛的數學發(fā)展道路上的人和事，提高我們的數學素養(yǎng)以及培養(yǎng)我們對數學的興趣，也在警醒我們在平時的學校學習中能夠去對數學有著更深刻的認識，而不要被課本上那些干巴巴的數學公式所迷惑了，也就產生了討厭數學的情緒。我只是一名普通的學生，但我對于數學的熱愛卻超過其他人。在我眼中，那些數學公式都顯得很迷人，很美麗。德國著名數學家卡爾弗里德里希高斯曾說過：數學中的一些美麗定理具有這樣的特性： 它們極易從事實中歸納出來, 但證明卻隱藏的極深數學是科學之王。德國數學家，集合論的創(chuàng)始人格奧爾格康托爾也曾說：數學的本質在于它的自由。數學，是研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門學科，從某種角度看屬于形式科學的一種。而在人類歷史發(fā)展和社會生活中，數學也發(fā)揮著不可替代的作用，也是學習和研究現(xiàn)代科學技術必不可少的基本工具。（摘自百度文庫）想想，人類自誕生之日起開始產生了數學，發(fā)展至今，這可是人類智慧的最高體現(xiàn)，這在后面會提到。（為了表示創(chuàng)新，本報告以成書的形式展現(xiàn)）所以，請讓我?guī)ьI你們一起走進數學的世界，共感數學的魅力。 編者 序 3月4日2016年3月4日星期五目錄前序1第一章：四大文明古國的數學史（一）古埃及5一、埃及數學產生的社會背景5二、古埃及的數學成就61、算術62、代數83、幾何9第二章：四大文明古國的數學史（二）古希臘和古巴比倫12古巴比倫人對數學發(fā)展的貢獻12古希臘人對數學發(fā)展的貢獻121、阿基米德對數學發(fā)展的貢獻122、歐幾里得對數學發(fā)展的貢獻133、后期的希臘數學15第三章：四大文明古國的數學史（三）古中國及古印度16中國數學16高次方程16內插法16勾股解法17弧矢割圓術17縱橫圖18九章算術18印度數學偉大的“0”19第四章: 黑暗中世紀的數學成就20第五章：曙光在現(xiàn)初等數學的發(fā)展23初等代數23偷來的卡丹公式與復數23韋達（代數學之父）23代數幾何學與初等幾何學24帕斯卡天才少年（射影幾何）24解析幾何24數論和概率25第六章：偉大的時代：變量的發(fā)展（分析數學）26牛頓和萊布尼茨的微積分26歐拉和柯西的微積分數學分析27歐拉近代數學先驅之一28線性代數、矩陣論與向量場28高等數學29第七章：希望之光愈發(fā)完整的數學體系30群論組合數學30數論30集合論數理邏輯31抽象代數學32拓撲學33拓撲的由來33莫比烏斯帶與克萊因瓶34泛函分析36未來數學的發(fā)展36特別章一：數學三大危機37第一次數學危機37第二次數學危機37第三次數學危機37特別章二：數學九大問題38NP完全問題38霍奇猜想39龐加萊猜想39黎曼假設39楊米爾斯存在性和質量缺口40納衛(wèi)爾-斯托可方程的存在性與光滑性40BSD猜想40費馬大定理40希爾伯特23問40特別章三：最美麗的十大數學公式42特別章四：三大數學軟件的開發(fā)與應用45Mathematica45MATLAB47Maple50后序53推薦書目：54推薦視頻：54第一章：四大文明古國的數學史（一）古埃及 一、埃及數學產生的社會背景埃及位于尼羅河岸，在古代分為兩個王國，夾在兩個高原中間的狹長谷地，叫做上埃及處于尼羅河三角洲的地帶叫做下埃及這兩個王國經過長時期的斗爭，在公元前3200年實現(xiàn)了統(tǒng)一，并建都于下游的孟斐斯(Memphis)尼羅河經常泛濫，淹沒良田在地界被沖刷的情況下，統(tǒng)治者要按不同數量征糧征稅，這樣，必須重新丈量土地實際上，埃及的幾何學就起源于此希臘的歷史學家希羅多德(Herodo-tus，約公元前484-前424)在歷史(Herodoti Historiae)一書中，明確指出：“塞索特拉斯(Sesostris)在全體埃及居民中間把埃及的土地作了一次劃分他把同樣大小的正方形土地分給所有的人，并要求土地持有者每年向他繳納租金，作為他的主要稅收如果河水泛濫，國王便派人調查并測量損失地段的面積這樣，他的租金就要按照減少后的土地的面積來征收了我想，正是由于有了這樣的做法，埃及才第一次有了幾何學，而希臘人又從那里學到了它”希臘數學家德謨克利特(Democritus，約公元前460-前357)也曾指出：“我不得不深信，幾乎埃及人都會畫證明各種直線的圖形，每個人都是拉繩定界的先師”所謂拉繩定界的先師(harpedonaptai)大概是指以拉繩為主要工具的測量師埃及人為了發(fā)展農業(yè)生產，必須注意尼羅河的泛濫周期，在實踐中，積累了許多天文知識和數學知識譬如，他們注意到當天狼星和太陽同時出沒之時，就是尼羅河洪水將至之兆并把天狼星的兩個清晨上升的間隔當作一年，它包含365天把一年分成12個月，每個月是30個晝夜并逐步摸索出用日晷來測量時間大約在公元前1500年，埃及人就已經使用了水鐘-漏壺，它是底部有洞的容器把這個容器灌滿水，水從下面的孔里流完的這段時間作為計算時間的單位所有這些都蘊含了計算建造著名的金字塔，可推知是公元前四、五千年前的事根據對其結構、形狀的研究，可推測古代埃及人掌握了一定的幾何知識，致使底兩個邊與正北的偏差，一個僅僅是230，一個是530這類的實際建筑，推動了埃及數學計算的發(fā)展綜上，社會的生產、生活的實際需要，促使埃及數學的產生與發(fā)展。二、古埃及的數學成就1、算術古埃及人所創(chuàng)建的數系與羅馬數系有很多相似之處，具有簡單而又純樸的風格，并且使用了十進位制，但是不知道位值制古埃及人是用象形文字來表示數的，例如根據史料記載，上述象形文字似乎只限于表示107以前數由于是用象形文字表示數，進行相加運算是很麻煩的，必須要數“個位數”、“十位數”、“百位數”的個數但在計算乘法時，埃及人采取了逐次擴大2倍(duplication)的方法，運算過程比較簡便乘法：古埃及人采用反復擴大倍數的方法，然后將對應結果相加例如蘭德紙草書(希特版)第32頁，記載著1212的計算方法，是從右往左讀的右邊用現(xiàn)代數字表示，這就是倍增法(duplatio)由下表可知，計算的方法是把12依次擴大2倍，那么1212為12的4倍加上12的8倍，恰是12的12倍，并把要加的數在右側(現(xiàn)代阿拉伯數字在左側)標記斜線，算得結果144在更早的時期，埃及人也曾采用“減半法”來計算乘法首先是將一乘數擴大10倍，然后再計算10倍的一半例如紙草書(卡芬版)第6頁，計算1616，是按如下方法計算的，即減半法(mediatio)/1 16/10160/580合計256這種乘法的計算方法是古代人計算技能的基礎，是非常古老的方法希臘時期的學校曾講授過埃及人的計算方法，到了中世紀，還講授“倍增法”和“減半法”除法：埃及人很早就認識到除法是乘法的逆運算，并蘊含在實際計算之中例如，計算112080(見蘭德紙草書第69頁) 180/10 8002 160/4320合計1120以上求解的基本思路是10倍的80加4倍的80，恰好是1120，即1120中含有14個80分數：古埃及人對分數的記法和計算都比現(xiàn)在復雜得多例如，他們把2/3理解為兩個部分，并且把能使“兩個部分”變?yōu)橐粋€部分叫做“第三部分”例如，這樣，通過二個部分與第三部分；三個部分與第四部分的結合來表示出一個整體現(xiàn)在的西歐，有時也用第三(third)、第四(fourth)、第五(fifth)等語言來表達三分之一、四分之一這類分數的含義按此規(guī)律理解，五分之一可認為與四個部分結合成一個整體的第五部分從語言的角度，五分之二(twofifths)就無法表達了隨著分數范圍的不斷擴大，計算方法的不斷改進，埃及人用“單位分數”(分子是1的分數)來表示分數：對一般分數則拆成“單位分數”表示例如，(用現(xiàn)代符號表示)2、代數在蘭德紙草書中，因為求含一個未知量的方程解法在埃及語中發(fā)“哈喔”(hau)音，故稱其為“阿哈算法”“阿哈算法”實際上是求解一元一次方程式的方法蘭德紙草書第26題則是簡單一例用現(xiàn)代語言表達為：古埃及人是按照如下方法計算的：把4加上它的1/4得5，然后，將15除以5得3，最后將4乘以3得12，則12即是所求的量這種求解方法也稱“暫定前提”(false assumption)法，即：首先，根據所求的量而選擇一個數在蘭德紙草書第26題中，選擇了4因為實際上，這個問題用列方程的方法很容易計算設所求量為x，則：解之得：x12在用“阿哈算法”求解的問題中，也含有求平方根的問題，柏林紙草書中有如下的問題：方形，兩個正方形面積的和為100，試計算兩個正方形的邊長”不妨從“暫定的前提”出發(fā)，首先取邊長為1的正方形，那么另一方形的邊長分別為8和6如果列成現(xiàn)代的方程式求解，是很簡單的所以，兩個正方形的邊長分別為8和6埃及人對“級數”也有了簡單的認識，在紙草書中，用象形文字寫出一列數7，49，343，2401，16807，并與之對應一列詞：“圖畫”，“貓”，“老鼠”，“大麥”，“容器”，最后，給出和數為19607實際上，這是公比為7的等比數列對此，有的數學史家解釋為：“有7個人，每人有7只貓，每只貓能吃7只老鼠，而每只老鼠吃7穗大麥，每穗大麥種植后可以長出7容器大麥”從這個題目中，可以寫出怎樣的一列數，它們的和是多少？這種題目就涉及到求數列和的問題3、幾何埃及人創(chuàng)建的幾何以適用工具為特征，以求面積和體積為具體內容他們曾提出計算土地面積、倉庫容積、糧食堆的體積、建筑中所用石料和其它材料多寡等法則埃及人能應用正確的公式來計算三角形、長方形、梯形的面積把三角形底邊二等分，乘以高；同樣，把梯形兩平行邊之和二等分，乘以高分別作為三角形和梯形的面積另外，埃及人還能對不同的面積單位進行互相換算在埃及埃特夫街的赫爾斯神殿的文書中，記載著很多關于三角形和四邊形面積計算問題，如圖11但是，他們把四邊形二對邊之和的一半與另二對邊和的一半之積作為其面積，這顯然是不對的，只是長方形時，這才是正確的計算公式埃及人曾采用s(8d/9)2(其中s是圓的面積、d是圓的直徑)來計算圓的面積由此得到：能把值精確到小數點后一位，在那個時代，應該說是一件了不起的事，巴比倫人在數學高度發(fā)展時期，還常常取3在計算體積方面，經考察蘭德等紙草書發(fā)現(xiàn)，埃及人已經知道立方體、柱體等一些簡單圖形體積的計算方法，并指出立方體、直棱柱、圓柱的體積公式為“底面積乘以高”有材料證實，在埃及幾何中，最突出的一項工作是發(fā)現(xiàn)截棱錐體的體積公式，(錐體的底是正方形)，此公式若用現(xiàn)代數學符號表示為：其中h是高，a和b是下、上底的邊長像這樣的公式，若認為是靠經驗得到的，理由則是不夠充分的按當時埃及人已掌握的數學知識，我們可做如下理論推導：把正棱臺分成4個部分，即1個長方體、2個棱柱、1個棱錐如圖12，假如棱錐的體積是已知的，可得公式：可推測，(1)式是由(2)式的代數變形得到的，但是，當時的埃及人比較擅長于具體數值的計算，還沒掌握對一般量的推導這里似乎埃及受巴比倫代數的影響，掌握了一定的數學推理方法從公式(2)推出公式(1)，可考慮采用了如下方法：假定一個棱垂直于底面，把圖12中的兩個棱柱分別變?yōu)楦呤窃牵钕聦訛閍2，中間層為ab，最上層為b2由此可得到其總體體積為：與(1)式相符第二章：四大文明古國的數學史（二）古希臘和古巴比倫（鑒于古巴比倫文明的數學史沒有古希臘及古埃及及古中國的數學史輝煌，將相應減少篇幅）古巴比倫人對數學發(fā)展的貢獻巴比倫人從遠古時代開始，已經積累了一定的數學知識，并能應用于解決實際問題從數學本身看，他們的數學知識也只是觀察和經驗所得，沒有綜合結論和證明，但是，也要充分認識他們對數學所做出的貢獻1在算術方面，他們對整數和分數有了較系統(tǒng)的寫法，在記數中，已經有了位值制的觀念，從而把算術推進到一定的高度，并用之于解決許多實際問題，特別是天文方面的問題2在代數方面，巴比倫人用特殊的名稱和記號來表示未知量，采用了少數幾個運算記號，解出了含有一個或較多個未知量的幾種形式的方程，特別是解出了二次方程，這些都是代數的開端巴比倫人能夠求解的方程類型可簡略歸納如下：axb，x2a，x2+axb，x2-axb，x3=a，x2(x+1)a在解決實際問題中，他們能夠通過算術運算方法解二元一次方程組，例如以下幾種類型：3在幾何方面，巴比倫人認識到了關于平行線間的比例關系和初步的畢達哥拉斯定理，會求出簡單幾何圖形的面積和體積，并建立了在特定情況下的底面是正方形的棱臺體積公式4在天文學方面，他們已有一系列長期觀察記錄，并且已經發(fā)現(xiàn)了許多準確性很高的天文學周期他們計算月球和行星的運動，給出天體在不同時期所處位置的數表，并計算天文歷書等古希臘人對數學發(fā)展的貢獻1、阿基米德對數學發(fā)展的貢獻阿基米德(Archimedes，公元前287-前212)是數學歷史上最偉大的數學家之一，近代數學史家貝爾(ETBell，1883-1960)說：“任何一張列出有史以來三個最偉大的數學家的名單中，必定包括阿基米德，另外兩個通常是牛頓和高斯不過以他們的豐功偉績和所處的時代背景來比，拿他們影響當代和后世的深邃久遠來比較，還應首推阿基米德”阿基米德的名字在他同時代的人們中成為賢明的象征，他會用簡單的方法解最難的問題古希臘著名的作家和歷史學家普魯塔克(Plutarch，公元前1世紀)說：把這樣困難的題目解決得如此簡單和明白，在數學里沒有聽到過，假如有誰嘗試一下自己解這些題目，他會什么也得不到但是，如果他熟悉了阿基米德的解法，那么他就會立刻得出這樣的印象，這個解法他自己也會找到阿基米德用如此容易和簡明的方法把我們引向目的阿基米德的數學思想中蘊涵微積分，阿基米德的方法論中已經“十分接近現(xiàn)代微積分”，這里有對數學上“無窮”的超前研究，貫穿全篇的則是如何將數學模型進行物理上的應用。他所缺的是沒有極限概念，但其思想實質卻伸展到17世紀趨于成熟的無窮小分析領域里去，預告了微積分的誕生。阿基米德將歐幾里德提出的趨近觀念作了有效的運用。他利用“逼近法”算出球面積、球體積、拋物線、橢圓面積，后世的數學家依據這樣的“逼近法”加以發(fā)展成近代的“微積分”。阿基米德還利用割圓法求得的值介于3.14163和3.14286之間。另外他算出球的表面積是其內接最大圓面積的四倍，又導出圓柱內切球體的體積是圓柱體積的三分之二，這個定理就刻在他的墓碑上。7 阿基米德研究出螺旋形曲線的性質，現(xiàn)今的“阿基米德螺線”曲線，就是因為紀念他而命名。另外他在數沙者一書中，他創(chuàng)造了一套記大數的方法，簡化了記數的方式。阿基米德的幾何著作是希臘數學的頂峰。他把歐幾里得嚴格的推理方法與柏拉圖鮮艷的豐富想象和諧地結合在一起，達到了至善至美的境界，從而“使得往后由開普勒、卡瓦列利、費馬、牛頓、萊布尼茨等人繼續(xù)培育起來的微積分日趨完美”。2、歐幾里得對數學發(fā)展的貢獻歐幾里得（Euclid）是古希臘著名數學家、歐氏幾何學開創(chuàng)者。歐幾里得出生于雅典，當時雅典就是古希臘文明的中心。濃郁的文化氣氛深深地感染了歐幾里得，當他還是個十幾歲的少年時，就迫不及待地想進入柏拉圖學園學習。一天，一群年輕人來到位于雅典城郊外林蔭中的柏拉圖學園。只見學園的大門緊閉著，門口掛著一塊木牌，上面寫著：“不懂幾何者，不得入內! ”這是當年柏拉圖親自立下的規(guī)矩，為的是讓學生們知道他對數學的重視，然而卻把前來求教的年輕人給鬧糊涂了。有人在想，正是因為我不懂數學，才要來這兒求教的呀，如果懂了，還來這兒做什么?正在人們面面相覷，不知是進是退的時候，歐幾里得從人群中走了出來，只見他整了整衣冠，看了看那塊牌子，然后果斷地推開了學園大門，頭也沒有回地走了進去。幾何原本是古希臘數學家歐幾里得所著的一部數學著作。它是歐洲數學的基礎，總結了平面幾何五大公設，被廣泛的認為是歷史上最成功的教科書。歐幾里得也寫了一些關于透視、圓錐曲線、球面幾何學及數論的作品。歐幾里得使用了公理化的方法。這一方法后來成了建立任何知識體系的典范，在差不多二千年間，被奉為必須遵守的嚴密思維的范例。這本著作是歐幾里得幾何的基礎，在西方是僅次于圣經而流傳最廣的書籍。幾何原本是一部集前人思想和歐幾里得個人創(chuàng)造性于一體的不朽之作。并把人們公認的一些事實列成定義和公理，以形式邏輯的方法，用這些定義和公理來研究各種幾何圖形的性質，從而建立了一套從公理、定義出發(fā)，論證命題得到定理得幾何學論證方法，形成了一個嚴密的邏輯體系幾何學。而這本書，也就成了歐式幾何的奠基之作。這部書已經基本囊括了幾何學從公元前7世紀的古埃及，一直到公元前4世紀歐幾里得生活時期前后總共400多年的數學發(fā)展歷史。它不僅保存了許多古希臘早期的幾何學理論，而且通過歐幾里得開創(chuàng)性的系統(tǒng)整理和完整闡述，使這些遠古的數學思想發(fā)揚光大。它開創(chuàng)了古典數論的研究，在一系列公理、定義、公設的基礎上，創(chuàng)立了歐幾里得幾何學體系，成為用公理化方法建立起來的數學演繹體系的最早典范。歐幾里得所著的原本大約成書于公元前300年，原書早已失傳。全書共分13卷。書中包含了5個“假設(Postulates)”、5條“公設(Common Notions)”、23個定義(Definitions)和48個命題(Propositions)。在每一卷內容當中，歐幾里得都采用了與前人完全不同的敘述方式，即先提出公理、公設和定義，然后再由簡到繁地證明它們。這使得全書的論述更加緊湊和明快。而在整部書的內容安排上，也同樣貫徹了他的這種獨具匠心的安排。它由淺到深，從簡至繁，先后論述了直邊形、圓、比例論、相似形、數、立體幾何以及窮竭法等內容。其中有關窮竭法的討論，成為近代微積分思想的來源。照歐氏幾何學的體系，所有的定理都是從一些確定的、不需證明而礴然為真的基本命題即公理演繹出來的。在這種演繹推理中，對定理的每個證明必須或者以公理為前提，或者以先前就已被證明了的定理為前提，最后做出結論。對后世產生了深遠的影響。它標志著幾何學已成為一個有著比較嚴密的理論系統(tǒng)和科學方法的學科。兩千多年來，幾何原本一直是學習數學幾何部分的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡爾、牛頓等許多偉大的學者都曾學習過幾何原本，從中吸取了豐富的營養(yǎng)，從而作出了許多偉大的成就。1582年，意大利人利瑪竇到中國傳教，帶來了15卷本的原本。1600年，明代數學家徐光啟（1562-1633）與利瑪竇相識后，便經常來往。1607年，他們把該書的前6卷平面幾何部分合譯成中文，并改名為幾何原本。后9卷是1857年由中國清代數學家李善蘭（1811-1882）和英國人偉烈亞力譯完的。3、后期的希臘數學在希臘后期，雖然對歐幾里得幾何原本沒有做出根本性改革，但也作了很多添補工作對此，首先做出貢獻的是海倫海倫(Heron，約公元60年)著關于測量儀(Dioptra)一書，其中提出了確定羅馬和亞歷山大之間的時差問題的一個較復雜的方法，并用這種儀器觀測兩地的月食海倫的著作主要是由幾何學、應用幾何學、應用機械學合編成的一部百科全書性質的書籍-幾何在這部著作中，闡述了象測量儀一類器具的使用方法他還注釋了歐幾里得的著作以及撰寫有關面積和體積的書籍，但其名著是測量術這部著作分三篇，第一篇是面積的計算；第二篇是體積的計算；第三篇是解決面積和體積的有關比例問題可是希臘數學在羅馬崛起后逐漸走向衰落。希臘數學衰退在公元最初幾個世紀里一直持續(xù)著當丟番圖去世后，到了公元5世紀時，希臘數學到達了衰落的頂點當時羅馬已經成為世界之王，她的領土從印度河一直伸展到直布羅陀海峽，從尼羅河直到不列顛海岸由于羅馬人不關心智慧的追求，只需要食物和娛樂(Panem et circenses)，大部分人除此之外皆漠不關心，因此，羅馬人在頭幾個世紀里，他們對數學或科學的發(fā)展貢獻很小西撒羅在他的塔斯克來尼恩講話(Tusculanian Oratio ns)中曾為這個事實而痛惜他感嘆道：“希臘人給予幾何學家以最高的榮譽；因此他們中間沒有什么東西比數學發(fā)展得更光輝燦爛了但是我們卻把這門藝術局限于測量和計算的應用方面”第三章：四大文明古國的數學史（三）古中國及古印度中國的貢獻主要是中國剩余定理和秦九韶用類似牛頓的方法求高次方程的近似解。印度的一個重要成就是發(fā)明了數學0，這讓數的表示簡單多了，另外就是印度人發(fā)明的數字被阿拉伯人傳到了歐洲（就是阿拉伯數字），之后歐洲的代數開始發(fā)展，塔塔利亞掌握了解一元三次方程的方法。 中國數學高次方程把增乘開方法推廣到數字高次方程（包括系數為負的情形）解法的是劉益（12世紀中期）。楊輝算法中田畝比類乘除捷法卷下介紹了原書中22個二次方程和1個四次方程，后者是用增乘開方法解三次以上的高次方程的最早例子。秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在數書九章中收集了21個用增乘開方法解高次方程（最高次數為10）的問題。為了適應增乘開方法的計算程序，秦九韶把常數項規(guī)定為負數。他把高次方程解法分成各種類型，如：n次項系數不等于1的方程，奇次冪系數均為零的方程，進行x=y+代換后常數項變號的方程與常數項符號不變而絕對值增大的方程等。方程的根為非整數時，秦九韶采取繼續(xù)求根的小數，或用減根變換方程各次冪的系數之和為分母、常數為分子來表示根的非整數部分，這是九章算術和劉徽注處理無理數方法的發(fā)展。在求根的第 2位數時，秦九韶還提出以一次項系數除常數項為根的第 2位數的試除法。秦九韶的方法比霍納方法早500多年。從天元術推廣到二元、三元和四元的高次聯(lián)立方程組，是宋元數學家的又一項杰出的創(chuàng)造。祖頤在四元玉鑒后序中提到，平陽李德載兩儀群英集臻有天、地二元，霍山劉大鑒乾坤括囊有天、地、人三元。燕山朱漢卿“按天、地、人、物立成四元”。前二書已失傳，留傳至今并對這一杰出創(chuàng)造進行系統(tǒng)論述的是朱世杰的四元玉鑒。朱世杰的四元高次聯(lián)立方程組表示法無疑是在天元術的基礎上發(fā)展起來的，他把常數放在中央。四元的各次冪放在上、下、左、右四個方向上，其他各項放在四個象限中。朱世杰的最大貢獻是提出四元消元法。其方法是先擇一元為未知數，其他元組成的多項式作為這未知數的系數，列成若干個一元高次方程式，然后應用互乘相消法逐步消去這一未知數。重復這一步驟便可消去其他未知數，得到一個一元高次方程。最后用增乘開方法求解。這是線性方法組解法的重大發(fā)展。朱世杰的方法比西方同類方法早400多年。內插法元代天文學家王恂、郭守敬等在授時歷（1280）中解決了三次函數的內插值問題。一次同余式組解法 孫子算經“物不知數”題已提到一次同余式組解法的例子，秦九韶把它一般化。在這個方法中有一個必須解決的關鍵問題是求同余式kiGi呏1(modi）中的ki，式中公式秦九韶在數書九章大衍類里，用更相減損的方法給出ki一個計算程序，完滿地解決了這個問題，此外，秦九韶還討論了模數i是收數（小數）、通數（分數）、元數（一般正整數）、復數（10n的倍數）非兩兩互素的情形，并分別給出變上述4種數為兩兩互素的模數的方法。高次方程立法用天元（相當于 x）作為未知數符號，立出高次方程，古代稱為天元術。這是中國數學史上首次引入符號，并用符號運算來解決建立高次方程的問題。現(xiàn)存最早的天元術著作是李冶的測圓海鏡。李冶在一次項系數右旁記一“元”字（或在常數項右旁記一“太”字）。元以上的系數分別表示各正次冪，元以下的系數表示常數和各負次冪（在益古演段中又把這個次序倒轉過來）。建立方程的具體方法是，根據問題的已知條件，列出兩個相等的多項式p1(x）和p2(x），令二者相減，即得一個數字高次方程。若其中一個多項式是分式多項式，如公式公式，李冶則變另一多項式p2(x）為使二者相減時消去分式多項式的分母，得公式這是劉徽關于率的概念在多項式運算中的應用與發(fā)展。1勾股解法勾股形解法在宋元時期有新的發(fā)展，朱世杰在算學啟蒙卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，補充了九章算術的不足。李冶在測圓海鏡對勾股容圓問題進行了詳細的研究，得到一系列的結果。他把容圓勾股形分成14個相似的勾股形，除按傳統(tǒng)的方法給出這些勾股形的名稱外，還用文字作符號來表示，與現(xiàn)今用字母A，B，C，表示幾何圖形相似。從14個勾股形中，李冶得到692條“識別雜記”，闡明各勾股形的線段之間與線段的和、差、積之間的關系。除原有的勾股容圓外，李冶得到勾上容圓、股上容圓、弦上容圓、勾股上容圓、勾外容圓、股外容圓、弦外容圓、勾外容圓半、股外容圓半等9個容圓公式，大大豐富了中國古代幾何學的內容。弧矢割圓術已知黃道與赤道的夾角和太陽從冬至點向春分點運行的黃經余弧，求赤經余弧和赤緯度數，是一個解球面直角三角形的問題。傳統(tǒng)歷法都是用內插法進行計算。元代王恂、郭守敬等則用傳統(tǒng)的勾股形解法、沈括的會圓術（已知弦、矢、半徑求弧長的近似公式）和天元術解決了這個問題。由于王恂、郭守敬求直徑時用圓周率3以及沈括的公式是一個近似公式，因此結果不夠精確。除此以外，整個推算步驟是正確無誤的。從數學意義上講，這個方法開辟了通往球面三角法的途徑?？v橫圖縱橫圖又稱幻方，根據乾鑿度和東漢鄭玄注，至遲在漢代已有一個三行縱橫圖。宋元時期，縱橫圖研究有了很大發(fā)展，楊輝在續(xù)古摘奇算法中記錄了這方面的成就。楊輝指出，九宮圖是一個從132的9個自然數排成三行三列，其行、列或對角線之和均為15的三行縱橫圖。這種圖可以推廣到從 1到n2的情形，它的行、列或對角線之和為n（1+n2）/2。他還列出四行、五行、六行、七行、八行、九行、十行8個縱橫圖,并指出三行和四行縱橫圖的構造方法。楊輝的這一工作為這個領域的研究開辟了道路。小數 現(xiàn)傳本夏侯陽算經已有化名數為十進小數的例子。宋元時代，這種十進小數有了廣泛應用和發(fā)展，秦九韶用名數作為小數的符號，例如18.56寸表示如圖1；李冶則依靠算式的位置表示，例如8.25x2+2.673=0表示如圖2。楊輝和朱世杰的化斤價為兩價的歌訣，是小數的具體應用。戰(zhàn)國時期的百家爭鳴也促進了數學的發(fā)展，一些學派還總結和概括出與數學有關的許多抽象概念。著名的有墨經中關于某些幾何名詞的定義和命題，例如：“圓，一中同長也”、“平，同高也”等等。墨家還給出有窮和無窮的定義。莊子記載了惠施等人的名家學說和桓團、公孫龍等辯者提出的論題，強調抽象的數學思想，例如“至大無外謂之大一，至小無內謂之小一”、“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”等。這些許多幾何概念的定義、極限思想和其它數學命題是相當可貴的數學思想，但這種重視抽象性和邏輯嚴密性的新思想未能得到很好的繼承和發(fā)展。此外，講述陰陽八卦，預言吉兇的易經已有了組合數學的萌芽，并反映出二進制的思想。 九章算術它是中國古代第一部數學專著，是算經十書中最重要的一種，成于公元一世紀左右。該書內容十分豐富，系統(tǒng)總結了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數學成就。同時，九章算術在數學上還有其獨到的成就，不僅最早提到分數問題，也首先記錄了盈不足等問題，方程章還在世界數學史上首次闡述了負數及其加減運算法則。它是一本綜合性的歷史著作，是當時世界上最簡練有效的應用數學，它的出現(xiàn)標志中國古代數學形成了完整的體系。九章算術的內容十分豐富，全書采用問題集的形式，收有246個與生產生活實踐有聯(lián)系的應用問題，其中每道題有問(題目)、答(答案)、術(解題的步驟，但沒有證明)，有的是一題一術，有的是多題一術或一題多術。這些問題依照性質和解法分別隸屬于方田、粟米、衰(音cui)分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程及勾股。共九章如下所示。原作有插圖，今傳本已只剩下正文了。九章算術是世界上最早系統(tǒng)敘述了分數運算的著作;其中盈不足的算法更是一項令人驚奇的創(chuàng)造;方程章還在世界數學史上首次闡述了負數及其加減運算法則。在代數方面，九章算術在世界數學史上最早提出負數概念及正負數加減法法則;中學講授的線性方程組的解法和九章算術介紹的方法大體相同。注重實際應用是九章算術的一個顯著特點。該書的一些知識還傳播至印度和阿拉伯，甚至經過這些地區(qū)遠至歐洲。九章算術是幾代人共同勞動的結晶，它的出現(xiàn)標志著中國古代數學體系的形成.后世的數學家，大都是從九章算術開始學習和研究數學知識的。唐宋兩代都由國家明令規(guī)定為教科書。1084年由當時的北宋朝廷進行刊刻，這是世界上最早的印刷本數學書?？梢哉f，九章算術是中國為數學發(fā)展做出的又一杰出貢獻。在九章算術中有許多數學問題都是世界上記載最早的。例如，關于比例算法的問題，它和后來在16世紀西歐出現(xiàn)的三分律的算法一樣。關于雙設法的問題，在阿拉伯曾稱為契丹算法，13世紀以后的歐洲數學著作中也有如此稱呼的，這也是中國古代數學知識向西方傳播的一個證據。印度數學偉大的“0”印度是世界上文化發(fā)達最早的地區(qū)之一，印度數學的起源和其他古老的民族的數學起源一樣，是在生產實際需要的基礎上產生的。在印度，整數的十進制計數法產生于6世紀以前，用9個數字和表示0的小圓圈，再借助位值便可寫出任何數字。由此建立了算術運算。對于0，他們并不陌生。后來演變成了0、1、2、3、4、5、6、7、8、9等阿拉伯數字。印度對數學做出了大貢獻。他們計算過算術級數的和，解決過折扣等商業(yè)問題。第四章: 黑暗中世紀的數學成就算數原理（算數入門波愛修）算術入門(Introduction to Arithmetic) 古希臘數學著作.希臘數學家、哲學家尼科馬霍斯(Nico-machus, (G)著.這是古希臘數學中第一本完全脫離幾何講法的算術(即數論)書，對算術成為一個獨立學科起了重要作用.它對于算術的重要性可以與歐幾里得(Euclid )的幾何原本對于幾何的重要性相比，它成為此后一千年間的標準算術課本.尼科馬霍斯屬于畢達哥拉斯學派，他在哲學思想和數的理論方面都繼承了畢氏學派的衣缽，使已趨衰亡的畢氏學派的傳統(tǒng)重新活躍起來.他強調算術是各科之母，認為這“不僅是因為我們說它在造物主的心中先于其他一切而存在而且也因為它本來就是存在較早的”畢氏學派關于數的神秘現(xiàn)象在他的著作中得到全面反映。斐波那契歐洲，黑暗時代以后第一位有影響的數學家斐波那契(約11751240)，其拉丁文代表著作算經、幾何實踐等也是根據阿拉伯文與希臘文材料編譯而成的，斐波那契，即比薩的列昂納多(Leonardo of Pisa)，早年隨父在北非從師阿拉伯人習算，后又游歷地中海沿岸諸國，回意大利后即寫成算經(Liber Abac1202，亦譯作算盤書)。算經最大的功績是系統(tǒng)介紹印度記數法，影響并改變了歐洲數學的面貌?，F(xiàn)傳算經是1228年的修訂版，其中還引進了著名的斐波那契數列。幾何實踐(Practica Geometriae， 1220)則著重敘述希臘幾何與三角術。斐波那契其他數學著作還有平方數書VLiberQuadratorum， 1225)、花朵(Flos， 1225)等，前者專論二次丟番圖方程，后者內容多為菲德里克(Frederick)二世宮廷數學競賽問題。斐波那契數列與黃金分割律（畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)）斐波那契數列（Fibonacci sequence），又稱黃金分割數列、因數學家列昂納多斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”，指的是這樣一個數列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、遞推公式斐波那契數列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, .如果設F(n）為該數列的第n項（nN*），那么這句話可以寫成如下形式：顯然這是一個線性遞推數列。2通項公式(如上，又稱為“比內公式”，是用無理數表示有理數的一個范例。)注：此時有趣的是，這樣一個完全是自然數的數列，通項公式卻是用無理數來表達的。而且當n趨向于無窮大時，前一項與后一項的比值越來越逼近黃金分割0.618（或者說后一項與前一項的比值小數部分越來越逼近0.618）。11=1，12=0.5，23=0.666.，35=0.6，58=0.625，5589=0.617977144233=0.6180254636875025=0.6180339886.越到后面，這些比值越接近黃金比.將楊輝三角左對齊，成如圖所示排列，將同一斜行的數加起來，即得一數列1、1、2、3、5、8、秦九韶秦九韶，字道古。普州安岳(今四川安岳)人。南宋嘉定元年(1208年)生；約景定二年(1261年)卒于梅州。中國秦九韶潛心研究數學多年，在湖州守孝三年，所寫成的世界數學名著數書九章，癸辛雜識續(xù)集稱作數學大略，永樂大典稱作數書九章。全書九章十八卷，九章九類：“大衍類”、“天時類”、“田域類”、“測望類”、“賦役類”、“錢谷類”、“營建類”、“軍旅類”、“市物類”，每類9題（9問）共計81題（81問），該書內容豐富至極，上至天文、星象、歷律、測候，下至河道、水利、建筑、運輸，各種幾何圖形和體積，錢谷、賦役、市場、牙厘的計算和互易。許多計算方法和經驗常數直到現(xiàn)在仍有很高的參考價值和實踐意義，被譽為“算中寶典”。該書著述方式，大多由“問曰”、“答曰”、“術曰”、“草曰”四部分組成：“問曰”，是從實際生活中提出問題；“答曰”，給出答案；“術曰”，闡述解題原理與步驟；“草曰”，給出詳細的解題過程。此書已為國內外科學史界公認的一部世界數學名著。此書不僅代表著當時中國數學的先進水平，也標志著中世紀世界數學的成績之一。我國數學史家梁宗巨評價道：“秦九韶的數書九章（1247年）是一部劃時代的巨著，內容豐富，精湛絕倫。特別是大衍求一術（不定方程的中國獨特解法）及高次代數方程的數值解法，在世界數學史上占有崇高的地位。那時歐洲漫長的黑夜猶未結束，中國人的創(chuàng)造卻像旭日一般在東方發(fā)出萬丈光芒。古代數學家。李治與方程理論新進展李冶由于擺脫了幾何思維束縛，在方程理論上取得了四項進展：第一，他改變了傳統(tǒng)的把常數項看作正數的觀念，常數項可正可負，而不再拘泥于它的幾何意義。第二，李冶已能利用天元術熟練地列出高次方程。在這里，未知數已具有純代數意義，二次方并非代表面積，三次方程也并非代表體積。第三，李冶完整解決了分式方程問題，他已懂得用方程兩邊同乘一個整式的方法化分式方程為整式方程。第四，李冶已懂得用純代數方法降低方程次數。當方程各項含有公因子xn（n為正整數）時，李冶便令次數最低的項為實，其他各項均降低這一次數。此外，他還發(fā)明了負號。第五章：曙光在現(xiàn)初等數學的發(fā)展 初等代數偷來的卡丹公式與復數卡丹說服塔爾塔利亞將他的解答告訴他，再三保證不會將他的方式寫在他即將出版的書內，塔爾塔利亞答應了并要cardan保證用密碼寫下以免其它人得知，而cardan那年后來出版的兩本書也的確沒有將解答公布，塔爾塔利亞也就放心了。后來卡丹cardan和費拉里ferrari得知塔爾塔利亞并非第一個解出三次方的人，斐洛ferro才是，于是卡丹cardan認為雖然他已經發(fā)誓不說塔爾塔利亞的方式，但卻沒說出版斐洛ferro的公式，于是1545年卡丹Hieronimo Cardan背信出版了技術大ArsMagna，內容包括介紹了三次方程式的解答并將三次方程求根公式稱之為卡丹公式。他是第一個把負數的平方根寫到公式中的數學家，并且在討論是否可能把10分成兩部分，使它們的乘積等于40時，他把答案寫成 ，盡管他認為和這兩個表示式是沒有意義的、想象的、虛無飄渺的，但他還是把10分成了兩部分，并使它們的乘積等于40。給出“虛數”這一名稱的是法國數學家笛卡爾（15961650），他在幾何學（1637年發(fā)表）中使“虛的數”與“實的數”相對應，從此，虛數才流傳開來。韋達（代數學之父）韋達最重要的貢獻是對代數學的推進，他最早系統(tǒng)地引入代數符號，推進了方程論的發(fā)展。韋達用“分析”這個詞來概括當時代數的內容和方法。他創(chuàng)設了大量的代數符號，用字母代替未知數，系統(tǒng)闡述并改良了三、四次方程的解法，指出了根與系數之間的關系。給出三次方程不可約情形的三角解法。著有分析方法入門、論方程的識別與訂正等多部著作。韋達從事數學研究只是出于愛好，然而他卻完成了代數和三角學方面的巨著。他的應用于三角形的數學定律(1579年)是韋達最早的數學專著之一，可能是西歐第一部論述6種三角形函數解平面和球面三角形方法的系統(tǒng)著作。他被稱為現(xiàn)代代數符號之父。韋達還專門寫了一篇論文截角術，初步討論了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代數變換應用到三角學中。他考慮含有倍角的方程，具體給出了將COS(nx)表示成COS(x)的函數并給出當n11等于任意正整數的倍角表達式。他的解析方法入門一書(1591年)，集中了他以前在代數方面的大成，使代數學真正成為數學中的一個優(yōu)秀分支。他對方程論的貢獻是在論方程的整理和修正一書中提出了二次、三次和四次方程的解法。代數幾何學與初等幾何學帕斯卡天才少年（射影幾何）帕斯卡(BPascal，16231662)是德扎格的學生，僅僅活了39歲他是一位了不起的天才，在微積分、概率、代數、射影幾何等方面都作出了引人注目的貢獻，他是手搖計算機的發(fā)明者，還是法國著名的文學家，物理方面的成就也不少這里著重談他的射影幾何方面的工作帕斯卡的略論圓錐曲線中最著名的結果是下述定理：若一個六邊形內接于一圓錐曲線，則每兩條對邊相交而得的三點在同一直線上如圖105，P，Q及R在同一直線上若六邊形的對邊兩兩平行，則P，Q，R在無窮遠線上該定理被后人稱為帕斯卡定理，在射影幾何里是十分重要的解析幾何笛卡爾和他的坐標：笛卡爾對數學最重要的貢獻是創(chuàng)立了解析幾何。在笛卡兒時代，代數還是一個比較新的學科，幾何學的思維還在數學家的頭腦中占有統(tǒng)治地位。笛卡兒致力于代數和幾何聯(lián)系起來的研究，并成功地將當時完全分開的代數和幾何學聯(lián)系到了一起。于1637年，在創(chuàng)立了坐標系后，成功地創(chuàng)立了解析幾何學。他的這一成就為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎，而微積分又是現(xiàn)代數學的重要基石。解析幾何直到現(xiàn)在仍是重要的數學方法之一。笛卡兒所著的幾何分三卷第一卷的前半部分是解析幾何的預備知識，通過典型例題說明如何把代數用于幾何，解決尺、規(guī)作圖問題；后半部分則包含笛卡兒解析幾何的基本理論第二卷討論曲線方程的推導及曲線性質，提出按方程次數對曲線進行分類的方法第三卷討論如何用圓錐曲線解高次方程，以及高次方程的性質這位數學巨匠也有浪漫的一面，就比如說克里斯汀心形線。費馬的平面與立體軌跡引論是他在解析幾何方面的代表作這本書是1630年寫成的，但一直到1679年才出版，那時費馬已經死了14年費馬的著作表明，他的研究工作是以古希臘阿波羅尼奧斯的圓錐曲線論為出發(fā)點的他在書的開頭寫道：“毫無疑問，古人對于軌跡寫得非常多可是，如果我沒有想錯的話，他們對于軌跡的研究并非是那么容易的原因只有一個：他們對軌跡沒有給予充分而又一般的表示”費馬認為給軌跡一般表示只能靠代數他很熟悉韋達的代數工作，又受到前人用代數解決幾何問題的啟發(fā)，所以他著手解決軌跡的一般表示的問題時，就毫不猶豫地求助于代數他不僅使代數與幾何結為伴侶，更重要的是他把變量思想用于數學研究，這正是他比哈里奧特等人高明的地方，也是他創(chuàng)立解析幾何的主要思想基礎費馬的主要貢獻在于他對曲線的證明以及對坐標的發(fā)展。解析幾何通過形和數的結合，使數學成為一個雙面的工具一方面，幾何概念可用代數表示，幾何目標可通過代數方法達到；另一方面，又可給代數語言以幾何的解釋使代數語言更直觀、更形象地表達出來，這對于人們發(fā)現(xiàn)新結論具有重要的意義正如拉格朗日(JLLagrange)所說：“只要代數同幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應用就狹窄但是當這兩門學科結合成伴侶時，它們就互相吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善”近代數學的巨大發(fā)展，在很大程度上應該歸功于解析幾何由于在解析幾何中代數起主導作用，這就大大提高了代數的地位，對于促進代數的進步具有十分重要的意義從數學思想上來說，解析幾何的最大突破是引入了變量思想，它成為發(fā)明微積分的思想基礎正如恩格斯所說：“數學中的轉折點是笛卡兒的變數有了變數，運動進入了數學；有了變數，微分和積分也就立刻成為必要的了”解析幾何的意義不僅表現(xiàn)在數學本身，而且