高三年級(jí)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷 標(biāo)準(zhǔn)答案1104B.doc

2010學(xué)年度第二學(xué)期普陀區(qū)高三質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷參考答案 201104一、填空題（滿分56分）：1. ； 2. 理：3； 文：； 3. ； 4. ； 5. ； 6. ； 7. 32； 8. 理：-6；文：5； 9. 或； 10. 理：；11. ；12. 理：；文：； 13. 理：（2，2012）；文：； 14. 1028.二、選擇題（滿分20分）： 題號(hào)15161718答案CCDA三、解答題： 19.（本題滿分12分）解法一：因?yàn)?，得 ，所以 . 若實(shí)系數(shù)一元二次方程有虛根，則必有共軛虛根， 因?yàn)?，故所求的一個(gè)一元二次方程可以是.解法二：設(shè)，則 ， ，以下解法同解法一.20.（本題滿分14分）解：爭議的原因是收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)于“每小時(shí)按加價(jià)50%收費(fèi)”的含義出現(xiàn)了歧義。以下給出三種不同的理解：解釋一：第一小時(shí)為10元，以后每小時(shí)都為15元.14小時(shí)總收費(fèi)為：元；解釋二：第一小時(shí)為10元，以后每小時(shí)都比前一小時(shí)增加5元.可以理解為等差數(shù)列求和，則14小時(shí)總收費(fèi)為元.解釋三：第一小時(shí)為10元，以后每小時(shí)都增加50%.可以理解為等比數(shù)列求和，則14個(gè)小時(shí)的收費(fèi)為元.【說明】以上三種解釋中能任意給出兩種即可得滿分.21. （本題滿分14分）（理科）解：（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線分別為的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖示，點(diǎn)、，則，.設(shè)異面直線與所成角為第21題圖xyz,所以異面直線與所成角大小為.（2）假設(shè)在線段上存在一點(diǎn)滿足條件，設(shè)點(diǎn)，平面的法向量為，則有 得到，取，所以，則，又，解得，所以點(diǎn)即，則.所以在線段上存在一點(diǎn)滿足條件，且長度為.（文科）解：(1)由題意，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，都為單位向量.故，所以.(2) 由條件因?yàn)橄蛄亢拖蛄抗簿€，所以，因?yàn)?，所?于是，設(shè)向量和的夾角為則，即向量和的夾角為.22.（本題滿分16分）（理科，同文科23題）解：（1）由得，則，任取，都有，則該函數(shù)為奇函數(shù).（2）任取，則有，.又，所以，即，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.（3）由程序框圖知，公差不為零的等差數(shù)列要滿足條件，則必有。由（1）知函數(shù)是奇函數(shù)，而奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以要構(gòu)造滿足條件的等差數(shù)列，可利用等差數(shù)列的性質(zhì)，只需等差數(shù)列滿足：且即可.我們可以先確定使得，因?yàn)楣畈粸榱愕牡炔顢?shù)列必是單調(diào)的數(shù)列，只要它的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)在中，即可滿足要求. 所以只要對(duì)應(yīng)的點(diǎn)盡可能的接近原點(diǎn).如取，存在滿足條件的一個(gè)等差數(shù)列可以是. 【說明】本問題結(jié)論開放. 我們可以將問題解決的方法一般化.設(shè)，若，可得.而由題意，需（）.同理，若，則需.（文科） （1）證法一：由題意，原點(diǎn)必定在圓內(nèi)，即點(diǎn)代入方程的左邊后的值小于0，于是有，即證.證法二：由題意，不難發(fā)現(xiàn)、兩點(diǎn)分別在軸正負(fù)半軸上. 設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為， ，則有. 對(duì)于圓方程，當(dāng)時(shí)，可得，其中方程的兩根分別為點(diǎn)和點(diǎn)的橫坐標(biāo)，于是有.因?yàn)?，?（2）不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)角線互相垂直的四邊形面積，因?yàn)?，可?又因?yàn)椋詾橹苯?，而因?yàn)樗倪呅问菆A的內(nèi)接四邊形，故. 對(duì)于方程所表示的圓，可知，所以.（3）證：設(shè)四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，. 則可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，即.又，且，故要使、三點(diǎn)共線，只需證即可.而，且對(duì)于圓的一般方程，當(dāng)時(shí)可得，其中方程的兩根分別為點(diǎn)和點(diǎn)的橫坐標(biāo)，于是有.同理，當(dāng)時(shí)，可得，其中方程的兩根分別為點(diǎn)和點(diǎn)的縱坐標(biāo)，于是有.所以，即. 故、必定三點(diǎn)共線.23. （本題滿分18分）（理科）解：（1）因?yàn)閷?duì)角線互相垂直的四邊形面積，而由于為定長，則當(dāng)最大時(shí)，四邊形面積取得最大值. 由圓的性質(zhì)，垂直于的弦中，直徑最長，故當(dāng)且僅當(dāng)過圓心時(shí)，四邊形面積取得最大值，最大值為.（2）解法一：由題意，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與圓心重合時(shí)，對(duì)角線和的長同時(shí)取得最大值，所以此時(shí)四邊形面積取得最大值，最大值為.解法二：設(shè)圓心到弦的距離為，到弦的距離為，的距離為.則，且.可得又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.又因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)點(diǎn)和圓心重合時(shí)，此時(shí)，故此時(shí)四邊形的面積最大，最大值為.不難發(fā)現(xiàn)，此時(shí)該四邊形是圓內(nèi)接正方形，對(duì)角線交點(diǎn)與圓心重合.（3）類比猜想1：若對(duì)角線互相垂直的橢圓內(nèi)接四邊形中的一條對(duì)角線長確定時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)另一條對(duì)角線通過橢圓中心時(shí)，該橢圓內(nèi)接四邊形面積最大.類比猜想2：當(dāng)點(diǎn)在橢圓中心時(shí)，對(duì)角線互相垂直的橢圓內(nèi)接四邊形的面積最大.以上兩個(gè)均為正確的猜想，要證明以上兩個(gè)猜想，都需先證：橢圓內(nèi)的平行弦中，過橢圓中心的弦長最大.證：設(shè)橢圓的方程為（），平行弦的方程為，聯(lián)立可得不妨設(shè)、，則 由于平行弦的斜率保持不變，故可知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，取得最大值（*）.特別地，當(dāng)斜率不存在時(shí)，此結(jié)論也成立.由以上結(jié)論可知，類比猜想一正確。又對(duì)于橢圓內(nèi)任意一點(diǎn)構(gòu)造的對(duì)角線互相垂直的橢圓內(nèi)接四邊形，我們都可以將對(duì)角線平移到交點(diǎn)與橢圓中心重合的橢圓內(nèi)接四邊形,而其中,所以必有.即證明了猜想二也是正確的.n 類比猜想3：當(dāng)點(diǎn)在橢圓中心，且橢圓內(nèi)接四邊形的兩條互相垂直的對(duì)角線恰為橢圓長軸和短軸時(shí)，四邊形面積取得最大值.要證明此猜想，也需先證“橢圓內(nèi)的平行弦中，過橢圓中心的弦長最大.”在此基礎(chǔ)上，可參考以下兩種續(xù)證方法.證法一：當(dāng)點(diǎn)在橢圓中心時(shí)，不妨設(shè)對(duì)角線所在直線的斜率為.（i）當(dāng)時(shí)，即為橢圓長軸，又，故是橢圓的短軸. 所以此時(shí)橢圓內(nèi)接四邊形的面積為.（ii）當(dāng)時(shí)，對(duì)角線的斜率為.由此前證明過程中的（*）可知，,若將代換式中的，則可得弦的長度，.所以，由，則，綜上（i）和（ii），故可證明猜想三正確.證法二：如圖，四邊形對(duì)角線交點(diǎn)與橢圓中心重合.y由對(duì)