立體幾何中的向量方法.ppt

立體幾何中的向量方法 以單位正方體的頂點O為原點 分別以射線OA OC 的方向為正方向 以線段OA OC 的長為單位長度 建立三條數(shù)軸 x軸 y軸 z軸 這時我們建立了一個空間直角坐標(biāo)系 一 空間直角坐標(biāo)系 點O叫做坐標(biāo)原點 x軸 y軸 z軸叫做坐標(biāo)軸 這三條坐標(biāo)軸中每兩條確定一個坐標(biāo)平面 分別稱為xoy平面 yoz平面 和zox平面 o 1 x軸與y軸 x軸與z軸均成1350 而z軸垂直于y軸 2 y軸和z軸的單位長度相同 x軸上的單位長度為y軸 或z軸 的單位長度的一半 空間直角坐標(biāo)系的畫法 練1請你作一個空間直角坐標(biāo)系 并在空間直角坐標(biāo)系中 作出點 5 4 6 O 5 4 6 變式在空間直角坐標(biāo)系中 作出點 5 4 6 練習(xí) 2 如下圖 在長方體OABC D A B C 中 OA 3 OC 4 OD 3 A C 于B D 相交于點P 分別寫出點C B P的坐標(biāo) O B A B C P P 3 4 3 練習(xí) Q Q 3 如圖 棱長為a的正方體OABC D A B C 中 對角線OB 于BD 相交于點Q 頂點O為坐標(biāo)原點 OA OC分別在x軸 y軸的正半軸上 試寫出點Q的坐標(biāo) 若A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 則 空間一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo) 二 空間向量的坐標(biāo)表示 練1 在空間直角坐標(biāo)系中 已知A 2 1 3 B 1 2 5 則 練2 在空間直角坐標(biāo)系中 已知A 2 x y 則B 三 空間向量的數(shù)量積運算 練1 在空間直角坐標(biāo)系中 已知 練2 在空間直角坐標(biāo)系中 已知 五 距離與夾角的坐標(biāo)表示 1 距離公式 1 向量的長度 模 公式 注意 此公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度 練1 在空間直角坐標(biāo)系中 已知 在空間直角坐標(biāo)系中 已知 則 2 空間兩點間的距離公式 2 兩個向量夾角公式 注意 1 當(dāng)時 同向 2 當(dāng)時 反向 3 當(dāng)時 練1 在空間直角坐標(biāo)系中 已知 求與所成的角的余弦值 練2如圖 在正方體中 求與所成的角的余弦值 3 2 1立體幾何中的向量方法 方向向量與法向量 A P 直線的方向向量 直線 的向量式方程 換句話說 直線上的非零向量叫做直線的方向向量 一 方向向量與法向量 2 平面的法向量 l 平面 的向量式方程 換句話說 與平面垂直的非零向量叫做平面的法向量 例1 如圖所示 正方體的棱長為1直線OA的一個方向向量坐標(biāo)為 平面OABC的一個法向量坐標(biāo)為 平面AB1C的一個法向量坐標(biāo)為 1 1 1 0 0 1 1 0 0 令x y z中某個為定值 練習(xí)如圖 在四棱錐P ABCD中 底面ABCD是正方形 側(cè)棱PD 底面ABCD PD DC 1 E是PC的中點 求平面EDB的一個法向量 A B C D P E 解 如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系 設(shè)平面EDB的法向量為 因為方向向量與法向量可以確定直線和平面的