上海市七寶中學(xué)2019屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）.docx

上海市七寶中學(xué)2019屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）一. 填空題1.集合的真子集有_個(gè)【答案】【解析】【分析】直接寫出集合A的真子集即得解.【詳解】集合A的真子集有，0，1，2018，0,1，0,2018，1,2018，所以集合A的真子集個(gè)數(shù)為7,故答案為：7【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的真子集及其個(gè)數(shù)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.2.設(shè)全集，則圖中陰影部分所表示的集合是_（用區(qū)間表示）【答案】【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合M和N，再求MN,再求即得陰影部分所表示的集合.【詳解】由題得M=x|x2或x-x+1,再分1x2和0x1兩種情況討論恒成立問題，即得解.【詳解】由題得|2x-a|-x+1,當(dāng)1x2時(shí)，-x+10,所以不等式恒成立.當(dāng)0x1時(shí)，-x+10，所以2x-a-x+1或2x-ax-1，所以a3x-1或ax+1在0,1上恒成立，所以a2,因?yàn)閍0,綜合得a2.故答案為：a2【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.10.已知常數(shù)，函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)、，若，則_【答案】【解析】【分析】直接利用函數(shù)的關(guān)系式，利用恒等變換求出相應(yīng)的a值【詳解】函數(shù)f（x）=的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（p，），Q（q，）則：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=16pq，所以：a2=16，由于a0，故：a=4故答案為：4【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)和指數(shù)冪的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.11.已知函數(shù)，若，則的最大值是_【答案】【解析】【分析】設(shè)g(x)=f(x)-3,再判斷函數(shù)g(x)的奇偶性和單調(diào)性，再由得，再利用三角換元求的最大值.【詳解】設(shè)g(x)=f(x)-3,所以g(x)=,所以所以g(-x)=-g(x),所以函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，由題得，所以函數(shù)g（x）是減函數(shù)，因?yàn)?，所以，所以g=0,所以g=g(1-,所以不妨設(shè)，所以=，所以的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，考查函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.(2)本題的解題關(guān)鍵有三點(diǎn)，其一是構(gòu)造函數(shù)g(x)得到函數(shù)g(x)的奇偶性和單調(diào)性，其二是由得，其三是利用三角換元求的最大值.12.已知函數(shù)，如果函數(shù)恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】先求出函數(shù)的解析式，作出函數(shù)的圖像，由題得有三個(gè)不同的實(shí)根，數(shù)形結(jié)合分析得到實(shí)數(shù)k的取值范圍.【詳解】當(dāng)1x2時(shí)，f(x)=-x+2,當(dāng)時(shí)，12x2，所以f(x)=,當(dāng)時(shí)，2x1，所以f(x)=,當(dāng)時(shí)，2x，所以f(x)=,當(dāng)時(shí)，2x，所以f(x)=,所以函數(shù)的圖像為：其圖像為線段PA,EB,GC,HD,(不包括上端點(diǎn)A,B,C,D,)直線y=k(x-1)表示過定點(diǎn)P(1,0)的直線系，由題得C(),D(),當(dāng)直線在PD(可以取到)和直線PC（不能取到）之間時(shí)，直線和函數(shù)f(x)的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)，由題得.所以k的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查求函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生讀這些知識(shí)的掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析推理能力.（2）解答本題的關(guān)鍵是求出函數(shù)f(x)的解析式作出函數(shù)的圖像.(3)函數(shù)的零點(diǎn)問題常用的方法有：方程法、圖像法、方程+圖像法.二. 選擇題13.“函數(shù)存在反函數(shù)”是“函數(shù)在上為增函數(shù)”的（ ）A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】函數(shù)存在反函數(shù)，至少還有可能函數(shù)在上為減函數(shù)，充分條件不成立；而必有條件顯然成立。視頻14.若函數(shù)的反函數(shù)為，則函數(shù)與的圖像可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】f（x）和f1（x）關(guān)于y=x對(duì)稱是反函數(shù)的重要性質(zhì)；而將f（x）的圖象向右平移a個(gè)單位后，得到的圖象的解析式為f（xa）而原函數(shù)和反函數(shù)的圖象同時(shí)平移時(shí)，他們的對(duì)稱軸也相應(yīng)平移【詳解】函數(shù)f（x1）是由f（x）向右平移一個(gè)單位得到，f1（x1）由f1（x）向右平移一個(gè)單位得到，而f（x）和f1（x）關(guān)于y=x對(duì)稱，從而f（x1）與f1（x1）的對(duì)稱軸也是由原對(duì)稱軸向右平移一個(gè)單位得到即y=x1，排除B，D；A，C選項(xiàng)中各有一個(gè)函數(shù)圖象過點(diǎn)（2，0），則平移前的點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），則反函數(shù)必過點(diǎn)（0，1），平移后的反函數(shù)必過點(diǎn)（1，1），由此得A選項(xiàng)有可能，C選項(xiàng)排除；故答案為：A【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系，考查函數(shù)的圖像的變換，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力. 用整體平移的思想看問題，是解決本題的關(guān)鍵15.在中，角、所對(duì)的邊分別為、，給出四個(gè)命題：（1）若，則為等腰三角形；（2）若，則為直角三角形；（3）若，則為等腰直角三角形；（4）若，則為正三角形；以上正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】對(duì)每一個(gè)命題逐一分析得解.【詳解】(1)若，則2A=2B或2A+2B=，所以A=B或A+B=,所以ABC是等腰三角形或直角三角形，所以該命題是錯(cuò)誤的.(2) 若，所以sinA=sin(,所以則不一定為直角三角形,所以該命題是錯(cuò)誤的.(3) 若，所以A=C=，則為等腰直角三角形，所以該命題是真命題.(4)若，所以所以A=B=C,所以ABC是正三角形.所以該命題是真命題.故答案為：B【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和三角恒等變換，考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.16.是定義在上的函數(shù)，且，若的圖像繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與原圖像重合，則在以下各項(xiàng)中，的可能取值只能是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】直接利用定義函數(shù)的應(yīng)用求出結(jié)果【詳解】由題意得到：?jiǎn)栴}相當(dāng)于圓上由12個(gè)點(diǎn)為一組，每次繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)個(gè)單位后與下一個(gè)點(diǎn)會(huì)重合我們可以通過代入和賦值的方法當(dāng)f（）=，3時(shí)，此時(shí)得到的圓心角為，然而此時(shí)x=0或者x=時(shí)，都有2個(gè)y與之對(duì)應(yīng)，而我們知道函數(shù)的定義就是要求一個(gè)x只能對(duì)應(yīng)一個(gè)y，因此只有當(dāng)=，此時(shí)旋轉(zhuǎn)，此時(shí)滿足一個(gè)x只會(huì)對(duì)應(yīng)一個(gè)y，故答案為：C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義的運(yùn)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.三. 解答題17.已知銳角和鈍角的終邊分別與單位圓交于、兩點(diǎn)，其中點(diǎn)坐標(biāo).（1）求的值；（2）若，求點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)先求出，再求的值.(2)由題得，解方程組即得點(diǎn)B的坐標(biāo).【詳解】由題得，所以=-7.由題設(shè)B(x,y),因?yàn)槭氢g角，所以,所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的坐標(biāo)定義，考查三角恒等變換求值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.18.如圖，某公園有三個(gè)警衛(wèi)室、有直道相連，千米，千米，千米.（1）保安甲沿從警衛(wèi)室出發(fā)行至點(diǎn)處，此時(shí)，求的直線距離；（2）保安甲沿從警衛(wèi)室出發(fā)前往警衛(wèi)室，同時(shí)保安乙沿從警衛(wèi)室出發(fā)前往警衛(wèi)室，甲的速度為1千米/小時(shí)，乙的速度為2千米/小時(shí)，若甲乙兩人通過對(duì)講機(jī)聯(lián)系，對(duì)講機(jī)在公園內(nèi)的最大通話距離不超過3千米，試問有多長(zhǎng)時(shí)間兩人不能通話？（精確到0.01小時(shí)）【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由解直角三角形可得C=30，在BPC中由余弦定理可得BP的值；（2）設(shè)甲出發(fā)后的時(shí)間為t小時(shí)，則由題意可知0t4，設(shè)甲在線段CA上的位置為點(diǎn)M，則AM=4t，討論0t1時(shí)，當(dāng)1t4時(shí)，分別在AMQ和AMB中，運(yùn)用余弦定理和二次不等式的解法，即可得到所求結(jié)論【詳解】（1）在RtABC中，AB=2，BC=2，所以C=30，在PBC中PC=1，BC=2，由余弦定理可得BP2=BC2+PC22BCPCcos30=（2）2+1221=7，即BP=；（2）在RtABC中，BA=2，BC=2，AC=4，設(shè)甲出發(fā)后的時(shí)間為t小時(shí)，則由題意可知0t4，設(shè)甲在線段CA上的位置為點(diǎn)M，則AM=4t，當(dāng)0t1時(shí)，設(shè)乙在線段AB上的位置為點(diǎn)Q，則AQ=2t，如圖所示，在AMQ中，由余弦定理得MQ2=（4t）2+（2t）222t（4t）cos60=7t216t+169，解得t或t，所以0t；當(dāng)1t4時(shí)，乙在警衛(wèi)室B處，在ABM中，由余弦定理得MB2=（4t）2+422t（4t）cos60=t26t+129，解得t3或t3+，又1t4，不合題意舍去 綜上所述0t時(shí)，甲乙間的距離大于3千米，所以兩人不能通話的時(shí)間為小時(shí)【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的實(shí)際問題的解法，注意運(yùn)用余弦定理，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題19.問題：正數(shù)、滿足，求的最小值.其中一種解法是：，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，即且時(shí)取等號(hào).學(xué)習(xí)上述解法并解決下列問題：（1）若實(shí)數(shù)、滿足，試比較和的大小，并指明等號(hào)成立的條件；（2）利用（1）的結(jié)論，求函數(shù)的值域.【答案】（1），且等號(hào)成立；（2）.【解析】【分析】（1）先化簡(jiǎn)=( ，再利用基本不等式求最值即得解.(2) 令再利用結(jié)論求函數(shù)的值域.【詳解】=( 當(dāng)時(shí)取等.令由（1）得,因?yàn)閒(t)0,所以.所以函數(shù)的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查常量代換和基本不等式求最值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2) 本題的解題關(guān)鍵是對(duì)“1”的常量代換，再利用基本不等式求函數(shù)的最小值. 利用基本不等式求最值時(shí)，要注意“一正二定三相等”，三個(gè)條件缺一不可.20.定義區(qū)間、的長(zhǎng)度均為，已知不等式的解集為.（1）求的長(zhǎng)度；（2）函數(shù)（，）的定義域與值域都是（），求區(qū)間的最大長(zhǎng)度；（3）關(guān)于的不等式的解集為，若的長(zhǎng)度為6，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】解不等式得其解集即得區(qū)間長(zhǎng)度.(2) 由題意求出f（x）的定義域并化簡(jiǎn)解析式，判斷出區(qū)間的范圍和f（x）的單調(diào)性，由題意列出方程組，轉(zhuǎn)化為m，n是方程f（x）的同號(hào)的相異實(shí)數(shù)根，利用韋達(dá)定理表示出mn和m+n，由判別式大于零求出a 的范圍，表示出nm利用配方法化簡(jiǎn)后，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值和a的值(3)先求出AB（0，6），再轉(zhuǎn)化為不等式組，當(dāng)x（0，6）時(shí)恒成立. 分析兩個(gè)恒成立問題即得t的取值范圍.【詳解】解不等式得其解為-1x6，所以解集A區(qū)間長(zhǎng)度為6-(-1)=7.(2) 由題意得，函數(shù)f（x）的定義域是x|x0，m，n是其定義域的子集，m，n（，0）或（0，+）f（x）=在m，n上是增函數(shù)，由條件得，則m，n是方程f（x）=x的同號(hào)相異的實(shí)數(shù)根，即m，n是方程（ax）2（a2+a）x+1=0同號(hào)相異的實(shí)數(shù)根mn=，m+n=，則=（a2+a）24a20，解得a1或a3nm=，nm的最大值為，此時(shí)，解得a=3.即在區(qū)間m，n的最大長(zhǎng)度為(3) 因?yàn)閤0,A=-1,6），的長(zhǎng)度為6，所以AB（0，6）.不等式log2x+log2（tx+3t）2等價(jià)于又AB（0，6），不等式組的解集的各區(qū)間長(zhǎng)度和為6，所以不等式組，當(dāng)x（0，6）時(shí)恒成立. 當(dāng)x（0，6）時(shí)，不等式tx+3t0恒成立，得t0當(dāng)x（0，6）時(shí)，不等式tx2+3tx40恒成立，即恒成立 當(dāng)x（0，6）時(shí)，的取值范圍為，所以實(shí)數(shù)綜上所述，t的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查一個(gè)新定義問題，即區(qū)間的長(zhǎng)度，本題解題的關(guān)鍵是對(duì)于條件中所給的三種不同的題目進(jìn)行整理變化，靈活解答函數(shù)的最值問題和恒成立問題.21.已知定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意的實(shí)數(shù)都成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則稱函數(shù)是上的函數(shù)，已知函數(shù)具有性質(zhì)：（,）對(duì)任意的實(shí)數(shù)（）都成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).（1）試判斷函數(shù)（且）是否是上的函數(shù)，說明理由；（2）求證：是上的函數(shù)，并求的最大值（其中、是三個(gè)內(nèi)角）；（3）若定義域?yàn)椋?是奇函數(shù)，證明：不是上的函數(shù)； 最小正周期為，證明：不是上的函數(shù).【答案】（1），是S函數(shù)；，不是S函數(shù)；（2）見解析，最大值；（3）見解析.【解析】【分析】(1)利用S函數(shù)的定義