高中數(shù)學易錯題分類及解析.doc

高中數(shù)學中的易錯題分類及解析成都玉林中學 周先華關鍵詞：高考 數(shù)學 易錯題全文摘要：“會而不對，對而不全”嚴重影響考生成績.易錯題的特征：心理因素、易錯點的隱蔽性、形式多樣性、可控性.易錯題的分類解析:分為五大類即審題不嚴、運算失誤、概念模糊、公式記憶不準確、思維不嚴，每類再分為若干小類，列舉高中數(shù)學中的典型易錯題進行誤解與正解和錯因分析.本文既是對高考中的易錯題目的分類解析，同時又是第一輪復習中的一本易錯題集.下表是易錯題分類表：正 文數(shù)學學習的過程，從本質上說是一種認識過程，其間包含了一系列復雜的心理活動.從數(shù)學學習的認知結構上講，數(shù)學學習的過程就是學生頭腦里的數(shù)學知識按照他自己理解的深度與廣度，結合自己的感覺、知覺、記憶、思維與聯(lián)想，組合成的一個整體結構.所以，數(shù)學中有許多題目，求解的思路并不繁雜，但解題時，由于讀題不仔細，或者對某些知識點的理解不透徹，或者運算過程中沒有注意轉化的等價性，或者忽略了對某些特殊情形的討論等等原因，都會導致錯誤的出現(xiàn).“會而不對，對而不全”，一直以來都是嚴重影響考生數(shù)學成績的重要因素.一易錯題的典型特征解題出錯是數(shù)學答題過程中的正?，F(xiàn)象，它既與數(shù)學學習環(huán)境有關,又與試題的難易程度有關.同時也與考生的數(shù)學水平、身體與心理狀況有關.1考生自我心理素質：數(shù)學認知結構是數(shù)學知識的邏輯結構與學生的心理結構相互作用的產物.而數(shù)學解題是考生主體感受并處理數(shù)學信息的創(chuàng)造性的心理過程.部分考生題意尚未明確，加之考試求勝心切，僅憑經驗盲目做題，以至于出現(xiàn)主觀認識錯誤或陷入主觀思維定勢，造成主觀盲動性錯誤和解題思維障礙.2易錯點的隱蔽性：數(shù)學知識的邏輯結構是由數(shù)學知識之間的內在的聯(lián)系聯(lián)結而成的整體，而其心理結構是指智力因素及其結構，即觀察力、記憶力、想象力、注意力和思維力等五個因素組成.數(shù)學解題是考生借助特定“數(shù)學語言”進行數(shù)學思維的過程，在這個過程中考生的數(shù)學知識結構和數(shù)學思維習慣起著決定性的作用.個體思維的跳躍性是產生思維漏洞的根本原因，這種思維漏洞一旦產生，考生自己是很難發(fā)現(xiàn)的，因此易錯點的隱蔽性很強.3易錯點形式多樣性：根據(jù)數(shù)學學習的一般過程及數(shù)學認知結構的特點，數(shù)學易錯點一般有知識性錯誤和心理性錯誤兩種等形式：而知識性錯誤主要包括數(shù)學概念的理解不透徹、數(shù)學公式記憶不準確兩方面；心理性錯誤包括審題不嚴、運算失誤、數(shù)學思維不嚴謹?shù)?4易錯題的可控性：學生的認識結構有其個性特點.在知識總量大體相當?shù)那闆r下，有的學生對知識不僅理解深刻，而且組織得很有條理，便于儲存與撮；相反，有的學生不僅對知識理解膚淺，而且支離破碎，雜亂無章，這就不利于儲存，也不容易提取.在學生形成了一定的數(shù)學認知結構后，一旦遇到新的信息，就會利用相應的認知結構對新信息進行處理和加工，隨著認識活動的進行，學生的認知結構不斷分化和重組，并逐漸變得更加精確和完善，所謂“吃一塹長一智”.只要我們在容易出錯的地方提高警戒意識，建立建全解題的“警戒點”,養(yǎng)成嚴謹?shù)臄?shù)學思維好習慣，易錯點就會逐漸減少.二、易錯題的分類解析1.數(shù)學概念的理解不透數(shù)學概念所能反映的數(shù)學對象的屬性，不僅是不分精粗的籠統(tǒng)的屬性，它已經是抓住了數(shù)學對象的根本的、最重要的本質屬性.每一個概念都有一定的外延與內涵.而平時學習中對概念本質的不透徹，對其外延與內涵的掌握不準確，都會在解題中反映出來，導致解題出錯.例1.若不等式ax+x+a0的解集為 ，則實數(shù)a的取值范圍（ ）A.a-或a B.a C.-a D.a 【錯解】選A.由題意，方程ax+x+a=0的根的判別式 a-或a，所以選A.【錯因分析】對一元二次不等式與二次函數(shù)的圖象之間的關系還不能掌握，忽視了開口方向對題目的影響.【正確解析】D .不等式ax+x+a0的解集為 ，若a=0,則不等式為x0且.例2. 命題“若ABC有一內角為，則ABC的三內角成等差數(shù)列”的逆命題是（ ）A與原命題真值相異 B與原命題的否命題真值相異C與原命題的逆否命題的真值不同 D與原命題真值相同【錯解】選A.因為原命題正確，其逆命題不正確.【錯因分析】本題容易出現(xiàn)的錯誤是對幾個概念的理解失誤：逆命題將原命題的題設和結論交換、否命題將原命題的題設和結論同時否定，逆否命題將原命題的題設和結論交換后再同時否定，原命題與逆命題、否命題與逆命題是兩對互為逆否的命題，互為逆否的命題是等價的.【正確解析】選D.顯然，原命題正確；其逆命題為：“若ABC的三內角成等差數(shù)列，則ABC有一內角為”.也正確，所以選D.例3.判斷函數(shù)f(x)=(x1)的奇偶性為_【錯解】偶函數(shù).f(x)=，所以，所以f（x）為偶函數(shù).【錯因分析】上述解法有兩個錯誤：1未考慮函數(shù)的定義域；2.x-10等及圓錐曲線有界性等.例14. 方程的解集為_-【錯解】或所以x=1或x=2.所以解集為1，2.【錯因分析】產生了增根x=1.實際上當時，0 , b0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值.【錯解】 (a+)2+(b+)2=a2+b2+42ab+44+4=8.(a+)2+(b+)2的最小值是8.【錯因分析】上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b22ab，第一次等號成立的條件是a=b=,第二次等號成立的條件是ab=，顯然，這兩個條件是不能同時成立的.因此，8不是最小值.【正確解析】原式= a2+b2+4=( a2+b2)+(+)+4=(a+b)22ab+(+)+4= (12ab)(1+)+4，由ab()2= 得：12ab1=, 且16，1+17，原式17+4= (當且僅當a=b=時，等號成立)，(a + )2 + (b + )2的最小值是.例24.已知兩正數(shù)x,y 滿足x+y=1,則z=的最小值為 .【錯解一】因為對a0,恒有,從而z=4,所以z的最小值是4.【錯解二】，所以z的最小值是.【錯因分析】解法一中，等號成立的條件是相矛盾；解法二中，等號成立的條件是，與相矛盾.【正解】z=，令t=xy, 則，由在上單調遞減,故當t=時 有最小值,所以當時z有最小值.（2）以偏概全，重視一般性而忽視特殊情況以偏概全是指思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完全，不能給出問題的全部答案，從而表現(xiàn)出思維的不嚴密性.例25(1)不等式|x+1|(2x1)0的解集為_(2)函數(shù)的定義域為 .解析：（1）【錯解】.因為|x+1|0恒成立，所以原不等式轉化為2x-10，所以【錯因分析】忽略了當x=1時|x+1|=0原不等式也成立，即x=-1為不等式的解.【正確解析】.原不等式等價于|x+1|=0或2x-10，所以解集為.(2) 【錯解】或.【錯因分析】兩個錯誤：一是解分式不等式（方程）時未考慮分母不能為0；二是解二次不等式時沒有把二次項系數(shù)變?yōu)檎倏紤]兩根之外或兩根之間，從而導致解集出錯.【正解】例26.過點(0,1)作直線，使它與拋物線僅有一個公共點，這樣的直線有（）A.1條 B.2條 C. 3條 D. 0條【錯解】設直線的方程為，聯(lián)立，得，即：，再由0,得k=1,得答案A.【錯因分析】本題的解法有兩個問題，一是將斜率不存在的情況考慮漏掉了，另外又將斜率k=0的情形丟掉了，故本題應有三解，即直線有三條.【正確解析】C.由上述分析，y軸本身即為一切線，滿足題意；解方程時，若k=0，即直線y=1也與拋物線僅有一個公共點，又k=1時也合題意，所以有三條直線合題意，選C.（3）解題時忽視等價性變形導致出錯例27. （1）已知f(x) = ax + ，若求的范圍.（2）已知集合，且，求實數(shù)的取值范圍.解析：（1）【錯解】由條件得 由2 2得 +得 【錯因分析】采用這種解法，忽視了這樣一個事實：作為滿足條件的函數(shù)f(x) = ax + ，其值是同時受制約的.當取最大（?。┲禃r，不一定取最大（?。┲?，因而整個解題思路是錯誤的.【正確解析】由題意有, 解得： 把和的范圍代入得 （2）【錯解】由題意，A： B：或(后面略)【錯因分析】求集合B時，未考慮分式不等式中分母為零這一條件（若B中不等式為或形式而不是或則不需要考慮此問題）.【正確解析】由題意，A= B：或由則.例28.已知數(shù)列的前項和，求【錯解】 【錯因分析】 顯然，當時，不滿足上述公式.沒有注意公式成立的條件是n.【正確解析】當時，n時，.所以.例29.實數(shù)為何值時，圓與拋物線有兩個公共點.【錯解】 將圓與拋物線 聯(lián)立，消去，得 因為有兩個公共點，所以方程有兩個相等正根，得 ， 解之得【錯因分析】如下圖（1）（2）.顯然，當時，圓與拋物線有兩個公共點.xyO圖1xyO圖2【正確解析】要使圓與拋物線有兩個交點的充要條件是方程有一正根、一負根；或有兩個相等正根.當方程有一正根、一負根時，得解之，得因此，當或時，圓與拋物線有兩個公共點.例30.(1)設等比數(shù)列的全項和為.若，求數(shù)列的公比.【錯解】 ，.【錯因分析】在錯解中，由，時，應有.在等比數(shù)列中，是顯然的，但公比q完全可能為1，因此，在解題時應先討論公比的情況，再在的情況下，對式子進行整理變形.【正確解析】若，則有但，即得與題設矛盾，故.又依題意 ,即因為，所以所以解得 【點評】本題為1996年全國高考文科試題，不少考生的解法與錯誤解法相同，根據(jù)評分標準而痛失2分.（4）空間識圖不準 數(shù)學運算能力包括空間想象能力.空間想象能力是指能根據(jù)條件作出正確的圖形，根據(jù)圖形想象出直觀形象；能正確地分析出圖形中基本元素及其相互關系；能對圖形進行分解、組合與變換；會運用圖形與圖表等手段形象地揭示問題的本質對圖形的想象主要包括有圖想圖和無圖想圖兩種，是空間想象能力高層次的標志而空間識圖不準導致的立何幾何題目出錯情況很多.例31直二面角的棱上有一點A，在平面、內各有一條射線AB，AC與成450，AB，則BAC= .【錯解】如右圖.由最小角定理，.【錯因分析】錯解中忽視了AC的另一位置OD，此時.【正確解析】或.如下圖.當時，由最小角定理，；當AC在另一邊DA位置時，. （5）推理方向的盲目性根據(jù)題的已知條件及所求的特征，有時直接從已知出發(fā)，運用公式、定理等得結論，這是綜合法；有時需要從結論出發(fā)，分析它的必要條件，直到得到一個明顯成立的命題，這是分析法.這是兩種不同的推理方向，如果解題時失主理方向不正確，可能導致解題思路受阻或出錯.例32. 設f ( x ) = x3x22x5，當時，f ( x ) .令，得f(x)的增區(qū)間為，f(-1)=（區(qū)間左端點），(極小值點)，所以時所以m.【錯因分析】推理方向的不正確，f ( x ) 7.由題意，f ( x ) 7.（6）限域求值端點取值不正確例33.若,則【錯解】【正解】例34.已知,則的取值范圍是 .【錯解】.，所以.【錯因分析】當時，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象，的范圍應為而不是.【正確解析】.，所以.（7）說一套做一套，粗枝大葉，心里想的和手上寫的不一致比如分數(shù)結果不約分或不化簡、解集不用集合表示、將非常明確的限定條件遺漏（比如形式二次、對數(shù)真數(shù)為正等）、寫錯運算符號、寫錯數(shù)據(jù)，有時把關鍵字母寫錯等等.例35.設A、B是的兩個內角，且是方程的兩根，則A+B=_.分析：由韋達定理易知，又，故.部分學生非常遺憾地把結論寫成了A+B的