二項式定理在數(shù)列求和中的應用.doc

二項式定理在數(shù)列求和中應用 班級：數(shù)學1403姓名： 王琪 學號:14404337 二項式定理在數(shù)列求和中的應用 【摘要】 本文利用二項式定理和楊輝三角的內(nèi)在聯(lián)系，結合組合不等式，推導出形如的前n項和的公式,并給出求更高次求和公式的一般方法?！娟P鍵詞】 二項式定理 組合數(shù) 方程的根 系數(shù)一、項式定理和楊輝三角介紹：1,二項式定理： 其中叫做二項式系數(shù)。2,楊輝三角： 二項式定理的應用非常廣泛, 也很重要, 主要表現(xiàn)在兩個方面: 一是它所揭示的方法富有啟發(fā)性; 二是它與高等數(shù)學聯(lián)系緊密.學習與掌握它, 既有利于培養(yǎng)學生聯(lián)想和抽象思維的能力, 也有利于其今后進一步的學習.二項式定理在中國被稱為“賈憲三角”或“楊輝三角”，一般認為是北宋數(shù)學家賈憲所首創(chuàng).它記載于楊輝的詳解九章算法（1261）之中.在阿拉伯數(shù)學家卡西的著作算數(shù)之鑰（1427）中也給出了一個二項式定理系數(shù)表，他所用的計算方法與賈憲的完全相同.在歐洲，德國數(shù)學家阿皮安努斯在他1527年出版的算數(shù)書的封面上刻有此圖，但一般稱之為“帕斯卡三角形”.因為帕斯卡在1654年也發(fā)現(xiàn)了這個結果. 而在1664年和1665年間，也就是由于瘟疫流行而迫使牛頓從劍橋躲開的前夕，牛頓就開始了二項式定理的研究，值得注意的是，牛頓只處理了二項式的自乘冪是分數(shù)或負數(shù)的情況.牛頓第一次提到二項式定理是在1676年6月13日他寫給奧爾登堡轉(zhuǎn)給萊布尼茲的一封信中，此后牛頓對于該定理進行不斷的推理、猜想和證明，最終建立了二項式定理.牛頓在建立了二項式定理以后，馬上就拋棄了他以前用于求積的插值法，而把這個定理當做確定曲線下方面積的一個最簡單最直接的方法來使用.隨著時間的推移，二項式定理被越來越多的人運用，直到今天，二項式定理已經(jīng)是中學數(shù)學內(nèi)容的重要部分，也是當今高考的難點之一.二項式定理是在處理有關兩個元素和的方冪的問題時常?？紤]到的一個重要公式，是組合數(shù)學中一個基礎而重要的定理，在微積分、概率論、初等數(shù)論等許多數(shù)學分支中都可見其蹤影. 二、二項式的性質(zhì)二項式定理：.理解二項式定理應注意：（1）二項式中，是第一項，是第二項，順序不能變；（2）展開式中有項(比指數(shù)多1)；（3）是二項式系數(shù)；（4）的指數(shù)降冪，的指數(shù)是升冪，兩者的指數(shù)的和等于；（5）二項式展開時要注意各項的符號規(guī)律；（6）注意二項式定理的可逆性.二項式定理除了要注意以上幾點外還具有一些性質(zhì)：性質(zhì)一 的二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即.性質(zhì)二 二項式系數(shù)表中，除兩端以外其余位置的數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)之和，.性質(zhì)三 的二項展開式中，所有二項式系數(shù)的和等于，即 （令即得，或用集合的子集個數(shù)的兩種計算方法結果相等來解釋）.性質(zhì)四 的二項展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即（令即得）.三、重要組合恒等式:（1）,證明： =（證 畢） （2），證明（數(shù)學歸納法）： 當時 上式 左邊=1 右邊是，所以是正確的。 假設上式對正確 即 那么就有 再有組合不等式（1）可得 故綜上所述 對于所有大于r的正整數(shù)n（2）式都是成立的。四、 一元n次多項式根與系數(shù)的關系 對于多項式 若是它的n個根則有一下等式成立： （所有i個不同的根的乘積的和） 五、應用舉例為了方便應用，（2）式也可以寫成當r=1，2，3，4的時候上式也就是： 六、歸納總結命題一：證明：兩式相減有：命題二：由乘法的定義可知：n個1相加的結果為n。命題三：證明：由二項式定理知：，從而：即：由此可得：即：命題四：證明：由二項式定理可知：，從而即：由此可得：即：命題五： 證明：由二項式定理可知：，從而即：由此可得：即： 命題六：證明：由二項式定理可知：，從而即：由此可得：下面我們討論一般情況下數(shù)列的和，即：由二項式定理可知：，從而有可得：即：至此，我們求出了連續(xù)自然數(shù)任意次方的和。推論 若多項式他的根分別是，則他的展開式中的系數(shù)是同理展開式中的系數(shù)是：二項式定理有著廣泛的應用，如果不能夠準確把握其本質(zhì)，則可能導致無法預測的結果.二項式定理多出現(xiàn)在高考題中，其中比較突出的就是利用二項式的通項公式解決特定項問題，除此之外，二項式定理