《矢量分析》課件.ppt

薛正遠 理6 505 課程公郵 scnuphysics 密碼 physics2011華南師范大學 電磁場與電磁波 一 電磁現(xiàn)象的經(jīng)驗認識時代 18世紀之前 1 古希臘 七賢之一 的哲學家泰利斯 Thales 曾敘述過織衣者所觀察到的現(xiàn)象 那就是用毛織物摩擦過的琥珀能夠吸引某些輕的物體 2 大約在春秋末期 約公元前四 五世紀 成書的 管子 地數(shù)篇 戰(zhàn)國時期的 鬼谷子 戰(zhàn)國末期的 呂氏春秋 等 都留記述了天然磁石及其吸鐵現(xiàn)象 并且出現(xiàn)世界上最古老的指南針 司南 3 1638年 我國建筑學書籍中對避雷的記載 屋頂?shù)乃慕嵌急坏耧棾升堫^的形狀 仰頭 張口 在它們的舌頭上有一根金屬芯子 其末端伸到地下 如有雷電擊中房頂 會順著龍舌引入地下 不會對房屋造成危險 緒論 1 1745年 荷蘭萊頓大學馬森布羅克制成了萊頓瓶 可以將電荷儲存起來 供電學實驗使用 為電學研究打下了基礎(chǔ) 2 1752年7月 美國著名的科學家 文學家 政治家富蘭克林的風箏試驗 證實了閃電式放電現(xiàn)象 從此拉開了人們研究電學的序幕 3 1753年 俄國著名的電學家利赫曼在驗證富蘭克林的實驗時 被雷電擊中 為科學探索獻出了寶貴的生命 4 1771 1773 英國科學家卡文迪什進行了大量靜電試驗 證明在靜電情況下 導體上的電荷只分布在導體表面上 二 電磁學現(xiàn)代科學體系的建立 文藝復興之后 18世紀中 19世紀中 5 1785年 法國科學家?guī)靵鲈趯嶒炓?guī)律的基礎(chǔ)上 提出了第一個電學定律 庫侖定律 使電學研究走上了理論研究的道路 6 1820年 由丹麥的科學家奧斯特在課堂上的一次試驗中 發(fā)現(xiàn)了電的磁效應 從此將電和磁聯(lián)系在一起 7 1822年 法國科學家安培提出了安培環(huán)路定律 將奧斯特的發(fā)現(xiàn)上升為理論 8 1825年 德國科學家歐姆得出了第一個電路定律 歐姆定律 9 1831年 英國實驗物理學家法拉第發(fā)現(xiàn)了電磁感應定律并設(shè)計了世界上第一臺感應發(fā)電機 10 1840年 英國科學家焦耳提出了焦耳定律 揭示了電磁現(xiàn)象的能量特性 11 1848年 德國科學家基爾霍夫提出了基爾霍夫電路理論 使電路理論趨于完善 12 奧斯特的電生磁和法拉第的磁生電奠定了電磁學的基礎(chǔ) 電磁學理論的完成者 英國的物理學家麥克斯韋 1831 1879 麥克斯韋方程組 用最完美的數(shù)學形式表達了宏觀電磁學的全部內(nèi)容 從理論上預言了電磁波的存在 1866年 德國的西門子發(fā)明了使用電磁鐵的發(fā)電機 為電力工業(yè)開辟了道路 1876年 美國貝爾發(fā)明了電話 實現(xiàn)了電聲通信 1879年 美國發(fā)明家愛迪生發(fā)明了電燈 使電進入了人們的日常生活 1887年 德國的物理學家赫茲首次用人工的方法產(chǎn)生了電磁波 隨后 俄國的波波夫和意大利的馬可尼 利用電磁波通信獲得成功 開創(chuàng)了人類無線通信的新時代 三 電磁學應用突飛猛進 19世紀中至今 四 課程內(nèi)容 第一章 電磁學的數(shù)學基礎(chǔ) 矢量運算第二章 電磁學的理論基礎(chǔ) 麥克斯韋方程組第三 四 五章 麥克斯韋方程組的應用 邊界條件 靜態(tài)場 第六章 平面 電磁波的傳輸特性第七章 電磁波在波導中的傳播 光纖通信 第八章 電磁波的產(chǎn)生 電磁波的輻射 五 場的基本概念 1 什么是場 a 從數(shù)學角度 場是給定區(qū)域內(nèi)各點數(shù)值的集合 這些數(shù)值規(guī)定了該區(qū)域內(nèi)一個特定量的特性 比如 T是溫度場中的物理量 T就是溫度場b 從物理角度 場是遍及一個被界定的或無限擴展的空間內(nèi)的 能夠產(chǎn)生某種物理效應的特殊的物質(zhì) 場是具有能量的 重力場 電磁場 2 場的分類a 按物理量的性質(zhì)分 標量場 描述場的物理量是標量 矢量場 描述場的物理量是矢量 b 按場量與時間的關(guān)系分 靜態(tài)場 場量不隨時間發(fā)生變化的場 動態(tài)場 場量隨時間的變化而變化的場 動態(tài)場也稱為時變場 第1章矢量分析 一 矢量和標量的定義 二 矢量的運算法則 三 矢量微分元 線元 面元 體元 四 標量場的梯度 六 矢量場的旋度 五 矢量場的散度 七 重要的場論公式 一 矢量和標量的定義 1 標量 只有大小 沒有方向的物理量 矢量表示為 所以 一個矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積 其中 為矢量的模 表示該矢量的大小 為單位矢量 表示矢量的方向 其大小為1 2 矢量 不僅有大小 而且有方向的物理量 如 力 速度 電場等 如 溫度T 長度L等 例1 在直角坐標系中 x方向的大小為6的矢量如何表示 圖示法 力的圖示法 二 矢量的運算法則 1 加法 矢量加法是矢量的幾何和 服從平行四邊形規(guī)則 a 滿足交換律 b 滿足結(jié)合律 三個方向的單位矢量用表示 根據(jù)矢量加法運算 所以 在直角坐標系下的矢量表示 其中 矢量 模的計算 單位矢量 方向角與方向余弦 在直角坐標系中三個矢量加法運算 2 減法 換成加法運算 逆矢量 和的模相等 方向相反 互為逆矢量 在直角坐標系中兩矢量的減法運算 3 乘法 1 標量與矢量的乘積 2 矢量與矢量乘積分兩種定義 a 標量積 點積 在直角坐標系中 已知三個坐標軸是相互正交的 即 有兩矢量點積 結(jié)論 兩矢量點積等于對應分量的乘積之和 推論1 滿足交換律 推論2 滿足分配律 推論3 當兩個非零矢量點積為零 則這兩個矢量必正交 推論1 不服從交換律 推論2 服從分配律 推論3 不服從結(jié)合律 推論4 當兩個非零矢量叉積為零 則這兩個矢量必平行 b 矢量積 叉積 含義 兩矢量叉積 結(jié)果得一新矢量 其大小為這兩個矢量組成的平行四邊形的面積 方向為該面的法線方向 且三者符合右手螺旋法則 在直角坐標系中 兩矢量的叉積運算如下 兩矢量的叉積又可表示為 3 三重積 三個矢量相乘有以下幾種形式 矢量 標量與矢量相乘 標量 標量三重積 矢量 矢量三重積 a 標量三重積 法則 在矢量運算中 先算叉積 后算點積 定義 含義 標量三重積結(jié)果為三矢量構(gòu)成的平行六面體的體積 注意 先后輪換次序 推論 三個非零矢量共面的條件 在直角坐標系中 b 矢量三重積 例2 解 則 設(shè) 例3 已知 求 確定垂直于 所在平面的單位矢量 其中 k為任意實數(shù) C A B 解 在通過A點和B點的直線方程上 任取一點C 對于原點的位置矢量為 則 三 矢量微分元 線元 面元 體元 例 其中 和稱為微分元 1 直角坐標系在直角坐標系中 坐標變量為 x y z 如圖 做一微分體元 線元 面元 體元 2 圓柱坐標系 在圓柱坐標系中 坐標變量為 如圖 做一微分體元 線元 面元 體元 3 球坐標系 在球坐標系中 坐標變量為 如圖 做一微分體元 線元 面元 體元 a 在直角坐標系中 x y z均為長度量 其拉梅系數(shù)均為1 即 b 在柱坐標系中 坐標變量為 其中為角度 其對應的線元 可見拉梅系數(shù)為 在球坐標系中 坐標變量為 其中均為角度 其拉梅系數(shù)為 注意 在正交曲線坐標系中 其坐標變量不一定都是長度 其線元必然有一個修正系數(shù) 這個修正系數(shù)稱為拉梅系數(shù) 若已知其拉梅系數(shù) 就可正確寫出其線元 面元和體元 體元 線元 面元 正交曲線坐標系 四 標量場的梯度 1 標量場的等值面 可以看出 標量場的函數(shù)是單值函數(shù) 各等值面是互不相交的 以溫度場為例 熱源 等溫面 b 梯度 定義 標量場中某點梯度的大小為該點最大的方向?qū)?shù) 其方向為該點所在等值面的法線方向 數(shù)學表達式 2 標量場的梯度 a 方向?qū)?shù) 空間變化率 稱為方向?qū)?shù) 為最大的方向?qū)?shù) 標量場的場函數(shù)為 計算 在直角坐標系中 所以 梯度也可表示 在柱坐標系中 在球坐標系中 在任意正交曲線坐標系中 在不同的坐標系中 梯度的計算公式 在直角坐標系中 五 矢量場的散度 1 矢線 場線 在矢量場中 若一條曲線上每一點的切線方向與場矢量在該點的方向重合 則該曲線稱為矢線 2 通量 定義 如果在該矢量場中取一曲面S 通過該曲面的矢線量稱為通量 表達式 若曲面為閉合曲面 討論 a 如果閉合曲面上的總通量 說明穿出閉合面的通量大于穿入曲面的通量 意味著閉合面內(nèi)存在正的通量源 b 如果閉合曲面上的總通量 說明穿入的通量大于穿出的通量 那么必然有一些矢線在曲面內(nèi)終止了 意味著閉合面內(nèi)存在負源或稱溝 c 如果閉合曲面上的總通量 說明穿入的通量等于穿出的通量 3 散度 散度 a 定義 矢量場中某點的通量密度稱為該點的散度 b 表達式 在直角坐標系中選擇一封閉曲面 該封閉曲面由六個平面組成 c 散度的計算 矢量場表示為 通量計算式為 因為 則 在x方向上的總通量 在z方向上 穿過和面的總通量 整個封閉曲面的總通量 同理 在y方向上 穿過和面的總通量 該閉合曲面所包圍的體積 通常散度表示為 4 散度定理 物理含義 穿過一封閉曲面的總通量等于矢量散度的體積分 柱坐標系中 球坐標系中 直角坐標系中 常用坐標系中 散度的計算公式 六 矢量場的旋度 六 矢量場的旋度 1 環(huán)量 在矢量場中 任意取一閉合曲線 將矢量沿該曲線積分稱之為環(huán)量 可見 環(huán)量的大小與環(huán)面的方向有關(guān) 2 旋度 定義 一矢量其大小等于某點最大環(huán)量密度 方向為該環(huán)的法線方向 那么該矢量稱為該點矢量場的旋度 表達式 旋度計算 以直角坐標系為例 一旋度矢量可表示為 場矢量 其中 為x方向的環(huán)量密度 旋度可