概率論與隨機(jī)過程課件.pptx

在實(shí)際中 人們常常對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣 求截面面積A 的分布 例如 已知圓軸截面直徑d的分布 引言 又如已知t t0時(shí)刻噪聲電壓V的分布 求功率W V2 R R為電阻 的分布等 2 4隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 這類問題一般的提法是 若X是隨機(jī)變量 求Y g X 的分布 其中y g x 是x的一個(gè)實(shí)值函數(shù) 為了求Y的分布 首先我們要理解Y是一個(gè)怎樣的隨機(jī)變量 設(shè)X是定義在樣本空間 上的隨機(jī)變量 那么Y Y g X 由此可見Y亦是定義在 上的隨機(jī)變量 它是經(jīng)過g 與X 復(fù)合而成的 設(shè)X是離散型隨機(jī)變量 則Y g X 一般也是離散型隨機(jī)變量 此時(shí) 只需由X分布律求得Y的分布律即可 求 1 Y X 1 2 Y 2X2的分布律 例 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為 一 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 解 由X的分布律可得下表P2 101 101 103 103 10X 10123X 1 2 1012 2X2 20 2 8 18由此可見 1 Y X 1的所有可能取值為 2 1 0 1 2 且P Y 2 P X 1 2 10 P Y 1 P X 0 1 10 P Y 0 P X 1 1 10 P Y 1 P X 2 3 10 P Y 2 P X 3 3 10 故得Y X 1的分布律為 2 Y 2X2的所有可能取值為 18 8 2 0 且P Y 18 P X 3 3 10 P Y 8 P X 2 3 10 P Y 2 P X 1 P X 1 1 10 3 10 2 5 P Y 0 P X 0 1 10 故得Y 2X2的分布律為 一般地 我們先由X的取值xk k 1 2 求出Y的取值yk g xk k 1 2 如果諸yk都不相同 則由P Y yk P X xk 可得Y的分布律 如果諸yk中有某些取值相同 則把相應(yīng)的X的取值的概率相加 二 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 再由FY y 進(jìn)一步求出Y的概率密度 設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量 具有概率密度fx x 又Y g X 在大部分情況下Y也是連續(xù)型隨機(jī)變量 若Y是連續(xù)型隨機(jī)變量 考慮求出Y的概率分布 1 一般方法可先求出Y的分布函數(shù)FY y 因?yàn)镕Y y P Y y P g X y 設(shè)ly x g x y 則 例1 設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度 求Y 2X 1的概率密度 解 先求Y的分布函數(shù) 計(jì)算的關(guān)鍵在于確定積分區(qū)間ly 即解不等式g x y得出x的解區(qū)間ly 這種方法我們稱之為分布函數(shù)法 當(dāng)1 y 9時(shí) 0 y 1 2 4 當(dāng)y 9時(shí)FY y 1 由此可得Y的概率密度為 當(dāng)y 1時(shí) y 1 2 0FY y 0 例2 設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度fX x 求Y X2的概率密度 解 先求Y的分布函數(shù)FY y 由于Y X2 0 故當(dāng)y 0時(shí)FY y 0 當(dāng)y 0時(shí) 有 于是得Y的概率密度為 例如 設(shè)X N 0 1 其概率密度為 則Y X2的概率密度為 此時(shí)稱Y服從自由度為1的 2分布 當(dāng)函數(shù)y g x 可導(dǎo)且為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)時(shí) 我們有下面一般結(jié)果 設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度fX x 又設(shè)函數(shù)g x 處處可導(dǎo)且恒有g(shù) x 0 或恒有g(shù) x 0 則Y g X 的概率密度為 定理 其中x h y 為y g x 的反函數(shù) 2 特殊方法 證 我們只證g x 0的情況 此時(shí)g x 在 嚴(yán)格單調(diào)增加 它的反函數(shù)h y 存在 且在 嚴(yán)格單調(diào)增加 可導(dǎo) 現(xiàn)在先來求Y的分布函數(shù)FY y 因?yàn)閅 g X 在 取值 故當(dāng)y 時(shí) FY y P Y y 0 當(dāng)y 時(shí) FY y P Y y 1 當(dāng) y 時(shí) FY y P Y y P g X y P X h y 于是得Y的概率密度 合并兩式 即得證 若 x 在有限區(qū)間 a b 以外等于零 則只需假設(shè)在 a b 上恒有g(shù) x 0 或恒有g(shù) x 0 此時(shí) 若g x 0 同理可證 例3 設(shè)隨機(jī)變量X N 2 試證明X的線性函數(shù)Y aX b a 0 也服從正態(tài)分布 證明 X的概率密度為 現(xiàn)在y g x ax b 由這一式子解得x h y y b a 由定理得Y aX b的概度密度為 所以Y aX b N a b a 2 特別 在上例中取a 1 b 得 例4 設(shè)電壓V Asin 其中A是一個(gè)已知的正常數(shù) 相角 是一個(gè)隨機(jī)變量 在區(qū)間 2 2 服從均勻分布 試求電壓V的概率密度 解 v g Asin 在 2 2 上恒有g(shù) Acos 0且有反函數(shù) h v arcsin V A 又 的概率密度為 于是 由公式 若在上題中 在 0 上服從均勻分布 因?yàn)榇藭r(shí)v g Asin 在 0 上不是單調(diào)函數(shù) 上述定理失效 此時(shí)方法如何 例4設(shè)X在 0 服從均勻分布 求 Y sinX的分布函數(shù)FY y 解 1 2 y sinx在 0 不單調(diào) 但可分為兩單調(diào)區(qū)間 0 2 2 3 求 FY y P Y y 當(dāng)0 y 1時(shí) FY y P sinX y P 0 X arcsiny P arcsiny X x1 arcsiny x2 arcsiny 小結(jié) 求隨機(jī)變量函數(shù)的分布的方法 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為P X xi pi i 1 2 n 又y f x 是x的連續(xù)函數(shù) 則Y f X 是隨機(jī)變量 其分布律為P Y f xi pi i 1 2 n 若某些f xi 相等 將它們作適當(dāng)并項(xiàng)即可 2 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 X x y f x 連續(xù) 求Y f X 的密度函數(shù)的方法有三種 1 分布函數(shù)法 2 若y f x 嚴(yán)格單調(diào) 其反函數(shù)有連續(xù)導(dǎo)函數(shù) 則可用公式法 3 若y f x 在不相重疊的區(qū)間I1 I2 上逐段嚴(yán)格單調(diào) 其反函數(shù)分別為g1 y g2 y 且g 1 y g 2 y 均為連續(xù)函數(shù) 則Y f X 是連續(xù)型隨機(jī)變量 其密度函數(shù)為 例5已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F x 是嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù) 證明Y F X 服從 0 1 上的均勻分布 又由于X的分布函數(shù)F是嚴(yán)格遞增的連續(xù)函數(shù) 其反函數(shù)F 1存在且嚴(yán)格遞增 證明 設(shè)Y的分布函數(shù)是G y 于是 對(duì)y 1 G y 1 對(duì)y 0 G y 0 由于 對(duì)0 y 1 G y P Y y P F X y P X y F y y 即Y的分布函數(shù)是 求導(dǎo)得Y的密度函數(shù) 可見 Y服從 0 1 上的均勻分布 本例的結(jié)論在計(jì)算機(jī)模擬中有重要的應(yīng)用 例如 想得到具有密度函數(shù)為 的隨機(jī)數(shù) 參數(shù)為的指數(shù)分布 根據(jù)前面的結(jié)論 Y F X 服從 0 1 上的均勻分布 由于當(dāng)x 0時(shí) 是嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù) 應(yīng)如何做呢 于是得到產(chǎn)生指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù)的方法如下 給指數(shù)分布參數(shù) 令 指數(shù)隨機(jī)數(shù) 例6 設(shè)分布函數(shù)F x 為嚴(yán)格遞增的分布函數(shù) F 1 x