本科經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)附錄C(第4版).ppt

附錄C 一些重要的概率分布 總結(jié) F分布 C 5 t分布 C 4 分布 C 3 C 2 正態(tài)分布 C 1 C 1正態(tài)分布 normaldistribution 表示 密度函數(shù)正態(tài)變量的概率密度 最重要的一種概率分布 連續(xù)型分布 正態(tài)分布的圖形 C 1 1正態(tài)分布的性質(zhì) 3 分布曲線(xiàn)下的面積約有68 位于之間 約95 位于之間 4 可由均值和方差兩個(gè)參數(shù)來(lái)描述 5 兩個(gè)或多個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量的線(xiàn)性組合仍服從正態(tài)分布 6 正態(tài)分布的偏度S 0 峰度K 3 1 分布曲線(xiàn)以均值為中心對(duì)稱(chēng) 2 分布曲線(xiàn)呈中間高 兩邊低 在均值最高 例4 1 令X表示在曼哈頓非商業(yè)區(qū)一花商每日出售的玫瑰花數(shù)量 Y表示在曼哈頓商業(yè)區(qū)一花商每日出售的玫瑰花的數(shù)量 假定X和Y服從正態(tài)分布 且相互獨(dú)立 并有 X N 100 64 Y N 150 81 求兩天內(nèi)兩花商出售玫瑰花數(shù)量的和的期望和方差 解 設(shè)隨機(jī)變量W表示兩天內(nèi)兩花商出售玫瑰花數(shù)量的和 則有 W 2X 2Y則因?yàn)閄和Y相互獨(dú)立 且都服從正態(tài)分布 所以W也服從正態(tài)分布 且期望為 E W E 2X 2Y 2E X 2E Y 200 300 500方差為 Var W Var 2X 2Y 4Var X 4Var Y 4 64 4 81 580所以 W N 500 580 C 1 2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 均值為0 方差為1時(shí)的正態(tài)分布 當(dāng) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)參考正態(tài)分布密度函數(shù) 同方差 不同均值 不同方差 同均值 不同方差 不同均值 例4 2 掌握標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用方法 變量X表示面包房每日出售的面包量 假定其服從均值為70 方差為9的正態(tài)分布 即X N 70 9 任給一天 求 1 出售面包數(shù)量大于75的概率 2 出售面包數(shù)量小于等于75的概率 3 出售面包數(shù)量在65與75之間的概率 4 出售面包數(shù)量在大于75或小于65的概率 例3 10 解 1 2 3 4 C 1 3從正態(tài)總體中隨機(jī)抽樣可從一給定均值和方差的正態(tài)總體中生成一隨機(jī)樣本 也可以利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)樣本 將它轉(zhuǎn)化為不同均值和方差的正態(tài)分布 許多統(tǒng)計(jì)軟件包都有從常用的概率分布獲得隨機(jī)樣本的程序 稱(chēng)為隨機(jī)數(shù)字生成器 randomnumbergenerators 見(jiàn)Excel文件 C 1 4樣本均值的抽樣分布或概率分布 隨機(jī)抽樣與簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 隨機(jī)抽樣 randomsampling 最常用的抽取樣本的方法 它要求抽取的樣本滿(mǎn)足等可能性和獨(dú)立性 即每一個(gè)個(gè)體被抽取的可能性是相等的 且樣本各個(gè)體之間是相互獨(dú)立的 這樣抽樣得到的樣本被稱(chēng)為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本或獨(dú)立同分布隨機(jī)樣本 i i d Independentlyandidenticallydistributedrandomvariables 例 X1 X2 Xn是從一個(gè)正態(tài)總體N u 2 中抽取的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 則X1 X2 Xn是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量 同服從N u 2 統(tǒng)計(jì)量 不含未知參數(shù)的樣本的函數(shù) 例如樣本均值和樣本方差 抽樣分布 樣本統(tǒng)計(jì)量的分布被稱(chēng)為抽樣分布 例4 6 某總體服從正態(tài)分布 正態(tài)分布的均值為10 方差為4 即N 10 4 從這個(gè)正態(tài)總體中抽取20個(gè)隨機(jī)樣本 每個(gè)樣本包括20個(gè)觀察值 對(duì)抽取的每個(gè)樣本 計(jì)算得到其樣本均值 因而可得到20個(gè)樣本均值 見(jiàn)Excel文件 通過(guò)實(shí)例我們可以看出 正態(tài)分布的i i d樣本的樣本均值也服從正態(tài)分布 實(shí)際上 我們可以嚴(yán)格證明下面這一結(jié)論 正態(tài)分布的樣本均值的抽樣分布也是正態(tài)分布 且有 很容易利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中計(jì)算某一給定樣本均值大于或小于某一給定的總體均值的概率 利用變換公式 例4 7 令X表示某一型號(hào)汽車(chē)每消耗一加侖汽油所行駛的距離 英里 已知X N 20 4 則對(duì)一個(gè)有25輛汽車(chē)組成的隨機(jī)樣本 求 a 每消耗一加侖汽油所行駛的平均距離大于21英里的概率 b 每消耗一加侖汽油所行駛的平均距離小于18英里的概率 c 每消耗一加侖汽油所行駛的平均距離介于19和21英里之間的概率 所以 a b c 解 則樣本均值也服從正態(tài)分布 且其均值為u 方差為 若 來(lái)自于 的正態(tài)總體的隨機(jī)樣本 即有 前面已經(jīng)知道 C 1 5中心極限定理 如果樣本不是來(lái)自于正態(tài)總體呢 如果樣本 是來(lái)自于任一總體 均值為u 方差為 的隨機(jī)樣本 當(dāng)樣本容量n無(wú)限增大時(shí) 其樣本均值將趨于正態(tài)分布 且其均值仍為u 方差為 即 簡(jiǎn)言之 若樣本容量足夠大 則來(lái)自于任意分布總體的隨機(jī)樣本 其樣本均值近似服從正態(tài)分布 這就是中心極限定理 a 來(lái)自正態(tài)總體的樣本 b 來(lái)自非正態(tài)總體的樣本 正態(tài)總體 樣本均值的抽樣分布 非正態(tài)總體 樣本均值的抽樣分布 這里假設(shè)的是總體的均值和方差都是已知的 如果總體均值已知 但總體方差未知 我們用樣本方差代替總體方差 得到一個(gè)新的統(tǒng)計(jì)量 它將服從自由度為n 1的t分布 我們已知 C 2t分布 k 120 正態(tài) k 5 k 10 圖3 9不同自由度下的t分布 t分布的性質(zhì)1 與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相似 具有對(duì)稱(chēng)性 即偏度為零 2 均值為零 方差為3 t分布比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布峰低 兩側(cè)尾部厚一些 4 隨著k的增大 t分布將越來(lái)越接近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 例4 8再回到例4 2 在15天內(nèi) 出售面包的平均數(shù)量為74條 樣本標(biāo)準(zhǔn)差為4條 假定真實(shí)的期望值為70條 求15天內(nèi)售出面包平均數(shù)量大于74條的概率 分析 假定真實(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差已知 則可通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量Z來(lái)回答此問(wèn)題 但現(xiàn)在僅知道真實(shí)標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量S 我們利用t統(tǒng)計(jì)量來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題 解 注意在本例中 自由度為14 15 1 當(dāng)自由度為14時(shí) 查表得 t值大于等于2 145的概率為0 025 t值大于等于2 624的概率為0 01 t值大于等于3 787的概率為0 001 因此 所求t大于3 873的概率小于0 001 例4 9 上例中其它條件保持不變 現(xiàn)假定15天內(nèi)出售面包的平均數(shù)量為72條 求大于此數(shù)量的概率 解 所求概率在0 025到0 05之間 例4 10 現(xiàn)假定15天內(nèi) 出售面包的平均數(shù)量為68條 樣本標(biāo)準(zhǔn)差為4 若真實(shí)的平均出售量為70條 求出售面包平均數(shù)量小于68條的概率 解 相應(yīng)概率為0 025到0 05之間 例4 11 求每天出售面包的平均數(shù)量在68條與72條之間的概率 解 相應(yīng)概率為0 90到0 95之間 例4 12 下面是1967 1990年間學(xué)生能力測(cè)試分?jǐn)?shù)表 見(jiàn)Excel文件 第4章 現(xiàn)抽取由10位男生語(yǔ)言能力測(cè)試分?jǐn)?shù)組成的隨機(jī)樣本 其樣本均值和方差分別為440 60和137 60 若真實(shí)均值為440 42 求樣本均值大于440 60的概率 解 查表可得 此概率大于0 25 小于0 5 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的平方服從自由度 degreesoffreedom d f 為1的分布 這里定義自由度是平方和中獨(dú)立觀察值的個(gè)數(shù) 若是k個(gè)相互獨(dú)立 同分布的隨機(jī)變量 其共同的分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N 0 1 則其平方和服從自由度為k的分布 即有 服從自由度為k的分布 x 概率密度 k 2 k 5 k 10 1 取值范圍從0到無(wú)限大 2 自由度越大 偏度越小 3 期望為K 方差為2K 4 若兩個(gè)服從分布的隨機(jī)變量X1 X2相互獨(dú)立 則 X1 X2 例4 13 若自由度為30 求 1 觀察到的分布值大于13 78的概率 2 觀察到的分布值大于18 49的概率 3 大于50 89的概率 解 見(jiàn)書(shū)P388 查表可得 三個(gè)概率分別為0 995 0 95和0 01 命題 若隨機(jī)樣本來(lái)自于方差為 2的正態(tài)總體 其樣本容量為n 樣本方差為S2 可以證明 C 4F分布 F分布 Fdistribution 是經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)中又一種重要的概率分布 定義 隨機(jī)樣本X1 X2 Xm來(lái)自于均值為u1 方差為的正態(tài)總體 其樣本容量為m 隨機(jī)樣本Y1 Y2 Yn來(lái)自于均值為u2 方差為的正態(tài)總體 其樣本容量為n 且這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立 定義 若 且X和Y相互獨(dú)立 則有 如果兩總體同方差 有 令 有 F分布的性質(zhì)1 F分布是右偏分布 取值為0到無(wú)限大 2 當(dāng)自由度k1 k2逐漸增大時(shí) 偏度越小 3 t分布變量的平方服從分子自由度為1 分母自由度為k的F分布 4 例如 例4 15 回到例4 12 假定男 女生的語(yǔ)言能力的測(cè)試分?jǐn)?shù)均服從正態(tài)分布 進(jìn)一步假定它們的均值和方差是相同的 根據(jù)得到的兩個(gè)樣本方差 能否認(rèn)為兩總體是同方差的 解 其實(shí)這是一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題 要檢驗(yàn)兩總體是否同方差 可以利用F統(tǒng)計(jì)量 零假設(shè)為 兩總體同方差 備擇假設(shè)為 兩總體方差不同 利用兩個(gè)樣本的樣本方差計(jì)算得到F值為2 1353 在0 1的顯著水平下 落入拒絕域 所以認(rèn)為在0 1的顯著水平下 兩總體的方差是不同的 例4 16 兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行同樣的經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)測(cè)試 一個(gè)班級(jí)有100名學(xué)生 另一個(gè)班級(jí)有150名學(xué)生 從第一個(gè)班級(jí)中隨機(jī)抽取25個(gè)學(xué)生 從第二個(gè)班級(jí)中隨機(jī)抽取31個(gè)學(xué)生 得到兩個(gè)班級(jí)GPA