空間向量的正交分解及坐標表示.ppt

3 1 4空間向量的正交分解及其坐標表示 學習目標 1 知識與技能 了解空間向量的基本定理及其意義 掌握空間向量的正交分解及坐標表示2 過程與方法 類比平面向量的有關知識 得出空間向量基本定理及坐標表示 3 情感態(tài)度與價值觀 用發(fā)展的聯系的眼光看問題 認識到事物都是在不斷的發(fā)展變化的 學習重點 空間向量基本定理 學習難點 探究空間向量基本定理的過程及定理的應用 1 平面向量基本定理 一 預備知識 一 預備知識2 下圖中 如何用兩個不共線向量來表示 O P y x 1 2 3 1 2 3 在平面直角坐標系中 取與X軸Y軸方向相同的兩個單位向量 作為基底 在圖中作出 并寫出的坐標 3 2 O x y z o 二 探究與發(fā)現 探究一 設 為由公共起點O的三個兩兩互相垂直的向量 那么對于空間任意一個向量 如何用 來表示 Q P 探究二 如果用任意三個不共面向量來代替上述兩兩互相垂直的向量 還有類似結論嗎 O P Q 空間向量基本定理 注意 x y z O e1 e2 e3 2 空間向量的坐標表示 給定一個空間坐標系和向量 且設e1 e2 e3為坐標向量 由空間向量基本定理 存在唯一的有序實數組 x y z 使p xe1 ye2 ze3有序數組 x y z 叫做p在空間直角坐標系O xyz中的坐標 記作 P x y z 2 空間向量的坐標表示 x y z O 三 空間向量的正交分解及其坐標表示 x y z O i j k P 記作 x y z 由空間向量基本定理 對于空間任一向量存在唯一的有序實數組 x y z 使 P P 練習 正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為2 以A為坐標原點 以AB AD AA1為x軸 y軸 z軸正方向建立空間直角坐標系 設向量 為x軸 y軸 z軸正方向的單位向量 用向量 表示向量AC1和BD1 三 定理應用例1如圖 M N分別是四面體OABC的邊OA BC的中點 P Q是MN的三等分點 用向量 表示和 解 解 練習 B 四 學后反思 1 知識點 2 問題探究過程的思路剖析 課下探究 空間向量基本定理與課本95頁 思考 欄目中的第二問題有什么聯系 你有何體會 五 作業(yè) P106A組1 2 練習2 空間向量運算的坐標表示 空間向量基本定理 則叫做點A在此空間坐標系o xyz的坐標 x y z O A 3 坐標 向量的坐標 給定一個空間直角坐標系和向量 且設為坐標向量 則存在唯一的有序實數組 a1 a2 a3 使 有序數組 a1 a2 a3 叫做在空間直角坐標系O xyz中的坐標 記作 a1 a2 a3 點的坐標 在空間直角坐標系O xyz中 對空間任一點A 對應一個向量于是存在唯一的有序實數組x y z 使 記作A x y z分別稱作點A的橫坐標 縱坐標 豎坐標 則 二 空間向量的坐標運算 若A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 則 空間一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標 二 距離與夾角的坐標表示 1 距離公式 1 向量的長度 模 公式 注意 此公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度 在空間直角坐標系中 已知 則 2 空間兩點間的距離公式 2 兩個向量夾角公式 注意 1 當時 同向 2 當時 反向 3 當時 練習一 1 求下列兩個向量的夾角的余弦 2 求下列兩點間的距離及中點坐標 答案 1 1 1 1 0 1 解 設正方體的棱長為1 如圖建立空間直角坐標系 則 例1如圖 在正方體中 求與所成的角的余弦值 例題 解 1 如圖建立空間直角坐標系 則C 0 1 0 N 1 0 1 證明 設正方體的棱長為1 建立如圖的空間直角坐標系 D O x y z 練習3 如圖 空間四邊形PABC的每條邊及對角線的長都是 試建立空間直角坐標系 并求出四個頂點的坐標 z x y y x z x y