矩陣的初等變換在線性代數(shù)中的應(yīng)用（四）

矩陣的初等變換在線性代數(shù)中的應(yīng)用 四 矩陣的初等變換在線性代數(shù)中的應(yīng)用 四 李志慧 陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 副教授 博士 西安 710062 5 求標(biāo)準(zhǔn)正交基 求標(biāo)準(zhǔn)正交基 通常的 Schmidt 方法 使我們可以從歐氏空間的任意一個基出發(fā) 求出一個正交基 n R 來 再單位化 求出一個標(biāo)準(zhǔn)正交基 下面給出一種運用矩陣的初等變換 從歐氏空間 的任意一個基求標(biāo)準(zhǔn)正交基的方法 3 n R 設(shè)是的任意一個基 以為列向量構(gòu)成矩陣 21niiii aaaa n Rni 2 1 i a 則是一個階正定矩陣 必與單位矩陣合同 即存在階可逆矩陣 ji aA AA nEnQ 使得 5 EQAAQ 即 6 EAQAQ 5 式說明 對矩陣施行一系列的初等變換 相應(yīng)的初等矩陣的乘積 及一系列AA Q 的行初等變換 相應(yīng)的初等矩陣的乘積為 可變成單位矩陣 6 式表明 的列向 QAQ 量組是的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基 可以通過對矩陣施行與對矩陣所施行的相同系 n RAQAAA 列的列初等變換求出 而不必通過先求再與相乘得到 QA 于是 得到求標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣初等變換法 AQ E A AA A AA 施行列初等變換對 初等變換 列 行 施行對 的列向量組即為所求 AQ 例例 7 把 變成單位 0 0 1 1 1 a 0 1 0 1 2 a 1 0 0 1 3 a 1 1 1 1 4 a 正交的向量組 解 令 則 1100 1010 1001 1111 A 1111 1001 0101 0011 A 4000 0211 0121 0112 AA 1100 1010 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 4000 0 2 3 2 1 0 0 2 1 2 3 0 0001 12 12 1100 1010 1001 1111 4000 0211 0121 0112 行除第 列除第 A AA 1100 1010 0100 2 1 111 2 1 4000 021 2 1 012 2 1 0 2 1 2 1 1 2 1 13 2 1 12 2 1 13 2 1 12 行第行第 列第行第 列第列第 列第列第 1100 1 3 1 6 2 0 1 3 1 6 1 2 1 1 3 1 6 1 2 1 4000 0 3 4 00 0010 0001 1 12 3 00 1 12 1 6 2 0 1 12 1 6 1 2 1 1 12 1 6 1 2 1 4000 0100 0010 0001 2 1 12 3 00 2 1 12 1 6 2 0 2 1 12 1 6 1 2 1 2 1 12 1 6 1 2 1 1000 0100 0010 0001 所以所求單位正交的向量組為 0 0 2 1 2 1 1 0 6 2 6 1 6 1 2 12 3 12 1 12 1 12 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 4 需指出的是 的行向量組 正是的列向量組 所以有求標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩 AQAQ AQ 陣初等變換法的另一形式 AQE A AA AAA 施行行初等變換對 初等變換 列 行 施行對 的行向量即為所求 AQ 如果需要求出 則由可知 對單位短陣施行同樣的列初等變換得到 QEQQ EQ 即 Q E E AA E AA 施行列初等變換對 初等變換 列 行 施行對 由此可以看出 利用矩陣的初等變換求歐氏空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 比較簡單而且 n R 操作方便 四 小結(jié)四 小結(jié) 本文介紹了矩陣的初等變換在解決線性代數(shù)的有關(guān)問題中所具有的特殊作用 特別地 我們論述了矩陣的初等變換在求矩陣的秩 向量組的極大線性無關(guān)組 解線性方程組以及 求標(biāo)準(zhǔn)正交基等問題中的應(yīng)用 并給出了部分例子 可以看出 利用矩陣初等變換在處理 相應(yīng)問題問題時具有簡單 快速 易于操作等特點 值得注意的是 矩陣的初等變換共有 六種 當(dāng)我們處理不同的問題時 可能使用初等變換的種類會不一樣 如在本文中我們發(fā) 現(xiàn) 在求向量組的極大線性無關(guān)組時只用了三種類型 而求矩陣的初等變換時卻可以用六 種初等變換 因此 我們在具體使用時要靈活應(yīng)用 實質(zhì)上 利用矩陣的初等變換還可以 得到解決求矩陣的逆 特征值與特征向量 二次型的標(biāo)準(zhǔn)型等問題的有效方法 當(dāng)然 我 們在學(xué)習(xí)中可能還會發(fā)現(xiàn)利用矩陣的初等變換來解決有關(guān)問題的典型例子 這也是值得我 們進(jìn)一步探討的一個問題 參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn) 1 1 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)小組 高等代數(shù) 高教出版社 1988 年 3 月 2 2 張小紅 蔡秉徒 高等代數(shù)專題研究選