【志鴻全優(yōu)設計】2013-2014學年高中數(shù)學 第一章§2.2分層抽樣與系統(tǒng)抽樣導學案 北師大版必修3

1 2 22 2 分層抽樣與系統(tǒng)抽樣分層抽樣與系統(tǒng)抽樣 1 理解分層抽樣與系統(tǒng)抽樣的概念 2 通過對實例的分析 了解分層抽樣與系統(tǒng)抽樣的方法 1 分層抽樣 1 定義 將總體按其 分成若干類型 有時稱作層 然后在每個類型中按照 隨機抽取一定的樣本 這種抽樣方法通常叫作分層抽樣 有時也稱為類型抽樣 2 分層抽樣的步驟 分層 按某種 將總體分成若干部分 層 按 確定每層抽取個體的個數(shù) 各層分別按簡單隨機抽樣或其他的抽樣方法抽取樣本 綜合每層抽樣 組成樣本 應用分層抽樣應遵循以下要求 1 分層 將相似的個體歸入一類 即為一層 分層要求每層的各個個體互不交叉 即 遵循不重復 不遺漏的原則 即保證樣本結構與總體結構的一致性 2 分層抽樣為保證每個個體等可能入樣 需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣 每層樣 本數(shù)量與該層個體數(shù)量的比與樣本容量與總體容量的比相等 3 當總體個體差異明顯時 采用分層抽樣 做一做 1 1 某社區(qū)有 500 戶家庭 其中高收入家庭 125 戶 中等收入家庭 280 戶 低收入家庭 95 戶 為了調查社會購買力的某項指標 要從中抽取一個容量為 100 的樣本 應采用的抽樣方法是 A 簡單隨機抽樣 B 分層抽樣 C 系統(tǒng)抽樣 D 分類抽樣 做一做 1 2 當前 國家正分批修建經(jīng)濟適用房以解決低收入家庭住房緊張的問 題 已知甲 乙 丙三個社區(qū)現(xiàn)分別有低收入家庭 360 戶 270 戶 180 戶 若第一批經(jīng)濟 適用房中有 90 套住房用于解決這三個社區(qū)中 90 戶低收入家庭的住房問題 則應從甲社區(qū) 中抽取低收入家庭的戶數(shù)為 A 40 B 30 C 20 D 36 2 系統(tǒng)抽樣 1 定義 將總體中的個體進行編號 等距分組 在第一組中 按照 抽取第 一個樣本 然后按 稱為抽樣距 抽取其他樣本 這種抽樣方法稱為系統(tǒng)抽樣 有 時也叫等距抽樣或機械抽樣 2 注意 編號時要隨機編號 否則抽取的樣本代表性差 3 系統(tǒng)抽樣的步驟 采用隨機抽樣的方法將總體中的N個個體 確定分段間隔k k N N 將整體按編號進行分段 組 在第 段用簡單隨機抽樣確定起始個體的編號l l N N 0 l k 按照一定的規(guī)則抽取樣本 通常是將起始編號l 上間隔k得到第 2 個個體編 號l k 再加上k得到第 3 個個體編號l 2k 這樣繼續(xù)下去 直到獲取整個樣本 系統(tǒng)抽樣的特征 1 當總體中個體無差異且個體數(shù)目較大時 采用系統(tǒng)抽樣 2 將總體分成均衡的若干部分指的是 將總體分段 分段的間隔要求相等 因此 系 2 統(tǒng)抽樣又稱等距抽樣 間隔一般為k Error 表示不超過Error N n 3 預先制定的規(guī)則指的是 在第一段內采用簡單隨機抽樣確定一個起始編號 在此編 號的基礎上加上分段間隔的整倍數(shù)即為抽樣編號 做一做 2 1 下列抽樣試驗中 最適宜用系統(tǒng)抽樣法的是 A 某市的 4 個區(qū)共有 2 000 名學生 且 4 個區(qū)的學生人數(shù)之比為 3 2 8 2 從中 抽取 200 人入樣 B 從某廠生產(chǎn)的 2 000 個電子元件中隨機抽取 5 個入樣 C 從某廠生產(chǎn)的 2 000 個電子元件中隨機抽取 200 個入樣 D 從某廠生產(chǎn)的 20 個電子元件中隨機抽取 5 個入樣 做一做 2 2 一個總體中有 1 000 個個體 現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣抽取一個容量為 100 的樣 本 則編號后 按從小到大的編號順序平均分成 組 每組有 個個 體 1 系統(tǒng)抽樣中如何對總體中的每個個體進行合理分段 剖析 系統(tǒng)抽樣操作的要領是先將個體數(shù)較多的總體分成均衡的若干部分 然后 按照 預先制定的規(guī)則 從每一部分中抽取 1 個個體 得到所需樣本 由于抽樣的間隔相等 因 此系統(tǒng)抽樣又稱為等距抽樣 或叫機械抽樣 所以系統(tǒng)抽樣中必須對總體中的每個個體進 行合理 即等距 分段 若從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本 用系統(tǒng)抽樣時 應先將總體中的各個個 體編號 再確定分段間隔k 以便對總體進行分段 當 是整數(shù)時 取k 為分段間隔即可 如N 100 n 20 則分段間隔k 5 N n N n 100 20 也就是將 100 個個體平均每 5 個分為一段 組 當 不是整數(shù)時 應先從總體中隨機剔除一些個體 使剩余個體數(shù)N 能被n整除 這 N n 時分段間隔k 如N 101 n 20 則應先用簡單隨機抽樣從總體中剔除 1 個個體 N n 使剩余的總體容量 即 100 能被 20 整除 從而得出分段間隔k 5 也就是說 只需 100 20 將 100 個個體平均分為 20 段 組 一般地 用簡單隨機抽樣的方法從總體中剔除部分個體 其個數(shù)為總體中的 個體數(shù)除 以樣本容量所得的余數(shù) 上述過程中 總體中的每個個體被取出 或被剔除 的可能性相等 也就是每個個體不 被選取 或不被剔除 的可能性也相等 所以在整個抽樣過程中每個個體被抽取的機會仍然 都相等 這說明使用系統(tǒng)抽樣法抽取樣本的過程是公平的 2 分層抽樣中各層入樣的個體數(shù)應如何確定 剖析 當總體由差異明顯的幾部分組成時 應將總體分成互不交叉的幾部分 其中所 分成的每一部分叫層 然后按照各部分所占的比例 從各部分中獨立抽取一定數(shù)量的個體 再將各部分抽出的個體合在一起作為樣本 這就是分層抽樣 由于層與層之間有明顯的區(qū)別 而層內個體間差異不明顯 為了使樣本更能充分地反 映總體的情況 抽取樣本時 必須照顧到各個層的個體 所以每層中所抽取的個體數(shù)應按 各層個體數(shù)在總體中所占的比例抽取 也就是各層抽取的比例都等于樣本容量在總體中的 比例 即抽樣比 這樣抽取能使所得到的樣本結構與總體結構相同 可以提高樣 樣本容量 總體容量 本對總體的代表性 在實際操作時 應先計算出抽樣比k 再按抽樣比確定每層需要抽取的個 樣本容量 總體容量 3 體數(shù) 抽樣比 該層個體數(shù)目 該層個體數(shù)目 樣本容量 總體容量 題型一 分層抽樣中的計算問題 例題 1 某校共有師生 1 600 人 其中教師有 100 人 現(xiàn)用分層抽樣的方法 從所 有師生中抽取一個容量為 80 的樣本 則抽取的學生數(shù)為 反思 一個總體中有m個個體 用分層抽樣方法從中抽取一個容量為n n m 的樣本 某層中含有x x m 個個體 在該層中抽取的個體數(shù)目為y 則有 y 該等式中含有四 nx m 個量 已知其中任意三個量 就能求出第四個量 題型二 分層抽樣的應用 例題 2 某電視臺在因特網(wǎng)上就觀眾對某一節(jié)目的喜愛程度進行調查 參加調查的 總人數(shù)為 12 000 人 其中持各種態(tài)度的人數(shù)如下表所示 很喜愛喜愛一般不喜愛 2 4354 5673 9261 072 電視臺為了進一步了解觀眾的具體想法和意見 打算從中再抽取 60 人進行更為詳細的 調查 應怎樣進行抽樣 分析 人數(shù)多 差異大分層抽樣確定每層抽取比例在各層中分別抽取 合在一起得樣本 反思 在分層抽樣的過程中 為了保證每個個體被抽到的可能性是相同的 這就要求 各層所抽取的個體數(shù)與該層所包含的個體數(shù)之比等于樣本容量與總體的個體數(shù)之比 題型三 為整數(shù)的系統(tǒng)抽樣問題 N n 例題 3 為了了解某地區(qū)今年高一學生期末考試的數(shù) 學成績 打算從參加考試的 15 000 名學生的數(shù)學成績中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取容量為 150 的樣本 請寫出抽取過程 分析 按照系統(tǒng)抽樣的步驟進行 反思 當總體容量n能被樣本容量N整除時 分段間隔k 當用系統(tǒng)抽樣抽取樣本 N n 時 通常是將起始數(shù)s加上間隔k得到第 2 個個體編號s k 再加k得到第 3 個個體編號 s 2k 依次進行下去 直到獲取整個樣本 題型四 不是整數(shù)的系統(tǒng)抽樣問題 N n 例題 4 從某廠生產(chǎn)的 802 輛轎車中抽取 80 輛測試某項性能 請合理選擇抽樣方法 進行抽樣 并寫出抽樣過程 分析 總體特點 采用系統(tǒng)抽樣 間隔不為整數(shù) 剔除2個個體 系統(tǒng)抽樣樣本 反思 當總體容量不能被樣本容量整除時 可以先從總體中隨機剔除幾個個體 但要 注意的是剔除過程必須是隨機的 也就是總體中的每個個體被剔除的機會均等 剔除幾個 個體后使總體中剩余的個體能被樣本容量整除 然后再按系統(tǒng)抽樣方法抽取樣本 題型五 易錯辨析 例題 5 要從某學校的10 013 名學生中抽取 100 名進行健康檢查 采用何種抽樣方 法較好 并寫出過程 錯解 由于總體個數(shù)為 10 013 數(shù)量較大 而且都是學生 差別不大 因而應該采用 系統(tǒng)抽樣 具體過程如下 由系統(tǒng)抽樣的步驟先分為 100 段 其中前 87 段每段 100 人 后 13 段每段 101 人 再在第一段中用簡單隨機抽樣確定起始個體編號l 最后將 l 100 l 200 l 9 913 分別抽出得第 2 3 100 組中的編號 從而獲得整個 樣本 錯因分析 上面的解法違背了系統(tǒng)抽樣的等距均分原理 抽出的個體不都是處在每段 的同一位置上 前 87 段與后 13 段各自處的位置不一樣 導致抽樣的不公平性 所以解法 4 是錯誤的 必須先要隨機地剔除 13 人 1 下列問題中 最適合用分層抽樣抽取樣本的是 A 從 10 名同學中抽取 3 人參加座談會 B 某社區(qū)有 300 戶家庭 其中高收入的家庭 75 戶 中等收入的家庭 180 戶 低收入 的家庭 45 戶 為了了解生活購買力的某項指標 要從中抽取一個容量為 50 戶的樣本 C 從 1 000 名工人中 抽取 100 人調查上班途中所用的時間 D 從生產(chǎn)流水線上 抽取樣本檢查產(chǎn)品質量 2 2011 西安市一中月考 1 我校在檢查學生作業(yè)時 抽出每班學號尾數(shù)為 5 的學生作 業(yè)進行檢查 這里運用的是 A 分層抽樣 B 抽簽抽樣 C 隨機抽樣 D 系統(tǒng)抽樣 3 2012 江蘇高考 2 某學校高一 高二 高三年級的學生人數(shù)之比為 3 3 4 現(xiàn)用 分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學生中抽取容量為 50 的樣本 則應從高二年級抽取 名學生 4 若總體中含有 1 645 個個體 采用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取容量為 35 的樣本 則編 號后確定編號分為 段 分段間隔k 每段有 個個體 5 某學校有在編人員 200 人 其中行政人員 20 人 教師 140 人 后勤人員 40 人 教 育部門為了解學校機構改革意見 要從中抽取一個容量為 20 的樣本 試確定用何種方法抽 樣 并寫出抽樣過程 答案 答案 基礎知識 梳理 1 1 屬性特征 所占比例 2 特征 所占比例 做一做 1 1 B 做一做 1 2 A 抽樣比是 則應從甲社區(qū)中抽取低收入家庭的 90 360 270 180 1 9 戶數(shù)為 360 40 1 9 2 1 簡單隨機抽樣 分組的間隔 3 編號 一 加 做一做 2 1 C 做一做 2 2 100 10 典型例題 領悟 例題 1 75 抽樣比為 該校有學生 1 600 100 1 500 人 則抽取的學 80 1 600 1 20 5 生數(shù)為 1 500 75 1 20 例題 2 解 解 采用分層抽樣的方法 抽樣比為 60 12 000 很喜愛 的有 2 435 人 應抽取 2 435 12 人 60 12 000 喜愛 的有 4 567 人 應抽取 4 567 23 人 60 12 000 一般 的有 3 926 人 應抽取 3 926 20 人 60 12 000 不喜愛 的有 1 072 人 應抽取 1 072 5 人 60 12 000 因此 采用分層抽樣的方法在 很喜愛 喜愛 一般 不喜愛 的人中分別抽 取 12 人 23 人 20 人和 5 人 例題 3 解 解 1 對全體學生的數(shù)學成績進行編號 1 2 3 15 000 2 分段 由于樣本容量與總體容量的比是 1 100 所以我們將總體平均分為 150 個 部分 其中每一部分包括 100 個個體 3 在第一部分即 1 號到 100 號用簡單隨機抽樣抽取一個號碼 比如是 56 4 以 56 作為起始數(shù) 再順次抽取 156 256 356 14 956 這樣就得到一個容量 為 150 的樣本 例題 4 解 解 由于總體及樣本中的個體數(shù)較多 且無明顯差異 因此采用系統(tǒng)抽樣 的方法 步驟如下 第一步 先從 802 輛轎車中剔除 2 輛轎車 剔除方法可用隨機數(shù)法 第二步 將余下的 800 輛轎車編號為 1 2 800 并均勻分成 80 段 每段含k 10 個個體 800 80 第三步 從第 1 段即 1 2 10 這 10 個編號中 用簡單隨機抽樣的方法抽取一個號 如 5 作為起始號 第四步 從 5 開始 再將編號為 15 25 795 的個體抽出 得到一個容量為 80 的 樣本 例題 5 正解 正解 由于總體個數(shù)為 10 013 數(shù)量較大 而且都是學生 差別不大 因 而應采用系統(tǒng)抽樣法 具體過程如下 由系統(tǒng)抽樣的步驟可知編號分段時 10 013 100 不為整數(shù) 先從總體中隨機剔除 13 人 再按如下步驟操作 采用隨機的方式將總體中的個體編號為 1 2 3 10 000 把總體分成 100 段 每段 100 人 10 000 100 在第一段中用簡單隨機抽樣確定起始個體的編號l 將l 100 l 200 l 9 900 分別抽出得到第 2 3 100 組中的各個編號 從而獲得整個樣本 隨堂練習 鞏固 1 B 2 D 3 15 根據(jù)分層抽樣的特點 可得高二年級學生人數(shù)占學生總人數(shù)的 因此在樣本 3 10 中 高二年級的學生所占比例也應該為 故應從高二年級抽取 50 15 名 學生 3 10 3 10 4 35 47