2011屆高考數(shù)學第一輪復習 7.2等差數(shù)列學案（老師版） 新人教版

7 27 2 等差數(shù)列等差數(shù)列 一 學習目標 一 學習目標 等差數(shù)列的概念 性質及前 n 項和求法 二 自主學習 二 自主學習 課前檢測課前檢測 1 20102010 年東城期末年東城期末 2020 設數(shù)列 n a的前n項和為 n S 已知5a1 1 3n nn aS n N 設3n nn bS 求數(shù)列 n b的通項公式 解 解 依題意 11 3n nnnn SSaS 即 1 23n nn SS 由此得 1 1 32 3 nn nn SS 因此 所求通項公式為 nn nn 23 Sb 2 設數(shù)列 n a是遞增等差數(shù)列 前三項的和為12 前三項的積為48 則它的首項為 2 3 已知等差數(shù)列 n a的公差0d 且 139 a a a成等比數(shù)列 則 139 2410 aaa aaa 13 16 考點梳理考點梳理 1 1 在解決等差數(shù)列問題時 如已知 a1 an d n S n 中任意三個 可求其余兩個 2 2 補充的一條性質補充的一條性質 1 項數(shù)為奇數(shù)21n 的等差數(shù)列有 1 sn sn 奇 偶 n ssaa 奇偶中 21 21 nn sna 2 項數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列有 1 n n sa sa 奇 偶 ssnd 偶奇 21 nnn sn aa 3 3 等差數(shù)列的判定 等差數(shù)列的判定 an 為等差數(shù)列 數(shù) 缺常數(shù)項的 二次函 的 一次函數(shù) 關于 定義 BnAnS nBAna aaa daa n n nnn nn 2 21 1 2 即 2 2 11n1n Nnnaaaddaaa nnnn 為常數(shù) BnAnsbkna nn 2 4 4 三個數(shù)成等差可設 三個數(shù)成等差可設 a a d a 2d或a d a a d 四個數(shù)成等差可設 四個數(shù)成等差可設 a 3d a d a d a 3d 5 5 等差數(shù)列與函數(shù) 等差數(shù)列與函數(shù) 1 1 等差數(shù)列通項公式與一次函數(shù)的關系 從函數(shù)的角度考查等差數(shù) 列的通項公式 an a1 n 1 d d n a1 d an是關于 n 的一次式 從圖像上看 表示等差 數(shù)列的各點 n n a 均勻排列在一條直線上 由兩點確定一條直線的性質 不難得出 任 兩項可以確定一個等差數(shù)列 k d 1 1 n aan d mn aa mn 由此聯(lián)想點列 n an 所在直線 的斜率 2 2 點 S n n 在沒有常數(shù)項的二次函數(shù) 2 n Spnqn 上 其中 公差不為 0 6 6 等差數(shù)列前等差數(shù)列前 n n 項和最值的求法 結合二次函數(shù)的圖象與性質理解 項和最值的求法 結合二次函數(shù)的圖象與性質理解 1 若等差數(shù)列 n a的首項 1 0a 公差0d 則前n項和 n S有最大值 若已知通項 n a 則 n S最大 1 0 0 n n a a 若已知 2 n Spnqn 則當n取最靠近 2 q p 的非零自然數(shù)時 n S最大 2 若等差數(shù)列 n a的首項 1 0a 公差0d 則前n項和 n S有最小值 若已知通項 n a 則 n S最小 1 0 0 n n a a 若已知 2 n Spnqn 則當n取最靠近 2 q p 的非零自然數(shù)時 n S最小 7 7 等差數(shù)列的定義 通項公式 求和公式 性質等等差數(shù)列的定義 通項公式 求和公式 性質等 等 差 數(shù) 列 定義 an 為等差數(shù)列 an 1 an d 常數(shù) n N 2an an 1 an 1 n 2 n N 通項公式 1 n a 1 a n 1 d k a n k d n a dn 1 a dbkn 2 推廣 an am n m d 3 變式 a1 an n 1 d d 1 1 n aan d mn aa mn 由此聯(lián)想點列 n an 所在直線的斜率 求和公式 1 nBnA 2 22 1 2 S 2 1 2 1 1 n d an d d nn na aan n n 2 變式 2 1n aa n Sn n aaa n 21 a1 n 1 2 d an n 1 2 d 等差中項 1 等差中項 若a b c成等差數(shù)列 則b稱a與c的等差中項 且b 2 ca a b c成等差數(shù)列是 2b a c的充要條件 2 推廣 2 n a mnmn aa 1 1 mnlk mnlkaaaa 反之不一定成立 特別地 當 2mnp 時 有2 mnp aaa 特例 a1 an a2 an 1 a3 an 2 2 2 下標成等差數(shù)列且公差為m的項ak ak m ak 2m 組成的數(shù)列仍為等差 數(shù)列 公差為md 3 3 nnnnn sssss 232 成等差數(shù)列 4 4 1 1 nm nm aa n aa d nmn 為遞增數(shù)列 n a0d 為常數(shù)列 n a0d 重 要 性 質 5 5 增 減 性 為遞減數(shù)列 n a0d 1 1 an am n m d 2 2 若數(shù)列 an 是公差為d的等差數(shù)列 則數(shù)列 an b b為常數(shù) 是 公差為 d的等差數(shù)列 若 bn 也是公差為d的等差數(shù)列 則 1an 2bn 1 2為常數(shù) 也是等差數(shù)列且公差為 1d 2d 其 它 性 質 3 3 an an b 即 an是 n 的一次型函數(shù) 系數(shù) a 為等差數(shù)列的公差 Sn an2 bn 即 Sn是 n 的不含常數(shù)項的二次函數(shù) 三 合作探究 三 合作探究 題型題型 1 1 等差數(shù)列的基本運算等差數(shù)列的基本運算 例例 1 1 在等差數(shù)列 an 中 1 已知 a15 10 a45 90 求 a60 2 已知 S12 84 S20 460 求 S28 3 已知 a6 10 S5 5 求 a8和 S8 解解 1 方法一 3 8 3 82 9044 1014 1 145 115 d a daa daa a60 a1 59d 130 方法 2 3 8 1545 1545 aa mn aa d mn an am n m d a60 a45 60 45 d 90 15 3 8 130 2 不妨設 Sn An2 Bn 17 2 4602020 841212 2 2 B A BA BA Sn 2n2 17n S28 2 282 17 28 1092 3 S6 S5 a6 5 10 15 又 S6 2 10 6 2 6 161 aaa 15 2 10 6 1 a 即 a1 5 而 d 3 16 16 aa a8 a6 2 d 16 S8 44 2 8 81 aa 變式訓練變式訓練 1 1 設 an 為等差數(shù)列 Sn為數(shù)列 an 的前n項和 已知S7 7 S15 75 Tn為數(shù)列 n Sn 的前n項和 求Tn 解 解 設等差數(shù)列 an 的公差為d 則Sn na1 2 1 n n 1 d S7 7 S15 75 7510515 7217 1 1 da da 即 5 7 13 1 1 da da 解得a1 2 d 1 n Sn a1 2 1 n 1 d 2 2 1 n 1 2 5 n 1 1 n Sn n Sn 2 1 數(shù)列 n Sn 是等差數(shù)列 其首項為 2 公差為 2 1 Tn 4 1 n2 4 9 n 小結與拓展 小結與拓展 基本量的思想 常設首項 公差及首項 公比為基本量 借助于消元思想及 解方程組思想等 等差數(shù)列中 已知五個元素a1 an n d Sn中的任意三個 便可求出 其余兩個 題型 2 等差數(shù)列的判定與證明 例例 2 2 已知數(shù)列 an 滿足 2an 1 an an 2 n N 它的前n項和為Sn 且a3 5 S6 36 求數(shù)列 an 的通項公式 解 解 2an 1 an an 2 an 是等差數(shù)列 設 an 的首項為a1 公差為d 由a3 5 S6 36 得Error 解得a1 1 d 2 an 2n 1 變式訓練變式訓練 2 2 在數(shù)列 an 中 a1 1 an 1 2an 2n 設bn 證明 數(shù)列 bn 是等差 an 2n 1 數(shù)列 證明 證明 由已知 an 1 2an 2n得 bn 1 1 bn 1 an 1 2n 2an 2n 2n an 2n 1 又 b1 a1 1 因此 bn 是首項為 1 公差為 1 的等差數(shù)列 小結與拓展 小結與拓展 證明數(shù)列 an 是等差數(shù)列的兩種基本方法是 1 利用定義 證明 an an 1 n 2 為常數(shù) 2 利用等差中項 即證明 2an an 1 an 1 n 2 題型題型 3 3 等差數(shù)列的性質等差數(shù)列的性質 例例 3 3 設等差數(shù)列 n a的首項及公差均是正整數(shù) 前n項和為 n S 且 1 1a 4 6a 3 12S 則 2010 a 答案 答案 4020 變式訓練變式訓練 3 3 在等差數(shù)列 an 中 已知 log2 a5 a9 3 則等差數(shù)列 an 的前 13 項的和 S13 答案 答案 52 解解 log2 a5 a9 3 a5 a9 23 8 S13 52 13 a1 a13 2 13 a5 a9 2 13 8 2 小結與拓展 小結與拓展 解決等差 比 數(shù)列的問題時 通?？紤]兩類方法 基本量法 即運用條 件轉化成關于a1和d q 的方程 巧妙運用等差 比 數(shù)列的性質 如下標和的性質 子數(shù)列的性質 和的性質 一般地 運用數(shù)列的性質 可化繁為簡 題型題型 4 4 等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項和及最值問題項和及最值問題 例例 4 4 設等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 已知a3 12 S12 0 S13 0 1 求公差d的取值范圍 2 指出S1 S2 S3 S12中哪一個最大 并說明理由 解 解 1 a3 12 a1 12 2d 解得a12 12 9d a13 12 10d 由S12 0 S13 0 即 2 12 121 aa 0 且 2 13 131 aa 0 解之得 7 24 d 3 2 易知a7 0 a6 0 故S6最大 變式訓練變式訓練 4 4 20102010 福建理數(shù)福建理數(shù) 3 3 設等差數(shù)列 n a的前 n 項和為 n S 若 1 11a 46 6aa 則當 n S取最小值時 n 等于 A A 6 B 7 C 8 D 9 解析解析 設該數(shù)列的公差為d 則 461 282 11 86aaadd 解得2d 所以 22 1 11212 6 36 2 n n n Snnnn 所以當6n 時 n S取最小值 命題意圖命題意圖 本題考查等差數(shù)列的通項公式以及前 n 項和公式的應用 考查二次函數(shù)最值 的求法及計算能力 小結與拓展 小結與拓展 等差數(shù)列的前n項和為 n S 在0 d時 有最大值 如何確定使 n S取最大值 時的n值 有兩種方法 一是求使0 0 1 nn aa 成立的n值 二是由 n d an d Sn 2 2 1 2 利用二次函數(shù)的性質求n的值 四 歸納與總結 以學生為主 師生共同完成 四 歸納與總結 以學生為主 師生共同完成 1 巧用性質 減少運算量 在等差 等比數(shù)列的計算中非常重要 但用 基本量法 并 樹立 目標意識 需要什么 就求什么 既要充分合理地運用條件 又要時刻注意題的 目標 往往能取得與 巧用性質 解題相同的效果 2 等差數(shù)列 an 中 當a1 0 d 0 時 數(shù)列 an 為遞增數(shù)列 Sn有最小值 當 a1 0 d 0 時 數(shù)列 an 為遞減數(shù)列 Sn有最大值 當d 0 時 an 為常數(shù)列 3 注意方程思想 整體思想 分類討論思想 數(shù)形結合思想的運用 四 課堂總結 以學生為主 師生共同完成 四 課堂總結 以學生為主 師生共同完成 以學生為主 師生共同完成 以學生為主 師生共同完成 1 巧用性質 減少運算量 在等差 等比數(shù)列的計算中非常重要 但用 基本量法 并 樹立 目標意識 需要什么 就求什么 既要充分合理地運用條件 又要時刻注意題的 目標 往往能取得與 巧用性質 解題相同的效果 2 等差數(shù)列 an 中 當a1 0 d 0 時 數(shù)列 an 為遞增數(shù)列 Sn有最小值 當 a1 0 d 0 時 數(shù)列 an 為遞減數(shù)列 Sn有最大值 當d 0 時 an 為常數(shù)列 3 注意方程思想 整體思想 分類討論思想 數(shù)形結合思想的運用 五 檢測鞏固 五 檢測鞏固 1 有四個數(shù) 其中前三個數(shù)成等差數(shù)列 后三個數(shù)成等比數(shù)列 且第一個數(shù)與第四個數(shù)的 和是16 第二個數(shù)與第三個書的和是12 求這四個數(shù) 解 設這四個數(shù)為 2 ad ad a ad a 則 2 16 212 ad ad a ad 解得 4 8 a d 或 9 6 a d 所以所求的四個數(shù)為 4 4 12 36 或15 9 3 1 2 由正數(shù)組成的等比數(shù)列 n a 若前2n項之和等于它前2n項中的偶數(shù)項之和的 11 倍 第 3 項與第 4 項之和為第 2 項與第 4 項之積的 11 倍 求數(shù)列 n a的通項公式 解 當1q 時 得 11 211nana 不成立 1q 22 11 2 233 1111 1 11 1 11 11 nn aqa qq qq a qa qa q a q 由 得 1 10 q 代入 得 1 10a 2 1 10 n n a 說明 用等比數(shù)列前n項和公式時 一定要注意討論公比是否為 1 3 已知等差數(shù)列110 116 122 1 在區(qū)間 450 600 上 該數(shù)列有