2011屆高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 7.2等差數(shù)列學(xué)案（老師版） 新人教版

7 27 2 等差數(shù)列等差數(shù)列 一 學(xué)習(xí)目標(biāo) 一 學(xué)習(xí)目標(biāo) 等差數(shù)列的概念 性質(zhì)及前 n 項(xiàng)和求法 二 自主學(xué)習(xí) 二 自主學(xué)習(xí) 課前檢測(cè)課前檢測(cè) 1 20102010 年?yáng)|城期末年?yáng)|城期末 2020 設(shè)數(shù)列 n a的前n項(xiàng)和為 n S 已知5a1 1 3n nn aS n N 設(shè)3n nn bS 求數(shù)列 n b的通項(xiàng)公式 解 解 依題意 11 3n nnnn SSaS 即 1 23n nn SS 由此得 1 1 32 3 nn nn SS 因此 所求通項(xiàng)公式為 nn nn 23 Sb 2 設(shè)數(shù)列 n a是遞增等差數(shù)列 前三項(xiàng)的和為12 前三項(xiàng)的積為48 則它的首項(xiàng)為 2 3 已知等差數(shù)列 n a的公差0d 且 139 a a a成等比數(shù)列 則 139 2410 aaa aaa 13 16 考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理 1 1 在解決等差數(shù)列問題時(shí) 如已知 a1 an d n S n 中任意三個(gè) 可求其余兩個(gè) 2 2 補(bǔ)充的一條性質(zhì)補(bǔ)充的一條性質(zhì) 1 項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)21n 的等差數(shù)列有 1 sn sn 奇 偶 n ssaa 奇偶中 21 21 nn sna 2 項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列有 1 n n sa sa 奇 偶 ssnd 偶奇 21 nnn sn aa 3 3 等差數(shù)列的判定 等差數(shù)列的判定 an 為等差數(shù)列 數(shù) 缺常數(shù)項(xiàng)的 二次函 的 一次函數(shù) 關(guān)于 定義 BnAnS nBAna aaa daa n n nnn nn 2 21 1 2 即 2 2 11n1n Nnnaaaddaaa nnnn 為常數(shù) BnAnsbkna nn 2 4 4 三個(gè)數(shù)成等差可設(shè) 三個(gè)數(shù)成等差可設(shè) a a d a 2d或a d a a d 四個(gè)數(shù)成等差可設(shè) 四個(gè)數(shù)成等差可設(shè) a 3d a d a d a 3d 5 5 等差數(shù)列與函數(shù) 等差數(shù)列與函數(shù) 1 1 等差數(shù)列通項(xiàng)公式與一次函數(shù)的關(guān)系 從函數(shù)的角度考查等差數(shù) 列的通項(xiàng)公式 an a1 n 1 d d n a1 d an是關(guān)于 n 的一次式 從圖像上看 表示等差 數(shù)列的各點(diǎn) n n a 均勻排列在一條直線上 由兩點(diǎn)確定一條直線的性質(zhì) 不難得出 任 兩項(xiàng)可以確定一個(gè)等差數(shù)列 k d 1 1 n aan d mn aa mn 由此聯(lián)想點(diǎn)列 n an 所在直線 的斜率 2 2 點(diǎn) S n n 在沒有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù) 2 n Spnqn 上 其中 公差不為 0 6 6 等差數(shù)列前等差數(shù)列前 n n 項(xiàng)和最值的求法 結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)理解 項(xiàng)和最值的求法 結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)理解 1 若等差數(shù)列 n a的首項(xiàng) 1 0a 公差0d 則前n項(xiàng)和 n S有最大值 若已知通項(xiàng) n a 則 n S最大 1 0 0 n n a a 若已知 2 n Spnqn 則當(dāng)n取最靠近 2 q p 的非零自然數(shù)時(shí) n S最大 2 若等差數(shù)列 n a的首項(xiàng) 1 0a 公差0d 則前n項(xiàng)和 n S有最小值 若已知通項(xiàng) n a 則 n S最小 1 0 0 n n a a 若已知 2 n Spnqn 則當(dāng)n取最靠近 2 q p 的非零自然數(shù)時(shí) n S最小 7 7 等差數(shù)列的定義 通項(xiàng)公式 求和公式 性質(zhì)等等差數(shù)列的定義 通項(xiàng)公式 求和公式 性質(zhì)等 等 差 數(shù) 列 定義 an 為等差數(shù)列 an 1 an d 常數(shù) n N 2an an 1 an 1 n 2 n N 通項(xiàng)公式 1 n a 1 a n 1 d k a n k d n a dn 1 a dbkn 2 推廣 an am n m d 3 變式 a1 an n 1 d d 1 1 n aan d mn aa mn 由此聯(lián)想點(diǎn)列 n an 所在直線的斜率 求和公式 1 nBnA 2 22 1 2 S 2 1 2 1 1 n d an d d nn na aan n n 2 變式 2 1n aa n Sn n aaa n 21 a1 n 1 2 d an n 1 2 d 等差中項(xiàng) 1 等差中項(xiàng) 若a b c成等差數(shù)列 則b稱a與c的等差中項(xiàng) 且b 2 ca a b c成等差數(shù)列是 2b a c的充要條件 2 推廣 2 n a mnmn aa 1 1 mnlk mnlkaaaa 反之不一定成立 特別地 當(dāng) 2mnp 時(shí) 有2 mnp aaa 特例 a1 an a2 an 1 a3 an 2 2 2 下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為m的項(xiàng)ak ak m ak 2m 組成的數(shù)列仍為等差 數(shù)列 公差為md 3 3 nnnnn sssss 232 成等差數(shù)列 4 4 1 1 nm nm aa n aa d nmn 為遞增數(shù)列 n a0d 為常數(shù)列 n a0d 重 要 性 質(zhì) 5 5 增 減 性 為遞減數(shù)列 n a0d 1 1 an am n m d 2 2 若數(shù)列 an 是公差為d的等差數(shù)列 則數(shù)列 an b b為常數(shù) 是 公差為 d的等差數(shù)列 若 bn 也是公差為d的等差數(shù)列 則 1an 2bn 1 2為常數(shù) 也是等差數(shù)列且公差為 1d 2d 其 它 性 質(zhì) 3 3 an an b 即 an是 n 的一次型函數(shù) 系數(shù) a 為等差數(shù)列的公差 Sn an2 bn 即 Sn是 n 的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù) 三 合作探究 三 合作探究 題型題型 1 1 等差數(shù)列的基本運(yùn)算等差數(shù)列的基本運(yùn)算 例例 1 1 在等差數(shù)列 an 中 1 已知 a15 10 a45 90 求 a60 2 已知 S12 84 S20 460 求 S28 3 已知 a6 10 S5 5 求 a8和 S8 解解 1 方法一 3 8 3 82 9044 1014 1 145 115 d a daa daa a60 a1 59d 130 方法 2 3 8 1545 1545 aa mn aa d mn an am n m d a60 a45 60 45 d 90 15 3 8 130 2 不妨設(shè) Sn An2 Bn 17 2 4602020 841212 2 2 B A BA BA Sn 2n2 17n S28 2 282 17 28 1092 3 S6 S5 a6 5 10 15 又 S6 2 10 6 2 6 161 aaa 15 2 10 6 1 a 即 a1 5 而 d 3 16 16 aa a8 a6 2 d 16 S8 44 2 8 81 aa 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 1 1 設(shè) an 為等差數(shù)列 Sn為數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 已知S7 7 S15 75 Tn為數(shù)列 n Sn 的前n項(xiàng)和 求Tn 解 解 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 則Sn na1 2 1 n n 1 d S7 7 S15 75 7510515 7217 1 1 da da 即 5 7 13 1 1 da da 解得a1 2 d 1 n Sn a1 2 1 n 1 d 2 2 1 n 1 2 5 n 1 1 n Sn n Sn 2 1 數(shù)列 n Sn 是等差數(shù)列 其首項(xiàng)為 2 公差為 2 1 Tn 4 1 n2 4 9 n 小結(jié)與拓展 小結(jié)與拓展 基本量的思想 常設(shè)首項(xiàng) 公差及首項(xiàng) 公比為基本量 借助于消元思想及 解方程組思想等 等差數(shù)列中 已知五個(gè)元素a1 an n d Sn中的任意三個(gè) 便可求出 其余兩個(gè) 題型 2 等差數(shù)列的判定與證明 例例 2 2 已知數(shù)列 an 滿足 2an 1 an an 2 n N 它的前n項(xiàng)和為Sn 且a3 5 S6 36 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 解 解 2an 1 an an 2 an 是等差數(shù)列 設(shè) an 的首項(xiàng)為a1 公差為d 由a3 5 S6 36 得Error 解得a1 1 d 2 an 2n 1 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 2 2 在數(shù)列 an 中 a1 1 an 1 2an 2n 設(shè)bn 證明 數(shù)列 bn 是等差 an 2n 1 數(shù)列 證明 證明 由已知 an 1 2an 2n得 bn 1 1 bn 1 an 1 2n 2an 2n 2n an 2n 1 又 b1 a1 1 因此 bn 是首項(xiàng)為 1 公差為 1 的等差數(shù)列 小結(jié)與拓展 小結(jié)與拓展 證明數(shù)列 an 是等差數(shù)列的兩種基本方法是 1 利用定義 證明 an an 1 n 2 為常數(shù) 2 利用等差中項(xiàng) 即證明 2an an 1 an 1 n 2 題型題型 3 3 等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì) 例例 3 3 設(shè)等差數(shù)列 n a的首項(xiàng)及公差均是正整數(shù) 前n項(xiàng)和為 n S 且 1 1a 4 6a 3 12S 則 2010 a 答案 答案 4020 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 3 3 在等差數(shù)列 an 中 已知 log2 a5 a9 3 則等差數(shù)列 an 的前 13 項(xiàng)的和 S13 答案 答案 52 解解 log2 a5 a9 3 a5 a9 23 8 S13 52 13 a1 a13 2 13 a5 a9 2 13 8 2 小結(jié)與拓展 小結(jié)與拓展 解決等差 比 數(shù)列的問題時(shí) 通?？紤]兩類方法 基本量法 即運(yùn)用條 件轉(zhuǎn)化成關(guān)于a1和d q 的方程 巧妙運(yùn)用等差 比 數(shù)列的性質(zhì) 如下標(biāo)和的性質(zhì) 子數(shù)列的性質(zhì) 和的性質(zhì) 一般地 運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì) 可化繁為簡(jiǎn) 題型題型 4 4 等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項(xiàng)和及最值問題項(xiàng)和及最值問題 例例 4 4 設(shè)等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 已知a3 12 S12 0 S13 0 1 求公差d的取值范圍 2 指出S1 S2 S3 S12中哪一個(gè)最大 并說明理由 解 解 1 a3 12 a1 12 2d 解得a12 12 9d a13 12 10d 由S12 0 S13 0 即 2 12 121 aa 0 且 2 13 131 aa 0 解之得 7 24 d 3 2 易知a7 0 a6 0 故S6最大 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 4 4 20102010 福建理數(shù)福建理數(shù) 3 3 設(shè)等差數(shù)列 n a的前 n 項(xiàng)和為 n S 若 1 11a 46 6aa 則當(dāng) n S取最小值時(shí) n 等于 A A 6 B 7 C 8 D 9 解析解析 設(shè)該數(shù)列的公差為d 則 461 282 11 86aaadd 解得2d 所以 22 1 11212 6 36 2 n n n Snnnn 所以當(dāng)6n 時(shí) n S取最小值 命題意圖命題意圖 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前 n 項(xiàng)和公式的應(yīng)用 考查二次函數(shù)最值 的求法及計(jì)算能力 小結(jié)與拓展 小結(jié)與拓展 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為 n S 在0 d時(shí) 有最大值 如何確定使 n S取最大值 時(shí)的n值 有兩種方法 一是求使0 0 1 nn aa 成立的n值 二是由 n d an d Sn 2 2 1 2 利用二次函數(shù)的性質(zhì)求n的值 四 歸納與總結(jié) 以學(xué)生為主 師生共同完成 四 歸納與總結(jié) 以學(xué)生為主 師生共同完成 1 巧用性質(zhì) 減少運(yùn)算量 在等差 等比數(shù)列的計(jì)算中非常重要 但用 基本量法 并 樹立 目標(biāo)意識(shí) 需要什么 就求什么 既要充分合理地運(yùn)用條件 又要時(shí)刻注意題的 目標(biāo) 往往能取得與 巧用性質(zhì) 解題相同的效果 2 等差數(shù)列 an 中 當(dāng)a1 0 d 0 時(shí) 數(shù)列 an 為遞增數(shù)列 Sn有最小值 當(dāng) a1 0 d 0 時(shí) 數(shù)列 an 為遞減數(shù)列 Sn有最大值 當(dāng)d 0 時(shí) an 為常數(shù)列 3 注意方程思想 整體思想 分類討論思想 數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用 四 課堂總結(jié) 以學(xué)生為主 師生共同完成 四 課堂總結(jié) 以學(xué)生為主 師生共同完成 以學(xué)生為主 師生共同完成 以學(xué)生為主 師生共同完成 1 巧用性質(zhì) 減少運(yùn)算量 在等差 等比數(shù)列的計(jì)算中非常重要 但用 基本量法 并 樹立 目標(biāo)意識(shí) 需要什么 就求什么 既要充分合理地運(yùn)用條件 又要時(shí)刻注意題的 目標(biāo) 往往能取得與 巧用性質(zhì) 解題相同的效果 2 等差數(shù)列 an 中 當(dāng)a1 0 d 0 時(shí) 數(shù)列 an 為遞增數(shù)列 Sn有最小值 當(dāng) a1 0 d 0 時(shí) 數(shù)列 an 為遞減數(shù)列 Sn有最大值 當(dāng)d 0 時(shí) an 為常數(shù)列 3 注意方程思想 整體思想 分類討論思想 數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用 五 檢測(cè)鞏固 五 檢測(cè)鞏固 1 有四個(gè)數(shù) 其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列 后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列 且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的 和是16 第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)書的和是12 求這四個(gè)數(shù) 解 設(shè)這四個(gè)數(shù)為 2 ad ad a ad a 則 2 16 212 ad ad a ad 解得 4 8 a d 或 9 6 a d 所以所求的四個(gè)數(shù)為 4 4 12 36 或15 9 3 1 2 由正數(shù)組成的等比數(shù)列 n a 若前2n項(xiàng)之和等于它前2n項(xiàng)中的偶數(shù)項(xiàng)之和的 11 倍 第 3 項(xiàng)與第 4 項(xiàng)之和為第 2 項(xiàng)與第 4 項(xiàng)之積的 11 倍 求數(shù)列 n a的通項(xiàng)公式 解 當(dāng)1q 時(shí) 得 11 211nana 不成立 1q 22 11 2 233 1111 1 11 1 11 11 nn aqa qq qq a qa qa q a q 由 得 1 10 q 代入 得 1 10a 2 1 10 n n a 說明 用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí) 一定要注意討論公比是否為 1 3 已知等差數(shù)列110 116 122 1 在區(qū)間 450 600 上 該數(shù)列有