第2章《圓錐曲線與方程-2

第第2章章 圓錐曲線與方程圓錐曲線與方程 2 1 導學案導學案 教學過程教學過程 一 問題情境 2011年9月29日 中國成功發(fā)射了 天宮一號 飛行器 你知道 天宮一號 繞地球運行的 軌跡是什么嗎 二 數(shù)學建構 橢圓是物體運動的一種軌跡 物體運動的軌跡有很多 常見的還有直線 圓 拋物線 等 一個平面截一個圓錐面 當平面經(jīng)過圓錐面的頂點時 可得到兩條相交直線 當平面 與圓錐面的軸垂直時 截得的圖形是一個圓 當我們改變平面的位置時 截得的圖形也在發(fā) 生變化 請觀察圖1 圖1 對于第一種情形 可在截面的兩側分別放置一個球 使它們都與截面相切 切點分別為 F1 F2 且與圓錐面相切 兩球與圓錐面的公共點分別構成圓O1和圓O2 如圖2 圖2 設M是平面與圓錐面的截線上任一點 過點M作圓錐面的一條母線分別交圓O1和圓O2 于P Q兩點 則MP和MF1 MQ和MF2分別是上 下兩球的切線 因為過球外一點所作球的切線的長都相等 所以MF1 MP MF2 MQ 故MF1 MF2 MP MQ PQ 因為PQ VP VQ 而VP VQ是常數(shù) 分別為兩個圓錐的母線的長 所以PQ是一個常數(shù) 也就是說 截線上任意一點到兩個定點F1 F2的距離的和等于常數(shù) 通過分析 給出橢圓的概念 一般地 平面內(nèi)到兩個定點F1 F2的距離的和等于常數(shù) 大于F1F2 的點的軌跡叫做橢圓 兩個定點F1 F2叫做橢圓的焦點 兩個焦點的距離叫做橢圓的焦距 問題1 為什么常數(shù)要大于F1F2 解 因為動點與F1 F2構成三角形 三角形的兩邊之和大于第三邊 所以MF1 MF2 F 1F2 問題2 若MF1 MF2 F1F2 動點M的軌跡是什么 解 線段F1F2 問題3 若MF1 MF2F1F2 動點M的軌跡不存在 拋物線的概念 一般地 平面內(nèi)到一個定點F和到一條定直線l F不在l上 的距離相等的點的軌跡叫做拋 物線 定點F叫做拋物線的焦點 定直線l叫做拋物線的準線 說明 定點F不能在定直線l上 否則所得軌跡為過點F且與直線l垂直的一條直線 橢圓 雙曲線 拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線 三 數(shù)學運用 例1 已知定點P 0 3 和定直線l y 3 0 動圓M過點P且與直線l相切 求證 圓心 M的軌跡是一條拋物線 見學生用書P15 處理建議 讓學生仔細審題 作出圖形 再引導學生對照拋物線的定義尋找相等關 系 使問題得以解決 規(guī)范板書 證明 設圓M的半徑為r 點M到直線l的距離為d 動圓M過點P且與l相切 MP r d r MP d 而點P不在l上 由拋物線的定義知圓心M的軌跡是一條拋物線 例2 題后反思 本題要緊扣拋物線的定義 主要注意兩點 到定點的距離等于到定直線 的距離 定點不在定直線上 例2 教材第27頁習題2 1第3題 如圖 圓F1在圓F2的內(nèi)部 且點F1 F2不重合 求證 與圓F1外切且與圓F2內(nèi)切的圓的圓心C的軌跡為橢圓 見學生用書P16 處理建議 讓學生仔細審題 明確需要解決什么問題 再引導學生根據(jù)橢圓的定義 尋找 到兩定點的距離之和為定值 的關系 使問題得以解決 規(guī)范板書 證明 設圓F1 F2的半徑分別為r1 r2 動圓C的半徑為t 依題意有CF1 r1 t CF2 r2 t 消去t得CF1 CF2 r1 r2 一個大于F1F2的常數(shù) 所以動圓圓心C的軌跡是以F 1 F2為焦點的橢圓 題后反思 要證明某點的運動軌跡 可以先考慮動點是否滿足圓錐曲線的定義 本題 要緊緊抓住到兩定點的距離之和為定值的動點的軌跡是橢圓這一定義 變式1 如圖 已知動圓C與圓F1 F2均外切 圓F1與圓F2相離 試問 動點C的軌跡是 什么曲線 變式1 處理建議 從例2的解法中聯(lián)想思考 尋找動點滿足的幾何性質(zhì)是什么 規(guī)范板書 解 雙曲線的一支 證明如下 設圓F1 F2的半徑分別為r1 r2 r1 r2 動圓C的半徑為t 依題意有CF1 r1 t CF2 r2 t 消去t得CF1 CF2 r1 r2 一個小于F1F2的正數(shù) 所以動圓圓心C的軌跡是以F1 F2為焦點的 雙曲線的一支 題后反思 應引導學生學會利用圓錐曲線的定義直接得出軌跡 本題還有其他方式的 變式 當兩圓相離時 動圓與兩圓均內(nèi)切或與一圓內(nèi)切與另一圓外切 其動圓圓心的軌跡均 為雙曲線的一支 變式2 1 動圓與圓C1 x 2 y 2 1和C2 x 4 2 y 2 4都外切 則動圓圓心的軌跡是雙曲 線的一支 2 動圓與圓C1 x 2 y 2 1和C2 x 4 2 y 2 4都內(nèi)切 則動圓圓心的軌跡是雙曲線的一支 3 動圓與圓C1 x 2 y 2 1內(nèi)切 與圓C2 x 4 2 y 2 4外切 則動圓圓心的軌跡是雙曲線 的一支 4 動圓與圓C1 x 2 y 2 1外切 與圓C2 x 4 2 y 2 4內(nèi)切 則動圓圓心的軌跡是雙曲線 的一支 例3 已知圓F的方程為 x 2 2 y 2 1 動圓P與圓F外切且和y軸相切 求證 動圓的 圓心P在一條拋物線上運動 并請寫出這條拋物線的焦點坐標及準線方程 處理建議 因為要證明圓心P的軌跡是拋物線 所以可引導學生通過畫圖找到定點和 定直線 規(guī)范板書 證明 設圓P的半徑為r 它與y軸相切于T 則PF r 1 PT r 所以PF PT 1 作直線l x 1 PT的延長線交直線l于A 則PF PA 故點P到定點F的距離等于它到 直線l的距離 所以點P在以F 2 0 為焦點 直線l x 1為準線的拋物線上運動 題后反思 三種圓錐曲線的概念都與距離有關 橢圓和雙曲線的概念描述的都是點到 點的距離 拋物線的概念描述的是點到點的距離 同時還有點到線的距離 圓與直線相切 能夠聯(lián)想到拋物線的條件 變式 點P到定點F 2 0 的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1 求點P的軌跡 處理建議 引導學生考慮本題條件與哪種圓錐曲線的定義一致 規(guī)范板書 解 過點P作PT y軸 垂足為T 所以PF PT 1 作直線l x 1 PT的延 長線交直線l于A 則PF PA 故點P到定點F的距離等于它到直線l的距離 所以點P在以F 2 0 為焦點 直線l x 1為準線的拋物線上運動 題后反思 本題依然是屬于動點到定點和到定直線的距離 但不相等的問題 關鍵 是將不等關系轉化為相等關系 可以培養(yǎng)學生類比推理 歸納猜想 轉化等數(shù)學思維能力 2 四 課堂練習 1 已知雙曲線的兩個焦點分別為F1 3 0 和F2 3 0 則此雙曲線的焦距為 6 2 已知點A 0 2 B 2 0 動點M滿足 MA MB 2a a為正常數(shù) 若點M的軌跡是以A B為焦點的雙曲線 則常數(shù)a的取值范圍為 0 提示 因為AB 2 由雙曲線的定義知0 2a 2 即0 aF1F2 則QF1 QO PF1 PF2 m F1F2 F1O 所以點Q的軌跡是一個橢圓 五 課堂小結 1 圓錐曲線可通過平面截圓錐面得到 當平面經(jīng)過圓錐面的頂點時 可得到兩條相交直 線 當平面與圓錐面的軸垂直時 截得的圖形是一個圓 當平面平行于