二階線性常微分方程的冪級數解法.doc

二階線性常微分方程的冪級數解法從微分方程學中知道，在滿足某些條件下，可以用冪級數來表示一個函數。因此，自然想到，能否用冪級數來表示微分方程的解呢？例1、求方程的通解解：設為方程的解，這里是待定常系數，將它對微分兩次，有將，的表達式代入方程，并比較的同次冪的系數，得到， 或一般的可推得，其中，是任意的，因而代入設的解中可得：這個冪級數的收斂半徑是無限大的，因而級數的和（其中包括兩個任意常數及）便是所要求的通解。例6 求方程的滿足初值條件及的解。解 設級數為方程的解。首先，利用初值條件，可以得到， ，因而將，的表達式帶入原方程，合并的各同次冪的項，并令各項系數等于零，得到因而最后得 , ,對一切正整數成立。將的值代回就得到 這就是方程的滿足所給初值條件的解。是否所有方程都能按以上方式求出其冪級數解？或者說究竟方程應該滿足什么條件才能保證它的解可用冪級數來表示呢？級數的形式怎樣？其收斂區(qū)間又如何?這些問題，在微分方程解析理論中有完滿的解答，但因討論時需要涉及解析函數等較專門的知識，在此我們僅敘述有關結果而不加證明，若要了解定理的證明過程，可參考有關書籍。考慮二階齊次線性微分方程及初值條件及的情況。 不失一般性，可設 ，否則，我們引進新變量，經此變換，方程的形狀不變，在這時對應于的就是了，因此，今后我們總認為。定理10 若方程中系數和都能展成的冪級數，且收斂區(qū)間為，則方程有形如的特解，也以為級數的收斂區(qū)間。在上兩例中方程顯然滿足定理的條件，系數，和可看作是在全數軸上收斂的冪級數，故方程的解也在全數軸上收斂。但有些方程，例如階貝賽爾方程這里為非負常數，不一定是正整數，（）在此，顯然它不滿足定理10 的條件，因而不能肯定有形如的特解。但它滿足下述定理11的條件，從而具有別種形狀的冪級數解。定理11 若方程中系數，具有這樣的性質，即和均能展成的冪級數，且收斂區(qū)間為，若，則方程有形如即的特解，是一個特定的常數，級數也以為收斂區(qū)間。若，或更一般的，但，則引入記號，則，這里，而仍為待定常數。例7 求解階貝賽爾方程。解 將方程改寫成，易見，它滿足定理11的條件（和均能展成的冪級數，且收斂區(qū)間為），且，按展成的冪級數收斂區(qū)間為，由定理11，方程有形如的解，這里，而和是待定常數，將代入：中，得，把同冪次項歸在一起，上式變?yōu)榱罡黜椀南禂档扔?，得一系列的代數方程因為，故從解得的兩個值和先考慮時方程的一個特解，這時我們總可以從以上方程組中逐個地確定所有的系數。把代入以上方程組，得到，或按下標為奇數或偶數，我們分別有 從而求得 一般地 將各代入得到方程的一個解既然是求的特解，我們不妨令其中函數定義如下：當0時，；當0且非整數時，由遞推公式定義。具有性質; 為正整數而變?yōu)樽⒁獾胶瘮档男再|，即有是由貝塞爾方程定義的特殊函數，稱為階貝賽爾函數。因此，對于階貝塞爾方程，它總有一個特解。為了求得另一個與線性無關的特解，我們自然想到，求時方程的形如的解，我們注意到只要不為非負整數，像以上對于時的求解過程一樣，我們總可以求得 使之滿足中的一系列方程，因而是的一個特解。此時，若令則變?yōu)榉Q為階貝賽爾函數。 利用達朗貝爾判別法不難驗證級數和（在中）都是收斂的，因此，當不為非負整數時，和都是方程的解，而且是線性無關的，因為它們可展為由的不同冪次開始的級數，從而它們的比不可能是常數。于是方程的通解可寫為這里，是任意常數。此情形的和稱為第一類貝塞爾函數。 例8 求方程的通解。解 引入新變量，我們有 ，將上述關系代入院方程，得到，這是，的貝塞爾方程，由例7可知，方程的通解可表為，代回原來變量，就得到原方程的通解其中是任意常數。 第二宇宙速度計算 作為這一節(jié)的應用，我們計算發(fā)射人造衛(wèi)星的最小速度，即所謂第二宇宙速度。在這個速度你下,物體將擺脫地球的引力,向地球一樣繞著太陽運行,成為人造衛(wèi)星.讓我們首先建立物體垂直上拋運動的微分方程.以和分別表示地球和物體的質量.按牛頓萬有引力定律,作用于物體的引力(空氣阻力忽略不計)為這里表示地球的中心和物理體重心之間的距離，為萬有引力常數。因為，物體運動規(guī)律應滿足下面的微分方程 或這里的負號表示物體的加速度是負的。 設地球半徑為，物理發(fā)射速度為，因此，當物體剛剛離開地球表面時，我們有，即應取初值條件為方程不顯含自變量,應用4.3.1（可降階的一些方程類型）的方法，把方程降階成為一階方程 解得注意到這時初值條件為因而 因為物體運動速度必須始終保持是正的，即，而隨著的不斷增大，量變得任意小。因此，由看到