雞兔同籠類問題中的各種解法分析小匯總

雞兔同籠類問題中的各種解法分析小匯總 1 典型雞兔同籠問題詳解典型雞兔同籠問題詳解 例 1 雞兔同籠是我國古代的著名趣題 大約在 1500 年前 孫子算經(jīng) 中就記載著 今有雉兔同籠 上有三十五頭 下有九十四足 問雉兔各幾何 翻譯成通俗易懂的內(nèi) 容如下 雞兔共有 35 個頭 94 只腳 問雞兔各有多少只 經(jīng)梳理 對于這一類問題 總共有 以下幾種理解方法 1 站隊法 站隊法 讓所有的雞和兔子都列隊站好 雞和兔子都聽哨子指揮 那么 吹一聲哨子讓所有動 物抬起一只腳 籠中站立的腳 94 35 59 只 那么再吹一聲哨子 然后再抬起一只腳 這時候雞兩只腳都抬起來就一屁股坐地上了 只剩下用兩只腳站立的兔子 站立腳 59 35 24 只 兔 24 2 12 只 雞 35 12 23 只 2 松綁法 松綁法 由于兔子的腳比雞的腳多出了 2 個 因此把兔子的兩只前腳用繩子捆起來 看作是一 只腳 兩只后腳也用繩子捆起來 看作是一只腳 那么 兔子就成了 2 只腳 則捆綁后雞腳和兔腳的總數(shù) 35 2 70 只 比題中所說的 94 只要少 94 70 24 只 現(xiàn)在 我們松開一只兔子腳上的繩子 總的腳數(shù)就會增加 2 只 不斷地一個一個地松 開繩子 總的腳數(shù)則不斷地增加 2 2 2 2 一直繼續(xù)下去 直至增加 24 因此兔子數(shù) 24 2 12 只 從而雞數(shù) 35 12 23 只 3 假設(shè)替換法 假設(shè)替換法 實際上替代法的做題步驟跟上述松綁法相似 只不過是換種方式進行理解 假設(shè)籠子里全是雞 則應(yīng)有腳 70 只 而實際上多出的部分就是兔子替換了雞所形成 每一只兔子替代雞 則增加每只兔腳減去每只雞腳的數(shù)量 兔子數(shù) 實際腳數(shù) 每只雞腳數(shù) 雞兔總數(shù) 每只兔腳數(shù) 每只雞腳數(shù) 與前相似 假設(shè)籠子里全是兔 則應(yīng)有腳 120 只 而實際上不足的部分就是雞替換了 兔子所形成 每一只雞替代兔子 則減少每只兔腳減去每只雞腳的數(shù)量 即 2 只 雞數(shù) 每只兔腳數(shù) 雞兔總數(shù) 實際腳數(shù) 每只兔腳數(shù) 每只雞腳數(shù) 將上述數(shù)值代入方法 1 可知 兔子數(shù)為 12 只 再求出雞數(shù)為 23 只 將上述數(shù)值代入方法 2 可知 雞數(shù)為 23 只 再求出兔子數(shù)為 12 只 由計算值可知 兩種替代方法得出的答案完全一致 只是順序不同 由替代法的順序 不同可知 求雞設(shè)兔 求兔設(shè)雞 可以根據(jù)題目問題進行假設(shè)以減少計算步驟 4 方程法 方程法 隨著年級的增加 學(xué)生開始接觸方程思想 這個時候雞兔同籠問題運用方程思想則變 得十分簡單 第一種是一元一次方程法 解 設(shè)兔有 x 只 則雞有 35 x 只 4x 2 35 x 94 4x 70 2x 94 x 12 注 方程結(jié)果不帶單位 從而計算出雞數(shù)為 35 12 23 只 第二種是二元一次方程法 解 設(shè)雞有 x 只 兔有 y 只 則存在著二元一次方程組的關(guān)系式 x y 35 2x 4y 94 解方程式可知兔子數(shù)為 y 12 則可計算雞數(shù)為 x 23 以述四種方法就是這一典型雞兔同籠問題的四種不同理解和計算方法 在沒有接觸方 程思想之前 用前三種方式進行理解 在接觸方程思想之后 則可以用第四種方法進行學(xué) 習 2 雞兔同籠問題的衍生 非方程思想 雞兔同籠問題的衍生 非方程思想 例 2 現(xiàn)有 100 千克的水裝了共 60 個的礦泉水瓶子中 大礦泉水瓶一瓶裝 3 千克 小 礦泉水瓶 1 瓶裝 1 千克 問大 小礦泉水瓶各多少個 大小瓶共裝的 100 千克水即為總水量 對應(yīng)上一例中雞兔總共擁有的 74 只腳即為總 腳數(shù) 大礦泉水瓶 1 瓶裝 3 千克水對應(yīng)每只兔子所擁有的 4 只腳 小礦泉水瓶 1 瓶裝 1 千克 水對應(yīng)每只雞所擁有的 2 只腳 類型類型水量水量 總量 100 總數(shù) 60 多量 3 少量 1 對應(yīng)關(guān)系理清之后 按照例 1 中的方法即可求出 大礦泉水瓶子有 20 個 小礦泉水 瓶子有 40 個 具體解題過程不詳述 例 3 聰明昊參加數(shù)學(xué)競賽 共做 20 道題 得 70 分 已知做對一道題得 5 分 做錯一 道題扣 1 分 問聰明昊做對了幾道題 這一題依然與上述問題思路一致 只是少量變成了扣一分 在此提示 按照替代法進 行計算 先假設(shè)全部做對 則應(yīng)得分 100 分 而實際上卻少得了 100 70 30 分 這 30 分的差距就是因為一道錯題替換了一道正確的 每一道題進行替換就會帶來 5 1 6 分 的差值 注意一對一錯 差值是兩者的和 因此做錯了 5 道題 做對了 15 道題 在這種情況下 小量不是增加而是減少或扣時 一般先假設(shè)大量進行替換計算 例 4 現(xiàn)有 100 千克的水裝了共 60 個的礦泉水瓶子中 大礦泉水瓶 1 瓶裝 4 千克 小 礦泉水瓶 2 瓶裝 1 千克 問大 小礦泉水瓶各多少個 這道題需要認真審題 小礦泉水瓶是 2 瓶裝 1 千克 當瓶子的數(shù)目不全是單位 1 時 思路可以如下 假如能運用小數(shù) 則直接將 2 瓶裝 1 千克轉(zhuǎn)化為 1 瓶裝 0 5 千克 則變成與例 1 中所 述方式一樣 假如對小數(shù)不熟悉 則可以將 2 瓶子視為一組 則全部瓶子有 30 組 大礦泉水瓶一組裝 8 千克 小礦泉水瓶一組裝 1 千克 按照例 1 中所述方式 可以求出大小礦泉水瓶各有的組數(shù) 用組數(shù)乘以 2 則可以求出瓶數(shù) 上述 3 個問題仍然是兩個因素的比較 因而只要將問題中的因素與雞兔同籠問題中的 因素一一對應(yīng)即可計算出來 例 5 聰明昊完成工作后領(lǐng)得工資 240 元 包括 2 元 5 元 10 元三種人民幣共 50 張 其中 2 元與 5 元的張數(shù)一樣多 那么 2 元 5 元 10 元各有多少張 這一道問題相比前面的問題復(fù)雜一些 變成三個因素 但是通過審題我們發(fā)現(xiàn) 他給 出了一個條件那就是 2 元與 5 元的張數(shù)一樣多 因此 由于這兩種人民幣數(shù)量一樣多 可以將其當作一個整體進行計算 與 10 元進 行比較 因此先假設(shè)全部是 10 元的人民幣 則應(yīng)有工資 50 10 500 元 比實際多出 500 240 260 元 這多出的 260 元就是因為用 2 元與 5 元替換了 10 元 由于拿一張 5 元替換 10 元時 必定要拿一張 2 元替換 10 元 因此依然可以將 2 張 人民幣作為一組 每替換一組 工資減少 10 5 10 2 13 元 則由此可知 共替換的人民幣組數(shù) 260 13 20 組 則總共替換的人民幣張數(shù) 20 2 40 個 因而計算得出 10 元人民幣的張數(shù) 50 40 10 張 2 元和 5 元人民幣的張數(shù)分別 為 40 2 20 張 由此題可知 雖然變成了三個因素的關(guān)系 但是由于題中給出了其中兩個因素的相互 關(guān)系 因此可以將有相互關(guān)系的因素進行捆綁 從而轉(zhuǎn)化為兩個因素的計算 便與例 1 相 同 注 如果對小數(shù)比較熟悉 也可以將 2 和 5 元看成一張 3 5 元進行假設(shè)替換 需要替 換 40 張 2 元和 5 元各 20 張 小朋友可以自己思考 例 6 蜘蛛有 8 條腿 蜻蜓有 6 條腿和 2 對翅膀 蟬有 6 條腿和 1 對翅膀 現(xiàn)在這三種 小蟲共 21 只 有 140 條腿和 23 對翅膀 每種小蟲各幾只 由上述題目可知 總量分別包括了腿和翅膀兩種 其中蜘蛛 1 只有 8 腿 而單個蜻蜓 和單個蟬的腿數(shù)相同 都為 6 條 因此可以按照題 4 的方式利用腿的關(guān)系求出蜘蛛的個數(shù)以及蜻蜓與蟬的個數(shù)和 由于翅膀只有蜻蜓和蟬擁有 再次利用例 1 的思路 針對翅膀這一數(shù)量關(guān)系 可以分別計 算出蜻蜓和蟬的個數(shù) 本題答案是蜘蛛 7 只 蜻蜓 9 只 蟬 5 只 具體過程此處不詳細列出 關(guān)于雞兔同籠的第一大類型題就講到這兒 接下來進入第二大類型題 3 前文中結(jié)出的條件之一都是雞兔同籠中的總頭數(shù) 即前文中結(jié)出的條件之一都是雞兔同籠中的總頭數(shù) 即 兩數(shù)之和兩數(shù)之和 如果把條件換成 如果把條件換成 兩數(shù)之差兩數(shù)之差 又應(yīng)該怎樣去解呢 又應(yīng)該怎樣去解呢 例 7 雞兔共有 94 只腳 其中雞數(shù)比兔子數(shù)多 11 只 求問雞兔各有多少只 1 去多法 去多法 如果抓出 11 只雞殺掉 則籠子里就剩下相同數(shù)量的雞和兔子 此時 籠子中雞和兔 的腳總量為 94 11 2 72 只 每一只雞和每一只兔子共有腳 4 2 6 只 這時候 將一只雞和一只兔子看做一組 一組共有 6 只腳 則抓出雞后 籠子里剩余 的雞與兔的組數(shù)分別為 72 6 12 組 那么可知兔子有 12 只 再通過計算得出雞的數(shù)量為 12 11 23 只 2 同增同減法 同增同減法 假設(shè)籠子里有兔子 1 只 則有雞 12 只 可以計算出 1 只兔子和 12 只雞共有腳的數(shù)量 為 1 4 12 2 28 只 比實際的 94 只少 94 28 66 只 因此還要增加兔子的數(shù)量 為了保持雞比兔子多 11 只 每增加 1 只兔子 就要增加 1 只雞 8 因此需要同時增加的腿數(shù)為 4 2 6 只 因此增加 66 只腳則需要增加的雞和兔子的數(shù)量為 66 6 11 只 根據(jù)前文的假設(shè)條件可計算出兔子的數(shù)量為 1 11 12 只 雞的數(shù)量為 12 11 23 只 例 8 古詩中 五言絕句是四句詩 每句都是五個字 七言絕句是四句詩 每句都是七 個字 一本詩選集中五言絕句比七言絕句多 3 首 詩集中共有數(shù)字 300 個 問兩種類型的 詩各多少首 這道題與例 7 完全一致 只不過七言絕句對應(yīng)兔 五言絕句對應(yīng)雞 多的 13 首詩對 應(yīng)多的 11 只 因此 可以按照上述兩種思路進行計算 如果去掉 3 首五言絕句 兩種類型的詩的數(shù)量就相等 此時去掉的字數(shù)為 應(yīng)注意一 道詩 4 句 3 5 4 60 個 此時仍有字數(shù)為 300 60 240 個 1 首五言和 1 首七言絕句的字數(shù)和為 5 4 7 4 48 個 則去掉 3 首五言絕句后 仍有五言和七言絕句的數(shù)量為 240 48 5 首 從而得出七言絕句有 5 首 而計算出五言絕句共有 5 3 8 首 此外還可以按照例 7 的方法 2 完成這道題 假設(shè)七言絕句有 1 道 則五言絕句有 4 首 如此類推 此處不再說述 例 9 在例 8 的基礎(chǔ)上進行修改 假設(shè)在這一詩選集中五言絕句比七言絕句多 13 首 總字數(shù)卻反而少了 20 個字 問兩種詩各多少首 1 如果去掉 13 首五言絕句 兩種類型的詩的首數(shù)就相等 在相同數(shù)量下 七言絕句比五言絕句多出的字數(shù)個數(shù)為 五言絕句原本就差 20 再減 少了 13 首五言絕句 13 5 4 20 280 個 每首七言絕句比每首五言絕句多出的字數(shù)個數(shù)為 7 4 5 4 8 個 因此 七言絕 句的數(shù)量為 280 8 35 首 則五言絕句有 35 13 48 首 2 假設(shè)七言絕句是 1 首 那么根據(jù)相差 13 首 五言絕句是 14 首 那么五言絕句的字數(shù)為 20 14 280 個 七言絕句的字數(shù)為 28 1 28 個 假設(shè)情況下 五言絕句的字數(shù)反而多 280 28 252 個 為實現(xiàn)題目中 五言絕句比七言絕句少 20 字 需要增加詩的數(shù)量 其中每增加一首 七言絕句比五言絕句多增加字數(shù) 252 20 272 個 為了保持相差 13 首 增加一首五言絕句 也要增一首七言絕句 即增加一首 七言 比五言多增加字數(shù)數(shù)量為 7 4 5 4 8 個 因此七言絕句和五言絕句的首數(shù)要比假設(shè)增加