人教版高中數(shù)學(xué)【必修三】[知識點整理及重點題型梳理]-幾何概型-提高(1).doc

精品文檔 用心整理人教版高中數(shù)學(xué)必修三知識點梳理重點題型（?？贾R點）鞏固練習(xí)幾何概型【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解幾何概型的概念及基本特點；2.熟練掌握幾何概型中概率的計算公式；3.會進行簡單的幾何概率計算；4.能運用模擬的方法估計概率，掌握模擬估計面積的思想.【要點梳理】要點一、幾何概型1.幾何概型的概念：對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣；而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點.這里的區(qū)域可以是線段，平面圖形，立體圖形等.用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概型.2.幾何概型的基本特點：(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個；(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.3.幾何概型的概率：一般地，在幾何區(qū)域中隨機地取一點，記事件該點落在其內(nèi)部一個區(qū)域內(nèi)為事件，則事件發(fā)生的概率.說明：(1)的測度不為；(2)其中測度的意義依確定，當(dāng)分別是線段，平面圖形，立體圖形時，相應(yīng)的測度分別是長度，面積和體積.(3)區(qū)域為開區(qū)域；(4)區(qū)域內(nèi)隨機取點是指：該點落在區(qū)域內(nèi)任何一處都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只與該部分的測度成正比而與其形狀位置無關(guān).要點詮釋： 幾種常見的幾何概型(1)設(shè)線段是線段L的一部分，向線段L上任投一點，若落在線段上的點數(shù)與線段的長度成正比，而與線段在線段L上的相對位置無關(guān)，則點落在線段上的概率為：P=的長度/L的長度(2)設(shè)平面區(qū)域g是平面區(qū)域G的一部分，向區(qū)域G上任投一點，若落在區(qū)域g上的點數(shù)與區(qū)域g的面積成正比，而與區(qū)域g在區(qū)域G上的相對位置無關(guān)，則點落在區(qū)域g上概率為：P=g的面積/G的面積(3)設(shè)空間區(qū)域上v是空間區(qū)域V的一部分，向區(qū)域V上任投一點，若落在區(qū)域v上的點數(shù)與區(qū)域v的體積成正比，而與區(qū)域v在區(qū)域V上的相對位置無關(guān)，則點落在區(qū)域v上的概率為：P=v的體積/V的體積要點二、均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生 1.隨機數(shù)的概念 隨機數(shù)是在一定范圍內(nèi)隨機產(chǎn)生的數(shù)，并且得到這個范圍內(nèi)任何一個數(shù)的機會是均等的.它可以幫助我們模擬隨機試驗，特別是一些成本高、時間長的試驗，用隨機模擬的方法可以起到降低成本，縮短時間的作用.2.隨機數(shù)的產(chǎn)生方法(1)實例法.包括擲骰子、擲硬幣、抽簽、轉(zhuǎn)盤等.(2)計算器模擬法.現(xiàn)在大部分計算器的RAND函數(shù)都能產(chǎn)生01之間的均勻隨機數(shù).(3)計算機軟件法.幾乎所有的高級編程語言都有隨機函數(shù)，借用隨機函數(shù)可以產(chǎn)生一定范圍的隨機數(shù).要點詮釋：1.在區(qū)間a，b上的均勻隨機數(shù)與整數(shù)值隨機數(shù)的共同點都是等可能取值，不同點是均勻隨機數(shù)可以取區(qū)間內(nèi)的任意一個實數(shù)，整數(shù)值隨機數(shù)只取區(qū)間內(nèi)的整數(shù).2.利用幾何概型的概率公式，結(jié)合隨機模擬試驗，可以解決求概率、面積、參數(shù)值等一系列問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價值.3.用隨機模擬試驗不規(guī)則圖形的面積的基本思想是：構(gòu)造一個包含這個圖形的規(guī)則圖形作為參照，通過計算機產(chǎn)生某區(qū)間內(nèi)的均勻隨機數(shù)，再利用兩個圖形的面積之比近似等于分別落在這兩個圖形區(qū)域內(nèi)的均勻隨機點的個數(shù)之比來解決.4.利用計算機和線性變換Y=X*(b-a)a，可以產(chǎn)生任意區(qū)間a，b上的均勻隨機數(shù).【典型例題】類型一：與長度有關(guān)的幾何概型問題例1假設(shè)車站每隔10分鐘發(fā)一班車，隨機到達車站，問等車時間不超過3分鐘的概率 ？【思路點撥】以兩班車出發(fā)間隔( 0，10 )區(qū)間作為樣本空間 S，乘客隨機地到達，即在這個長度是10 的區(qū)間里任何一個點都是等可能地發(fā)生，因此是幾何概率問題.【答案】0.3【解析】 記“等車時間不超過3分鐘”為事件，要使得等車的時間不超過 3 分鐘，即到達的時刻應(yīng)該是圖中包含的樣本點，0 S 10P= 0.3 .【總結(jié)升華】在本例中，到站等車的時刻X是隨機的，可以是0到60之間的任何一刻，并且是等可能的，我們稱X服從0，60上的均勻分布，X為0，60上的均勻隨機數(shù).舉一反三：【變式1】 某汽車站每隔15 min有一輛汽車到達，乘客到達車站的時刻是任意的，求一位乘客到達車站后等車時間大于10 min的概率 【答案】 【解析】 設(shè)上一輛車于時刻T1到達，而下一輛車于時刻T2到達，線段T1T2的長度為15，設(shè)T是線段T1T2上的點，且T1T=5，T2T=10，如圖所示 記“等車時間大于10 min”為事件A，則當(dāng)乘客到達車站的時刻t落在線段T1T上時，事件A發(fā)生，區(qū)域T1T2的長度為15，區(qū)域T1T的長度為5 即乘客等車時間大于10 min的概率是【變式2】在面積為S的ABC的邊AB上任取一點P，則PBC的面積大于的概率為（ ） A B C D【答案】C【變式3】某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機，想聽電臺報時，求他等待的時間不多于10分鐘的概率【答案】 【解析】 因為電臺每隔1小時報時一次，他在0到60之間任何一個時刻打開收音機是等可能的，所以他在哪個時段打開收音機的概率只與該時間段的長度有關(guān)，這符合幾何概型的條件，因此，可以通過幾何概型的概率公式得到事件發(fā)生的概率 于是，設(shè)A=等待報時的時間不多于10分鐘事件A是打開收音機的時刻位于5060的時間段內(nèi)，因此由幾何概型求概率的公式得 即“等待報時的時間不超過10分鐘”的概率為類型二：與面積有關(guān)的幾何概型問題【幾何概型 例4】例2兩人約定在2000到2100之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，如果兩人出發(fā)是各自獨立的，在2000至2100各時刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時間內(nèi)相見的概率【思路點撥】兩人不論誰先到最多只等40分鐘，設(shè)兩人到的時間分別為x、y，則當(dāng)且僅當(dāng)時，兩人才能見面，所以此問題轉(zhuǎn)化為面積性幾何概型問題?！敬鸢浮?【解析】 設(shè)兩人分別于x時和y時到達約見地點，要使兩人能在約定時間范圍內(nèi)相見，當(dāng)且僅當(dāng)兩人到達約見地點所有時刻(x，y)的各種可能結(jié)果可用圖中的單位正方形內(nèi)(包括邊界)的點來表示，兩人能在約定的時間范圍內(nèi)相見的所有時刻(x，y)的各種可能結(jié)果可用圖中的陰影部分(包括邊界)來表示因此陰影部分與單位正方形的面積比就反映了兩人在約定時間范圍內(nèi)相遇的可能性的大小，因此所求的概率為：【總結(jié)升華】 此類問題的難點是把兩個時間分別用x，y表示，構(gòu)成平面內(nèi)的點（x，y），從而把時間這個一維長度問題轉(zhuǎn)化為平面圖形的二維面積問題，從而轉(zhuǎn)化成面積型幾何概率問題舉一反三：2aroM 【變式1】 平面上畫了一些彼此相距的平行線，把一枚半徑的硬幣任意擲在這個平面上，求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率【答案】【解析】把“硬幣不與任一條平行線相碰”的事件記為事件，為了確定硬幣的位置，由硬幣中心向靠得最近的平行線引垂線，垂足為，如圖所示，這樣線段長度（記作）的取值范圍就是，只有當(dāng)時硬幣不與平行線相碰，所以所求事件的概率就是=【變式2】甲、乙兩人相約上午10點到1l點在某地會面，先到者等候另一人15分鐘，過時就離去，那么這兩個人見面的機會多大？ 【答案】 【解析】兩個人要想見面，一個人先到達后必須等待一段時間，設(shè)x，y分別表示甲、乙到達會面地點的時間，若甲先到需等15分鐘，若乙先到也需等15分鐘，兩個人能見面必須滿足|xy|15由于每個人到達地點的時間是任意的，所以在邊長為60的正方形內(nèi)的每一點都是等可能的，所求問題就轉(zhuǎn)化為面積型的幾何概型 如圖，能見面的點的區(qū)域用陰影表示記“兩個人見面”為事件A，根據(jù)幾何概型。得 所以兩個人見面的機會是【變式3】（2015 貴州遵義一模）已知二次函數(shù) （1）若a=1，b1，1，求函數(shù)y=f（x）在1，+）上是增函數(shù)的概率；（2）設(shè)（a，b）是區(qū)域內(nèi)的隨機點，求函數(shù)y=f（x）在1，+）上的增函數(shù)的概率【思路點撥】（1）求出函數(shù)y=f（x）在1，+）上是增函數(shù)的b的范圍，利用區(qū)域長度比求概率（2）畫出區(qū)域，求出滿足條件的區(qū)域面積，利用面積比求概率【答案】（1）；（2）【解析】函數(shù)y=f（x）在1，+）上是增函數(shù)，則a0且，即a0且a2b； （1）因為a=1，則時，函數(shù)f（x）為增函數(shù)所以函數(shù)y=f（x）在1，+）上是增函數(shù)的概率；（2）由（1）知當(dāng)且僅當(dāng)a2b，且a0時，函數(shù)在區(qū)間1，+）上為增函數(shù)，依條件可知實驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為不等式組所表示的平面區(qū)域構(gòu)成所求事件的區(qū)域為圖中的陰影部分由，得交點的坐標(biāo)為，故所求事件的概率為類型三：與體積有關(guān)的幾何概型問題例3在正方體ABCDA1B1C1D1中，棱長為a，在正方體內(nèi)隨機取點M （1）求M落在三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)的概率； （2）求M落在三棱錐BA1B1C1內(nèi)的概率； （3）求M與面ABCD的距離大于的概率； （4）求M與面ABCD及面A1B1C1D1的距離都大于的概率；（5）求使四棱錐MABCD的體積小于的概率【思路點撥】此題是幾何概型問題，求各部分的體積比即可。【答案】（1）（2）（3）（4）（5） 【解析】正方體的體積為V=a3 （1），所求概率 （2），所求概率 （3） （4） （5）設(shè)M到面ABCD的距離為h，則，而，【總結(jié)升華】 求體積時要注意選擇適當(dāng)?shù)牡祝允褂嬎惴奖?，本題綜合考查了立體幾何的體積計算及幾何概型的計算舉一反三：【變式1】已知正三棱錐SABC的底面邊長為a，高為h，在正三棱錐內(nèi)取點M，試求點M到底面的距離小于的概率【答案】【解析】如圖，在SA、SB、SC上取點A1、B1、C1，使A1、B1、C1分別為SA、SB、SC的中點，則當(dāng)點M位于面ABC和面A1B1C1之間時，點M到底面的距離小于 設(shè)ABC的面積為S，由ABCA1B1C1且相似比為2，得A1B1C1的面積為由題意，三棱錐SABC的體積為，三棱臺A1B1C1ABC的體積為【變式2】在線段0，1上任意投三個點，問由0至三點的三線段，能構(gòu)成三角形與不能構(gòu)成三角形這兩個事件中哪一個事件的概率大.ABCDO【答案】【解析】設(shè)O到三點的三線段長分別為x，y，z，即相應(yīng)的右端點坐標(biāo)為x，y，z，顯然，這三條線段構(gòu)成三角形的充要條件是：.在線段0，1上任意投三點x，y，z與立方體 ，中的點一一對應(yīng)，可見所求“構(gòu)成三角形”的概率，等價于x邊長為1的立方體T中均勻地擲點，而點落在區(qū)域中的概率；這也就是落在圖中由ADC，ADB，BDC，AOC，AOB，BOC所圍成的區(qū)域G中的概率.由于 ，由此得，能與不能構(gòu)成三角形兩事件的概率一樣大.類型四：幾何概型問題在實際中的應(yīng)用例4（2015 成都武侯區(qū)模擬）如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹的棵數(shù)；乙組有一個數(shù)據(jù)模糊，用X表示（1）若x=8，求乙組同學(xué)植樹的棵數(shù)的平均數(shù)；（2）若x=9，分別從甲、乙兩組中各隨機錄取一名學(xué)生，求這兩名學(xué)生植樹總棵數(shù)為19的概率；（3）甲組中有兩名同學(xué)約定一同去植樹，且在車站彼此等候10分鐘，超過10分鐘，則各自到植樹地點再會面一個同學(xué)在7點到8點之間到達車站，另一個同學(xué)在7點半到8點之間到達車站，求他們在車站會面的概率【思路點撥】（1）直接根據(jù)平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義求出乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差（2）當(dāng)X=9時，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，共有44=16種可能，而這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19的情況有2+2=4種，由此求得兩名同學(xué)的植樹總棵樹為19的概率（3）由題意知本題是一個幾何概型，試驗包含的所有事件是=（x，y）7x8，7.5y8，做出事件對應(yīng)的集合表示的面積，寫出滿足條件的事件是A=（x，y）7x8，7.5y8，算出事件對應(yīng)的集合表示的面積，根據(jù)幾何概型概率公式得到結(jié)果【解析】（1）（2）當(dāng)x=9時，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：9，9，11，11，乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：9，8，9，10分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，共44=16種可能，其中滿足這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19的情況有2+2=4種，這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19的概率等于（3）由題意知本題是一個幾何概型，試驗包含的所有事件是=（x，y）7x8，7.5y8事件對應(yīng)的集合表示的面積是s=0.5，滿足條件的事件是A=（x，y）7x8，7.5y8，事件對應(yīng)的集合表示的面積是，他們在車站會面的概率為【總結(jié)升華】本題主要考查等可能事件的概率，莖葉圖、平均數(shù)，幾何概型問題，一般要通過把試驗發(fā)生包含的事件同集合結(jié)合起來，根據(jù)集合對應(yīng)的圖形做出面積，用面積的比值得到結(jié)算舉一反三：【變式1】甲和乙都為貨運公司工作，由于工作需要，他們都使用對講機.他們的對講機的接收范圍為25公里，在下午3：0O時甲正在基地正東距基地30公里以內(nèi)的某處向基地行駛，而乙在下午3：00時正在基地正北距基地40公里以內(nèi)的某地向基地行駛，試問在下午3：0O時他們能夠通過對講機交談的概率有多大？【答案】0.41【解析】設(shè)x和y分別代表甲和乙距基地的距離，于是則他倆所有可能的距離的數(shù)據(jù)構(gòu)成有序點對(x，y)，這里x，y都在它們各自的限制范圍內(nèi)，則所有這樣的有序數(shù)對構(gòu)成的集合即為基本事件組對應(yīng)的幾何區(qū)域，每一個幾何區(qū)域中的點都代表甲和乙的一個特定的位置，他們可以通過對講機交談的事件僅當(dāng)他們之間的距離不超過25公里時發(fā)生(如圖)，因此構(gòu)成該事件的點由滿足不等式的數(shù)對組成，此不等式等價于右圖中的方形區(qū)域代表基本事件組，陰影部分代表所求事件，方形區(qū)域的面積為1200平方公里，而事件的面積為，于是有.類型五：用隨機模擬的方法求幾何概型問題的概率例5現(xiàn)向如圖所示正方形內(nèi)隨機地投擲飛鏢，求飛鏢落在陰影部分的概率，陰影部分由直線6x3y4=0和正方形圍成 【解析】記事件A=飛鏢落在陰影部分 （1）用計算機或計算器產(chǎn)生兩組0，1上的均勻隨機數(shù)，x1=RAND，y1=RAND （2）經(jīng)過平移和伸縮變換，x=(x