人教版高中數(shù)學(xué)【必修三】[知識(shí)點(diǎn)整理及重點(diǎn)題型梳理]-幾何概型-提高(1).doc

精品文檔 用心整理人教版高中數(shù)學(xué)必修三知識(shí)點(diǎn)梳理重點(diǎn)題型（常考知識(shí)點(diǎn)）鞏固練習(xí)幾何概型【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解幾何概型的概念及基本特點(diǎn)；2.熟練掌握幾何概型中概率的計(jì)算公式；3.會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的幾何概率計(jì)算；4.能運(yùn)用模擬的方法估計(jì)概率，掌握模擬估計(jì)面積的思想.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、幾何概型1.幾何概型的概念：對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣；而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn).這里的區(qū)域可以是線段，平面圖形，立體圖形等.用這種方法處理隨機(jī)試驗(yàn)，稱為幾何概型.2.幾何概型的基本特點(diǎn)：(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè)；(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.3.幾何概型的概率：一般地，在幾何區(qū)域中隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域內(nèi)為事件，則事件發(fā)生的概率.說(shuō)明：(1)的測(cè)度不為；(2)其中測(cè)度的意義依確定，當(dāng)分別是線段，平面圖形，立體圖形時(shí)，相應(yīng)的測(cè)度分別是長(zhǎng)度，面積和體積.(3)區(qū)域?yàn)殚_(kāi)區(qū)域；(4)區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)是指：該點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)任何一處都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只與該部分的測(cè)度成正比而與其形狀位置無(wú)關(guān).要點(diǎn)詮釋： 幾種常見(jiàn)的幾何概型(1)設(shè)線段是線段L的一部分，向線段L上任投一點(diǎn)，若落在線段上的點(diǎn)數(shù)與線段的長(zhǎng)度成正比，而與線段在線段L上的相對(duì)位置無(wú)關(guān)，則點(diǎn)落在線段上的概率為：P=的長(zhǎng)度/L的長(zhǎng)度(2)設(shè)平面區(qū)域g是平面區(qū)域G的一部分，向區(qū)域G上任投一點(diǎn)，若落在區(qū)域g上的點(diǎn)數(shù)與區(qū)域g的面積成正比，而與區(qū)域g在區(qū)域G上的相對(duì)位置無(wú)關(guān)，則點(diǎn)落在區(qū)域g上概率為：P=g的面積/G的面積(3)設(shè)空間區(qū)域上v是空間區(qū)域V的一部分，向區(qū)域V上任投一點(diǎn)，若落在區(qū)域v上的點(diǎn)數(shù)與區(qū)域v的體積成正比，而與區(qū)域v在區(qū)域V上的相對(duì)位置無(wú)關(guān)，則點(diǎn)落在區(qū)域v上的概率為：P=v的體積/V的體積要點(diǎn)二、均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生 1.隨機(jī)數(shù)的概念 隨機(jī)數(shù)是在一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)，并且得到這個(gè)范圍內(nèi)任何一個(gè)數(shù)的機(jī)會(huì)是均等的.它可以幫助我們模擬隨機(jī)試驗(yàn)，特別是一些成本高、時(shí)間長(zhǎng)的試驗(yàn)，用隨機(jī)模擬的方法可以起到降低成本，縮短時(shí)間的作用.2.隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法(1)實(shí)例法.包括擲骰子、擲硬幣、抽簽、轉(zhuǎn)盤等.(2)計(jì)算器模擬法.現(xiàn)在大部分計(jì)算器的RAND函數(shù)都能產(chǎn)生01之間的均勻隨機(jī)數(shù).(3)計(jì)算機(jī)軟件法.幾乎所有的高級(jí)編程語(yǔ)言都有隨機(jī)函數(shù)，借用隨機(jī)函數(shù)可以產(chǎn)生一定范圍的隨機(jī)數(shù).要點(diǎn)詮釋：1.在區(qū)間a，b上的均勻隨機(jī)數(shù)與整數(shù)值隨機(jī)數(shù)的共同點(diǎn)都是等可能取值，不同點(diǎn)是均勻隨機(jī)數(shù)可以取區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)實(shí)數(shù)，整數(shù)值隨機(jī)數(shù)只取區(qū)間內(nèi)的整數(shù).2.利用幾何概型的概率公式，結(jié)合隨機(jī)模擬試驗(yàn)，可以解決求概率、面積、參數(shù)值等一系列問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值.3.用隨機(jī)模擬試驗(yàn)不規(guī)則圖形的面積的基本思想是：構(gòu)造一個(gè)包含這個(gè)圖形的規(guī)則圖形作為參照，通過(guò)計(jì)算機(jī)產(chǎn)生某區(qū)間內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)，再利用兩個(gè)圖形的面積之比近似等于分別落在這兩個(gè)圖形區(qū)域內(nèi)的均勻隨機(jī)點(diǎn)的個(gè)數(shù)之比來(lái)解決.4.利用計(jì)算機(jī)和線性變換Y=X*(b-a)a，可以產(chǎn)生任意區(qū)間a，b上的均勻隨機(jī)數(shù).【典型例題】類型一：與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型問(wèn)題例1假設(shè)車站每隔10分鐘發(fā)一班車，隨機(jī)到達(dá)車站，問(wèn)等車時(shí)間不超過(guò)3分鐘的概率 ？【思路點(diǎn)撥】以兩班車出發(fā)間隔( 0，10 )區(qū)間作為樣本空間 S，乘客隨機(jī)地到達(dá)，即在這個(gè)長(zhǎng)度是10 的區(qū)間里任何一個(gè)點(diǎn)都是等可能地發(fā)生，因此是幾何概率問(wèn)題.【答案】0.3【解析】 記“等車時(shí)間不超過(guò)3分鐘”為事件，要使得等車的時(shí)間不超過(guò) 3 分鐘，即到達(dá)的時(shí)刻應(yīng)該是圖中包含的樣本點(diǎn)，0 S 10P= 0.3 .【總結(jié)升華】在本例中，到站等車的時(shí)刻X是隨機(jī)的，可以是0到60之間的任何一刻，并且是等可能的，我們稱X服從0，60上的均勻分布，X為0，60上的均勻隨機(jī)數(shù).舉一反三：【變式1】 某汽車站每隔15 min有一輛汽車到達(dá)，乘客到達(dá)車站的時(shí)刻是任意的，求一位乘客到達(dá)車站后等車時(shí)間大于10 min的概率 【答案】 【解析】 設(shè)上一輛車于時(shí)刻T1到達(dá)，而下一輛車于時(shí)刻T2到達(dá)，線段T1T2的長(zhǎng)度為15，設(shè)T是線段T1T2上的點(diǎn)，且T1T=5，T2T=10，如圖所示 記“等車時(shí)間大于10 min”為事件A，則當(dāng)乘客到達(dá)車站的時(shí)刻t落在線段T1T上時(shí)，事件A發(fā)生，區(qū)域T1T2的長(zhǎng)度為15，區(qū)域T1T的長(zhǎng)度為5 即乘客等車時(shí)間大于10 min的概率是【變式2】在面積為S的ABC的邊AB上任取一點(diǎn)P，則PBC的面積大于的概率為（ ） A B C D【答案】C【變式3】某人午覺(jué)醒來(lái)，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開(kāi)收音機(jī)，想聽(tīng)電臺(tái)報(bào)時(shí)，求他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率【答案】 【解析】 因?yàn)殡娕_(tái)每隔1小時(shí)報(bào)時(shí)一次，他在0到60之間任何一個(gè)時(shí)刻打開(kāi)收音機(jī)是等可能的，所以他在哪個(gè)時(shí)段打開(kāi)收音機(jī)的概率只與該時(shí)間段的長(zhǎng)度有關(guān)，這符合幾何概型的條件，因此，可以通過(guò)幾何概型的概率公式得到事件發(fā)生的概率 于是，設(shè)A=等待報(bào)時(shí)的時(shí)間不多于10分鐘事件A是打開(kāi)收音機(jī)的時(shí)刻位于5060的時(shí)間段內(nèi)，因此由幾何概型求概率的公式得 即“等待報(bào)時(shí)的時(shí)間不超過(guò)10分鐘”的概率為類型二：與面積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題【幾何概型 例4】例2兩人約定在2000到2100之間相見(jiàn)，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，如果兩人出發(fā)是各自獨(dú)立的，在2000至2100各時(shí)刻相見(jiàn)的可能性是相等的，求兩人在約定時(shí)間內(nèi)相見(jiàn)的概率【思路點(diǎn)撥】?jī)扇瞬徽撜l(shuí)先到最多只等40分鐘，設(shè)兩人到的時(shí)間分別為x、y，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，兩人才能見(jiàn)面，所以此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為面積性幾何概型問(wèn)題?！敬鸢浮?【解析】 設(shè)兩人分別于x時(shí)和y時(shí)到達(dá)約見(jiàn)地點(diǎn)，要使兩人能在約定時(shí)間范圍內(nèi)相見(jiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)兩人到達(dá)約見(jiàn)地點(diǎn)所有時(shí)刻(x，y)的各種可能結(jié)果可用圖中的單位正方形內(nèi)(包括邊界)的點(diǎn)來(lái)表示，兩人能在約定的時(shí)間范圍內(nèi)相見(jiàn)的所有時(shí)刻(x，y)的各種可能結(jié)果可用圖中的陰影部分(包括邊界)來(lái)表示因此陰影部分與單位正方形的面積比就反映了兩人在約定時(shí)間范圍內(nèi)相遇的可能性的大小，因此所求的概率為：【總結(jié)升華】 此類問(wèn)題的難點(diǎn)是把兩個(gè)時(shí)間分別用x，y表示，構(gòu)成平面內(nèi)的點(diǎn)（x，y），從而把時(shí)間這個(gè)一維長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形的二維面積問(wèn)題，從而轉(zhuǎn)化成面積型幾何概率問(wèn)題舉一反三：2aroM 【變式1】 平面上畫(huà)了一些彼此相距的平行線，把一枚半徑的硬幣任意擲在這個(gè)平面上，求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率【答案】【解析】把“硬幣不與任一條平行線相碰”的事件記為事件，為了確定硬幣的位置，由硬幣中心向靠得最近的平行線引垂線，垂足為，如圖所示，這樣線段長(zhǎng)度（記作）的取值范圍就是，只有當(dāng)時(shí)硬幣不與平行線相碰，所以所求事件的概率就是=【變式2】甲、乙兩人相約上午10點(diǎn)到1l點(diǎn)在某地會(huì)面，先到者等候另一人15分鐘，過(guò)時(shí)就離去，那么這兩個(gè)人見(jiàn)面的機(jī)會(huì)多大？ 【答案】 【解析】?jī)蓚€(gè)人要想見(jiàn)面，一個(gè)人先到達(dá)后必須等待一段時(shí)間，設(shè)x，y分別表示甲、乙到達(dá)會(huì)面地點(diǎn)的時(shí)間，若甲先到需等15分鐘，若乙先到也需等15分鐘，兩個(gè)人能見(jiàn)面必須滿足|xy|15由于每個(gè)人到達(dá)地點(diǎn)的時(shí)間是任意的，所以在邊長(zhǎng)為60的正方形內(nèi)的每一點(diǎn)都是等可能的，所求問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為面積型的幾何概型 如圖，能見(jiàn)面的點(diǎn)的區(qū)域用陰影表示記“兩個(gè)人見(jiàn)面”為事件A，根據(jù)幾何概型。得 所以兩個(gè)人見(jiàn)面的機(jī)會(huì)是【變式3】（2015 貴州遵義一模）已知二次函數(shù) （1）若a=1，b1，1，求函數(shù)y=f（x）在1，+）上是增函數(shù)的概率；（2）設(shè)（a，b）是區(qū)域內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，求函數(shù)y=f（x）在1，+）上的增函數(shù)的概率【思路點(diǎn)撥】（1）求出函數(shù)y=f（x）在1，+）上是增函數(shù)的b的范圍，利用區(qū)域長(zhǎng)度比求概率（2）畫(huà)出區(qū)域，求出滿足條件的區(qū)域面積，利用面積比求概率【答案】（1）；（2）【解析】函數(shù)y=f（x）在1，+）上是增函數(shù)，則a0且，即a0且a2b； （1）因?yàn)閍=1，則時(shí)，函數(shù)f（x）為增函數(shù)所以函數(shù)y=f（x）在1，+）上是增函數(shù)的概率；（2）由（1）知當(dāng)且僅當(dāng)a2b，且a0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間1，+）上為增函數(shù)，依條件可知實(shí)驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椴坏仁浇M所表示的平面區(qū)域構(gòu)成所求事件的區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分由，得交點(diǎn)的坐標(biāo)為，故所求事件的概率為類型三：與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題例3在正方體ABCDA1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M （1）求M落在三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)的概率； （2）求M落在三棱錐BA1B1C1內(nèi)的概率； （3）求M與面ABCD的距離大于的概率； （4）求M與面ABCD及面A1B1C1D1的距離都大于的概率；（5）求使四棱錐MABCD的體積小于的概率【思路點(diǎn)撥】此題是幾何概型問(wèn)題，求各部分的體積比即可?！敬鸢浮浚?）（2）（3）（4）（5） 【解析】正方體的體積為V=a3 （1），所求概率 （2），所求概率 （3） （4） （5）設(shè)M到面ABCD的距離為h，則，而，【總結(jié)升華】 求體積時(shí)要注意選擇適當(dāng)?shù)牡祝允褂?jì)算方便，本題綜合考查了立體幾何的體積計(jì)算及幾何概型的計(jì)算舉一反三：【變式1】已知正三棱錐SABC的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，在正三棱錐內(nèi)取點(diǎn)M，試求點(diǎn)M到底面的距離小于的概率【答案】【解析】如圖，在SA、SB、SC上取點(diǎn)A1、B1、C1，使A1、B1、C1分別為SA、SB、SC的中點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)M位于面ABC和面A1B1C1之間時(shí)，點(diǎn)M到底面的距離小于 設(shè)ABC的面積為S，由ABCA1B1C1且相似比為2，得A1B1C1的面積為由題意，三棱錐SABC的體積為，三棱臺(tái)A1B1C1ABC的體積為【變式2】在線段0，1上任意投三個(gè)點(diǎn)，問(wèn)由0至三點(diǎn)的三線段，能構(gòu)成三角形與不能構(gòu)成三角形這兩個(gè)事件中哪一個(gè)事件的概率大.ABCDO【答案】【解析】設(shè)O到三點(diǎn)的三線段長(zhǎng)分別為x，y，z，即相應(yīng)的右端點(diǎn)坐標(biāo)為x，y，z，顯然，這三條線段構(gòu)成三角形的充要條件是：.在線段0，1上任意投三點(diǎn)x，y，z與立方體 ，中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，可見(jiàn)所求“構(gòu)成三角形”的概率，等價(jià)于x邊長(zhǎng)為1的立方體T中均勻地?cái)S點(diǎn)，而點(diǎn)落在區(qū)域中的概率；這也就是落在圖中由ADC，ADB，BDC，AOC，AOB，BOC所圍成的區(qū)域G中的概率.由于 ，由此得，能與不能構(gòu)成三角形兩事件的概率一樣大.類型四：幾何概型問(wèn)題在實(shí)際中的應(yīng)用例4（2015 成都武侯區(qū)模擬）如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹(shù)的棵數(shù)；乙組有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，用X表示（1）若x=8，求乙組同學(xué)植樹(shù)的棵數(shù)的平均數(shù)；（2）若x=9，分別從甲、乙兩組中各隨機(jī)錄取一名學(xué)生，求這兩名學(xué)生植樹(shù)總棵數(shù)為19的概率；（3）甲組中有兩名同學(xué)約定一同去植樹(shù)，且在車站彼此等候10分鐘，超過(guò)10分鐘，則各自到植樹(shù)地點(diǎn)再會(huì)面一個(gè)同學(xué)在7點(diǎn)到8點(diǎn)之間到達(dá)車站，另一個(gè)同學(xué)在7點(diǎn)半到8點(diǎn)之間到達(dá)車站，求他們?cè)谲囌緯?huì)面的概率【思路點(diǎn)撥】（1）直接根據(jù)平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義求出乙組同學(xué)植樹(shù)棵數(shù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差（2）當(dāng)X=9時(shí)，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，共有44=16種可能，而這兩名同學(xué)的植樹(shù)總棵數(shù)為19的情況有2+2=4種，由此求得兩名同學(xué)的植樹(shù)總棵樹(shù)為19的概率（3）由題意知本題是一個(gè)幾何概型，試驗(yàn)包含的所有事件是=（x，y）7x8，7.5y8，做出事件對(duì)應(yīng)的集合表示的面積，寫(xiě)出滿足條件的事件是A=（x，y）7x8，7.5y8，算出事件對(duì)應(yīng)的集合表示的面積，根據(jù)幾何概型概率公式得到結(jié)果【解析】（1）（2）當(dāng)x=9時(shí)，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹(shù)棵數(shù)是：9，9，11，11，乙組同學(xué)的植樹(shù)棵數(shù)是：9，8，9，10分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，共44=16種可能，其中滿足這兩名同學(xué)的植樹(shù)總棵數(shù)為19的情況有2+2=4種，這兩名同學(xué)的植樹(shù)總棵數(shù)為19的概率等于（3）由題意知本題是一個(gè)幾何概型，試驗(yàn)包含的所有事件是=（x，y）7x8，7.5y8事件對(duì)應(yīng)的集合表示的面積是s=0.5，滿足條件的事件是A=（x，y）7x8，7.5y8，事件對(duì)應(yīng)的集合表示的面積是，他們?cè)谲囌緯?huì)面的概率為【總結(jié)升華】本題主要考查等可能事件的概率，莖葉圖、平均數(shù)，幾何概型問(wèn)題，一般要通過(guò)把試驗(yàn)發(fā)生包含的事件同集合結(jié)合起來(lái)，根據(jù)集合對(duì)應(yīng)的圖形做出面積，用面積的比值得到結(jié)算舉一反三：【變式1】甲和乙都為貨運(yùn)公司工作，由于工作需要，他們都使用對(duì)講機(jī).他們的對(duì)講機(jī)的接收范圍為25公里，在下午3：0O時(shí)甲正在基地正東距基地30公里以內(nèi)的某處向基地行駛，而乙在下午3：00時(shí)正在基地正北距基地40公里以內(nèi)的某地向基地行駛，試問(wèn)在下午3：0O時(shí)他們能夠通過(guò)對(duì)講機(jī)交談的概率有多大？【答案】0.41【解析】設(shè)x和y分別代表甲和乙距基地的距離，于是則他倆所有可能的距離的數(shù)據(jù)構(gòu)成有序點(diǎn)對(duì)(x，y)，這里x，y都在它們各自的限制范圍內(nèi)，則所有這樣的有序數(shù)對(duì)構(gòu)成的集合即為基本事件組對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域，每一個(gè)幾何區(qū)域中的點(diǎn)都代表甲和乙的一個(gè)特定的位置，他們可以通過(guò)對(duì)講機(jī)交談的事件僅當(dāng)他們之間的距離不超過(guò)25公里時(shí)發(fā)生(如圖)，因此構(gòu)成該事件的點(diǎn)由滿足不等式的數(shù)對(duì)組成，此不等式等價(jià)于右圖中的方形區(qū)域代表基本事件組，陰影部分代表所求事件，方形區(qū)域的面積為1200平方公里，而事件的面積為，于是有.類型五：用隨機(jī)模擬的方法求幾何概型問(wèn)題的概率例5現(xiàn)向如圖所示正方形內(nèi)隨機(jī)地投擲飛鏢，求飛鏢落在陰影部分的概率，陰影部分由直線6x3y4=0和正方形圍成 【解析】記事件A=飛鏢落在陰影部分 （1）用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生兩組0，1上的均勻隨機(jī)數(shù)，x1=RAND，y1=RAND （2）經(jīng)過(guò)平移和伸縮變換，x=(x