高等工程數(shù)學(xué)(6)--最小多項(xiàng)式(Win7)

第二章矩陣的相似變換 1方陣的相似對(duì)角化 2線性變換及其矩陣表示 3凱萊 哈密頓定理與最小多項(xiàng)式 3凱萊 哈密頓定理與最小多項(xiàng)式 方陣多項(xiàng)式 定義 多項(xiàng)式 稱 為方陣多項(xiàng)式 性質(zhì) 若方陣A與B相似 即則 性質(zhì) 若 則 3凱萊 哈密頓定理與最小多項(xiàng)式 零化多項(xiàng)式 定義 設(shè)A為n階方陣 為多項(xiàng)式 若 例1 設(shè) 則 是A的零化多項(xiàng)式 3凱萊 哈密頓定理與最小多項(xiàng)式 例2 設(shè) 試求U的零化多項(xiàng)式 線性相關(guān) 問(wèn) 任意n階方陣是否都有零化多項(xiàng)式 故至少存在一個(gè)次多項(xiàng)式是A的零化多項(xiàng)式 定性分析 必 2 則A的任何次方陣多項(xiàng)式都可以表示為次數(shù)不超過(guò)n 1的方陣多項(xiàng)式 3凱萊 哈密頓定理與最小多項(xiàng)式 問(wèn) 怎樣求方陣的零化多項(xiàng)式 定理 Cayley Hamilton 階方陣A的特征多項(xiàng)式 是A的零化多項(xiàng)式 即有 1 指出了任何階方陣A都具有次數(shù)不超過(guò)的零化多項(xiàng)式 Cayley Hamilton定理的意義 3凱萊 哈密頓定理與最小多項(xiàng)式 例3 設(shè) 試證 例4 3凱萊 哈密頓定理與最小多項(xiàng)式 例5 一般結(jié)果 階方陣A的計(jì)算問(wèn)題都可通過(guò)計(jì)算A的不超過(guò)次方陣多項(xiàng)式實(shí)現(xiàn) 問(wèn) 方陣的零化多項(xiàng)式是否唯一 設(shè)是A的零化多項(xiàng)式 是任一多項(xiàng)式 則 即都是A的零化多項(xiàng)式 3凱萊 哈密頓定理與最小多項(xiàng)式 最小多項(xiàng)式 定義 設(shè)A為階方陣 稱A的次數(shù)最小的首一零化多項(xiàng)式為A的最小多項(xiàng)式 記為 最高次項(xiàng)系數(shù)為1 例6 設(shè) 試求U的最小多項(xiàng)式 問(wèn) 即初等因子是對(duì)應(yīng)Jordan塊的最小多項(xiàng)式 3凱萊 哈密頓定理與最小多項(xiàng)式 定理 設(shè)階方陣A的最小多項(xiàng)式為 則 1 A的任何零化多項(xiàng)式都能被整除 2 A的最小多項(xiàng)式是唯一的 3 是A的特征值 分析設(shè) 則 問(wèn) 具有怎樣的結(jié)構(gòu) 其中 3凱萊 哈密頓定理與最小多項(xiàng)式 例7 設(shè) 求 3凱萊 哈密頓定理與最小多項(xiàng)式 對(duì)角塊矩陣的最小多項(xiàng)式 3凱萊 哈密頓定理與最小多項(xiàng)式 例8 設(shè) 求 3凱萊 哈密頓定理與最小多項(xiàng)式 Jordan塊的最小多項(xiàng)式 對(duì)應(yīng)的初等因子 一般階方陣A的最小多項(xiàng)式 設(shè)的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為 其中是中基本Jordan塊的最大階數(shù) 3凱萊 哈密頓定理與最小多項(xiàng)式 例9 3凱萊 哈密頓定理與最小多項(xiàng)式 定理 其中是特征矩陣的第n個(gè)不變因子 定理 3凱萊 哈密頓定理與最小多項(xiàng)式 例10 設(shè) 求 并問(wèn)A是否可以對(duì)角化 3凱萊 哈密頓定理與最小多項(xiàng)式 有個(gè)子Jordan陣 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的基本結(jié)構(gòu) 則的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形 設(shè) 最大階數(shù) 最小多項(xiàng)式 3凱