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文檔簡介

第二章矩陣的相似變換 1方陣的相似對角化 2線性變換及其矩陣表示 3凱萊 哈密頓定理與最小多項式 3凱萊 哈密頓定理與最小多項式 方陣多項式 定義 多項式 稱 為方陣多項式 性質(zhì) 若方陣A與B相似 即則 性質(zhì) 若 則 3凱萊 哈密頓定理與最小多項式 零化多項式 定義 設(shè)A為n階方陣 為多項式 若 例1 設(shè) 則 是A的零化多項式 3凱萊 哈密頓定理與最小多項式 例2 設(shè) 試求U的零化多項式 線性相關(guān) 問 任意n階方陣是否都有零化多項式 故至少存在一個次多項式是A的零化多項式 定性分析 必 2 則A的任何次方陣多項式都可以表示為次數(shù)不超過n 1的方陣多項式 3凱萊 哈密頓定理與最小多項式 問 怎樣求方陣的零化多項式 定理 Cayley Hamilton 階方陣A的特征多項式 是A的零化多項式 即有 1 指出了任何階方陣A都具有次數(shù)不超過的零化多項式 Cayley Hamilton定理的意義 3凱萊 哈密頓定理與最小多項式 例3 設(shè) 試證 例4 3凱萊 哈密頓定理與最小多項式 例5 一般結(jié)果 階方陣A的計算問題都可通過計算A的不超過次方陣多項式實現(xiàn) 問 方陣的零化多項式是否唯一 設(shè)是A的零化多項式 是任一多項式 則 即都是A的零化多項式 3凱萊 哈密頓定理與最小多項式 最小多項式 定義 設(shè)A為階方陣 稱A的次數(shù)最小的首一零化多項式為A的最小多項式 記為 最高次項系數(shù)為1 例6 設(shè) 試求U的最小多項式 問 即初等因子是對應Jordan塊的最小多項式 3凱萊 哈密頓定理與最小多項式 定理 設(shè)階方陣A的最小多項式為 則 1 A的任何零化多項式都能被整除 2 A的最小多項式是唯一的 3 是A的特征值 分析設(shè) 則 問 具有怎樣的結(jié)構(gòu) 其中 3凱萊 哈密頓定理與最小多項式 例7 設(shè) 求 3凱萊 哈密頓定理與最小多項式 對角塊矩陣的最小多項式 3凱萊 哈密頓定理與最小多項式 例8 設(shè) 求 3凱萊 哈密頓定理與最小多項式 Jordan塊的最小多項式 對應的初等因子 一般階方陣A的最小多項式 設(shè)的Jordan標準形為 其中是中基本Jordan塊的最大階數(shù) 3凱萊 哈密頓定理與最小多項式 例9 3凱萊 哈密頓定理與最小多項式 定理 其中是特征矩陣的第n個不變因子 定理 3凱萊 哈密頓定理與最小多項式 例10 設(shè) 求 并問A是否可以對角化 3凱萊 哈密頓定理與最小多項式 有個子Jordan陣 Jordan標準形的基本結(jié)構(gòu) 則的Jordan標準形 設(shè) 最大階數(shù) 最小多項式 3凱

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