湖北恩施巴東第一高級中學(xué)高中數(shù)學(xué)3.1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式教案新人教A必修4

湖北省恩施巴東縣第一高級中學(xué)高中數(shù)學(xué) 3.1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)教案 新人教A版必修4一、教學(xué)分析1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式是在研究了兩角差的余弦公式的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究具有“兩角和差”關(guān)系的正弦、余弦、正切公式的.在這些公式的推導(dǎo)中，教科書都把對照、比較有關(guān)的三角函數(shù)式，認(rèn)清其區(qū)別，尋找其聯(lián)系和聯(lián)系的途徑作為思維的起點(diǎn)，如比較cos(-)與cos(+),它們都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式從運(yùn)算或換元的角度看都有內(nèi)在聯(lián)系，即+=-(-)的關(guān)系，從而由公式C(-)推得公式C(+)，又如比較sin(-)與cos(-)，它們包含的角相同但函數(shù)名稱不同，這就要求進(jìn)行函數(shù)名的互化，利用誘導(dǎo)公式（5）（6）即可推得公式S(-)、S(+)等.2.通過對“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式”的推導(dǎo)，揭示了兩角和、差的三角函數(shù)與這兩角的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，還使學(xué)生加深了數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)、證明方法的理解.因此本節(jié)內(nèi)容也是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力和邏輯思維能力的重要內(nèi)容，對培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力，發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力都有著十分重要的意義.3.本節(jié)的幾個(gè)公式是相互聯(lián)系的，其推導(dǎo)過程也充分說明了它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)它們的這種聯(lián)系，從而加深對公式的理解和記憶.本節(jié)幾個(gè)例子主要目的是為了訓(xùn)練學(xué)生思維的有序性，逐步培養(yǎng)他們良好的思維習(xí)慣，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)有意識地對學(xué)生的思維習(xí)慣進(jìn)行引導(dǎo)，例如在面對問題時(shí)，要注意先認(rèn)真分析條件，明確要求，再思考應(yīng)該聯(lián)系什么公式，使用公式時(shí)要具備什么條件等.另外，還要重視思維過程的表述，不能只看最后結(jié)果而不顧過程表述的正確性、簡捷性等，這些都是培養(yǎng)學(xué)生三角恒等變換能力所不能忽視的.二、三維目標(biāo)1知識與技能：在學(xué)習(xí)兩角差的余弦公式的基礎(chǔ)上，通過讓學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,了解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，并通過強(qiáng)化題目的訓(xùn)練，加深對公式的理解，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力及邏輯推理能力，從而提高解決問題的能力.2過程與方法：通過兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的運(yùn)用，會(huì)進(jìn)行簡單的求值、化簡、恒等證明，使學(xué)生深刻體會(huì)聯(lián)系變化的觀點(diǎn)，自覺地利用聯(lián)系變化的觀點(diǎn)來分析問題，提高學(xué)生分析問題解決問題的能力.3情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過本節(jié)學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握尋找數(shù)學(xué)規(guī)律的方法，提高學(xué)生的觀察分析能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).三、重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其推導(dǎo).教學(xué)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用所學(xué)公式進(jìn)行求值、化簡、證明.四、課時(shí)安排2課時(shí)五、教學(xué)設(shè)想第1課時(shí)（一）導(dǎo)入新課 思路1.(舊知導(dǎo)入)教師先讓學(xué)生回顧上節(jié)課所推導(dǎo)的兩角差的余弦公式，并把公式默寫在黑板上或打出幻燈片,注意有意識地讓學(xué)生寫整齊.然后教師引導(dǎo)學(xué)生觀察cos(-)與cos(+)、sin(-)的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)行由舊知推出新知的轉(zhuǎn)化過程，從而推導(dǎo)出C(+)、S(-)、S(+).本節(jié)課我們共同研究公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用. 思路2.(問題導(dǎo)入)教師出示問題，先讓學(xué)生計(jì)算以下幾個(gè)題目，既可以復(fù)習(xí)回顧上節(jié)所學(xué)公式，又為本節(jié)新課作準(zhǔn)備.若sin=，(0,)，cos=,(0,),求cos(-),cos(+)的值.學(xué)生利用公式C（-）很容易求得cos（-），但是如果求cos（+）的值就得想法轉(zhuǎn)化為公式C（-）的形式來求，此時(shí)思路受阻,從而引出新課題，并由此展開聯(lián)想探究其他公式.（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問題還記得兩角差的余弦公式嗎？請一位同學(xué)到黑板上默寫出來.在公式C(-)中，角是任意角，請學(xué)生思考角-中換成角-是否可以？此時(shí)觀察角+與-(-)之間的聯(lián)系，如何利用公式C(-)來推導(dǎo)cos(+)=?分析觀察C(+)的結(jié)構(gòu)有何特征？在公式C(-)、C(+)的基礎(chǔ)上能否推導(dǎo)sin(+)=?sin(-)=?公式S(-)、S(+)的結(jié)構(gòu)特征如何？對比分析公式C(-)、C(+)、S(-)、S(+)，能否推導(dǎo)出tan(-)=?tan（+）=？分析觀察公式T(-)、T(+)的結(jié)構(gòu)特征如何？思考如何靈活運(yùn)用公式解題？ 活動(dòng)：對問題，學(xué)生默寫完后，教師打出課件，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察兩角差的余弦公式，點(diǎn)撥學(xué)生思考公式中的,既然可以是任意角，是怎樣任意的？你會(huì)有些什么樣的奇妙想法呢？鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，引導(dǎo)學(xué)生比較cos(-)與cos(+)中角的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生有的會(huì)發(fā)現(xiàn)-中的角可以變?yōu)榻?，所以-(-)=+也有的會(huì)根據(jù)加減運(yùn)算關(guān)系直接把和角+化成差角-(-)的形式.這時(shí)教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)移到公式C(-)上來,這樣就很自然地得到cos(+)=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=coscos-sinsin.所以有如下公式：cos(+)=coscos-sinsin我們稱以上等式為兩角和的余弦公式，記作C(+).對問題，教師引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察公式C(+)的結(jié)構(gòu)特征,可知“兩角和的余弦，等于這兩角的余弦積減去這兩角的正弦積”，同時(shí)讓學(xué)生對比公式C(-)進(jìn)行記憶，并填空：cos75=cos(_)=_=_.對問題，上面學(xué)生推得了兩角和與差的余弦公式，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，怎樣才能得到兩角和與差的正弦公式呢？我們利用什么公式來實(shí)現(xiàn)正、余弦的互化呢？學(xué)生可能有的想到利用誘導(dǎo)公式來化余弦為正弦(也有的想到利用同角的平方和關(guān)系式sin2+cos2=1來互化，此法讓學(xué)生課下進(jìn)行),因此有sin(+)=cos-(+)=cos(-)-=cos(-)cos+sin(-)sin=sincos+cossin.在上述公式中,用-代之，則sin(-)=sin+(-)=sincos(-)+cossin(-)=sincos-cossin.因此我們得到兩角和與差的正弦公式，分別簡記為S(+)、S(-).sin(+)=sincos+cossin,sin(-)=sincos-cossin. 對問題，教師恰時(shí)恰點(diǎn)地引導(dǎo)學(xué)生觀察公式的結(jié)構(gòu)特征并結(jié)合推導(dǎo)過程進(jìn)行記憶，同時(shí)進(jìn)一步體會(huì)本節(jié)公式的探究過程及公式變化特點(diǎn)，體驗(yàn)三角公式的這種簡潔美、對稱美.為強(qiáng)化記憶，教師可讓學(xué)生填空,如sin(+)=_，sin=_. 對問題，教師引導(dǎo)學(xué)生思考，在我們推出了公式C(-)、C(+)、S(+)、S(-)后,自然想到兩角和與差的正切公式，怎么樣來推導(dǎo)出tan(-)=?,tan(+)=?呢？學(xué)生很容易想到利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，化弦為切得到.在學(xué)生探究推導(dǎo)時(shí)很可能想不到討論，這時(shí)教師不要直接提醒，讓學(xué)生自己悟出來.當(dāng)cos(+)0時(shí)，tan(+)=如果coscos0,即cos0且cos0時(shí),分子、分母同除以coscos得tan(+)=，據(jù)角、的任意性，在上面的式子中，用-代之，則有tan(-)=由此推得兩角和、差的正切公式，簡記為T(-)、T(+).tan(+)=tan(-)= 對問題,讓學(xué)生自己聯(lián)想思考，兩角和與差的正切公式中、的取值是任意的嗎？學(xué)生回顧自己的公式探究過程可知，、都不能等于+k(kZ)，并引導(dǎo)學(xué)生分析公式結(jié)構(gòu)特征，加深公式記憶. 對問題，教師與學(xué)生一起歸類總結(jié)，我們把前面六個(gè)公式分類比較可得C(+)、S(+)、T(+)叫和角公式；S(-)、C(-)、T(-)叫差角公式.并由學(xué)生歸納總結(jié)以上六個(gè)公式的推導(dǎo)過程，從而得出以下邏輯聯(lián)系圖.可讓學(xué)生自己畫出這六個(gè)框圖.通過邏輯聯(lián)系圖，深刻理解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，借以理解并靈活運(yùn)用這些公式.同時(shí)教師應(yīng)提醒學(xué)生注意：不僅要掌握這些公式的正用，還要注意它們的逆用及變形用.如兩角和與差的正切公式的變形式 tan+tan=tan(+)(1-tantan)，tan-tan=tan(-)(1+tantan)，在化簡求值中就經(jīng)常應(yīng)用到，使解題過程大大簡化，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美.對于兩角和與差的正切公式，當(dāng)tan，tan或tan（）的值不存在時(shí)，不能使用T（）處理某些有關(guān)問題，但可改用誘導(dǎo)公式或其他方法，例如：化簡tan(-)，因?yàn)閠an的值不存在，所以改用誘導(dǎo)公式tan(-)=來處理等.（三）應(yīng)用示例思路1例1 已知sin=,是第四象限角，求sin(-),cos(+),tan(-)的值. 活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目中角的關(guān)系，在面對問題時(shí)要注意認(rèn)真分析條件，明確要求.再思考應(yīng)該聯(lián)系什么公式，使用公式時(shí)要有什么準(zhǔn)備，準(zhǔn)備工作怎么進(jìn)行等.例如本題中，要先求出cos,tan的值，才能利用公式得解，本題是直接應(yīng)用公式解題，目的是為了讓學(xué)生初步熟悉公式的應(yīng)用，教師可以完全讓學(xué)生自己獨(dú)立完成.解：由sin=,是第四象限角，得cos=.tan=.于是有sin(-)=sincos-cossin=cos(+)=coscos-sinsin=tan(-)=. 點(diǎn)評：本例是運(yùn)用和差角公式的基礎(chǔ)題，安排這個(gè)例題的目的是為了訓(xùn)練學(xué)生思維的有序性，逐步培養(yǎng)他們良好的思維習(xí)慣.變式訓(xùn)練1.不查表求cos75,tan105的值.解：cos75=cos(45+30)=cos45cos30-sin45sin30=,tan105=tan(60+45)= =-(2+).2.設(shè)(0,),若sin=,則2sin(+)等于( )A. B. C. D.4答案：A例2 已知sin=,(,),cos=,(,).求sin(-),cos(+),tan(+). 活動(dòng)：教師可先讓學(xué)生自己探究解決，對探究困難的學(xué)生教師給以適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥，指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析題目中已知條件和所求值的內(nèi)在聯(lián)系.根據(jù)公式S(-)、C(+)、T(+)應(yīng)先求出cos、sin、tan、tan的值，然后利用公式求值，但要注意解題中三角函數(shù)值的符號.解：由sin=,(,),得cos=-=，tan=.又由cos=,(,).sin=,tan=.sin(-)=sincos-cossin=()-(.cos(+)=coscos-sinsin=()()-()=tan(+)=. 點(diǎn)評：本題仍是直接利用公式計(jì)算求值的基礎(chǔ)題，其目的還是讓學(xué)生熟練掌握公式的應(yīng)用，訓(xùn)練學(xué)生的運(yùn)算能力.變式訓(xùn)練 引導(dǎo)學(xué)生看章頭圖，利用本節(jié)所學(xué)公式解答課本章頭題，加強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識.解：設(shè)電視發(fā)射塔高CD=x米，CAB=，則sin=，在RtABD中，tan(45+)=tan.于是x=,又sin=,(0,),cos,tan.tan(45+)=3,x=-30=150(米).答：這座電視發(fā)射塔的高度約為150米.例3 在ABC中，sinA=(0A45),cosB=(45B90)，求sinC與cosC的值. 活動(dòng)：本題是解三角形問題，在必修5中還作專門的探究，這里用到的僅是與三角函數(shù)誘導(dǎo)公式與和差公式有關(guān)的問題，難度不大，但應(yīng)是學(xué)生必須熟練掌握的.同時(shí)也能加強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.教師可讓學(xué)生自己閱讀、探究、討論解決，對有困難的學(xué)生教師引導(dǎo)學(xué)生分析題意和找清三角形各角之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而找出解決問題的路子.教師要提醒學(xué)生注意角的范圍這一暗含條件.解:在ABC中,A+B+C=180,C=180-(A+B).又sinA=且0A45,cosA=.又cosB=且45B90,sinB=.sinC=sin180-(A+B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=+=,cosC=cos180-(A+B)=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=-=. 點(diǎn)評：本題是利用兩角和差公式，來解決三角形問題的典型例子，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識，也使學(xué)生更加認(rèn)識了公式的作用,解決三角形問題時(shí),要注意三角形內(nèi)角和等于180這一暗含條件.變式訓(xùn)練 在ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB1,則ABC是( )A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.等腰非直角三角形答案：C思路2例1 若sin(+)=,cos(-)=,且0,求cos(+)的值. 活動(dòng)：本題是一個(gè)典型的變角問題，也是一道經(jīng)典例題，對訓(xùn)練學(xué)生的運(yùn)算能力以及邏輯思維能力很有價(jià)值.盡管學(xué)生思考時(shí)有點(diǎn)難度，但教師仍可放手讓學(xué)生探究討論，教師不可直接給出解答.對于探究不出的學(xué)生，教師可恰當(dāng)點(diǎn)撥引導(dǎo)，指導(dǎo)學(xué)生解決問題的關(guān)鍵是尋找所求角與已知角的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生理清所求的角與已知角的關(guān)系，觀察選擇應(yīng)該選用哪個(gè)公式進(jìn)行求解，同時(shí)也要特別提醒學(xué)生注意：在求有關(guān)角的三角函數(shù)值時(shí)，要特別注意確定準(zhǔn)角的范圍，準(zhǔn)確判斷好三角函數(shù)符號，這是解決這類問題的關(guān)鍵.學(xué)生完全理清思路后，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生的規(guī)范書寫，并熟練掌握它.對于程度比較好的學(xué)生可讓其擴(kuò)展本題，或變化條件，或變換所求的結(jié)論等.如教師可變換,角的范圍，進(jìn)行一題多變訓(xùn)練，提高學(xué)生靈活應(yīng)用公式的能力，因此教師要充分利用好這個(gè)例題的訓(xùn)練價(jià)值.解：0,+,-0,又已知sin(+)=,cos(-)=,cos(+)=,sin(-)=.cos(+)=sin+(+)=sin(+)-(-)=sin(+)cos(-)-cos(+)sin(-)=-()()=. 本題是典型的變角問題,即把所求角利用已知角來表示,實(shí)際上就是化歸思想.這需要巧妙地引導(dǎo),充分讓學(xué)生自己動(dòng)手進(jìn)行角的變換,培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用公式的能力.變式訓(xùn)練已知,(,),sin(+)=,sin(-)=,求cos(+)的值.解：,(,),sin(+)=,sin(-)=,+2,-.c