04高等數(shù)學講義-第四章

70 第四章 常微分方程 4 1 基本概念和一階微分方程 考試內(nèi)容考試內(nèi)容 常微分方程的基本概念常微分方程的基本概念 變量可分離的方程變量可分離的方程 齊次微分方程齊次微分方程 一階線性微分方程一階線性微分方程 伯努利 伯努利 Bernoulli 方程 方程 全微分方程全微分方程 可可 用簡單的變量代換求解的某些微分方程用簡單的變量代換求解的某些微分方程 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程 線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理 二階常系數(shù)齊次線性微二階常系數(shù)齊次線性微 分方程分方程 高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程 簡單的二階簡單的二階 常系數(shù)非齊次線性微分方程常系數(shù)非齊次線性微分方程 歐拉 歐拉 Euler 方程 方程 微分方程簡單微分方程簡單 應(yīng)用應(yīng)用 考試要求考試要求 1 了解微分方程及其階 解 通解 初始條件和特解等概念 了解微分方程及其階 解 通解 初始條件和特解等概念 2 掌握變量可分離的方程及一階線性方程的解法 掌握變量可分離的方程及一階線性方程的解法 3 會解齊次方程 伯努利方程和全微分方程 會用簡單的變量 會解齊次方程 伯努利方程和全微分方程 會用簡單的變量 代換解某些微分方程代換解某些微分方程 4 會用降階法解下列方程 會用降階法解下列方程 y n f x y f x y 和 和 y f y y 5 理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理 理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理 6 掌握二隊常系數(shù)齊次線性微分方程的解法 并會解某些高于 掌握二隊常系數(shù)齊次線性微分方程的解法 并會解某些高于 二階的常系數(shù)齊次線性微分方程 二階的常系數(shù)齊次線性微分方程 71 7 會解自由項為多項式 指數(shù)函數(shù) 正弦函數(shù) 余弦函數(shù) 以 會解自由項為多項式 指數(shù)函數(shù) 正弦函數(shù) 余弦函數(shù) 以 及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 8 會解歐拉方程 會解歐拉方程 9 會用微分方程解決一些簡單的應(yīng)用問題 會用微分方程解決一些簡單的應(yīng)用問題 1 內(nèi)容要點 一 基本概念 1 常微分方程和階 2 解 通解和特解 3 初始條件 4 齊次線性方程和非齊次線性方程 二 變量可分離方程及其推廣 1 0 yQyQxp dx dy 2 齊次方程 x y f dx dy 三 一階線性方程及其推廣 1 xQyxP dx dy 2 1 0 yxQyxP dx dy 四 全微分方程及其推廣 數(shù)學一 1 y P x Q dyyxQdxyxP 滿足 0 2 y RP x RQ yxR y p x Q dyyxQdxyxP 0 使但存在 五 差分方程 數(shù)學三 乙 典型例題 例 1 求的通解 dx dy xy dx dy xy 22 解 1 0 2 2 2 22 x y x y xxy y dx dy dx dy xyxy 令 1 2 u u dx du xuu x y 則 72 0 1 duuxudx 1 1 C x dx du u u 1 lnCuxu x y uuC ceyceexu 1 例 2求微分方程的通解 4 yx y dx dy 解 此題不是一階線性方程 但把 x 看作未知函數(shù) y 看作自變 量 所得微分方程是一階線性方程 3 4 1 yx ydy dx y yx dy dx 即 3 1 yyQ y yP CyyCdyeyex dy y dy y 4 1 3 1 3 1 例 3設(shè)的一個解 求此微分方程滿足的特解xyxpyxey x 是0 2ln x y 解 將代入微分方程求出方程化為 x ey xxexP x 1 1 ye dx dy x 先求出對應(yīng)齊次方程根據(jù)解的結(jié)構(gòu)立刻可得非齊次方 x exx ceyye dx dy 的通解0 1 程通解 x exx ceey 再由 2 1 2 1 2ln 0220 eccey x 得 故所求解 2 1 x ex x eey 例 4設(shè)內(nèi)滿足以下條件在 其中 xgxfxgxfxF x exgxffxfxgxgxf2 0 0 且 1 求所滿足的一階微分方程 xF 2 求出的表達式 xF 解 1 由 73 2 2 2 2 2 22 xFe xgxfxgxf xfxg xgxfxgxfxF x 可知所滿足的一階微分方程為 xF x exFxF 2 4 2 2 xx xx xdx cee cdxee cdxeeexF 22 42 2dx22 4 4 將10 0 0 0 cgfF代入 可知 于是 xx eexF 22 例 5求微分方程的通解 2 3 22 1 1 y dx dy xxy 解 令 原方程化為 tan tanvxuy u vdv udu vvu 3 2 2 sec sec sec sec tan tan 化簡為1 sin dv du vu 再令方程化為則 1 dv du dv dz vuz z dv dz zsin1sin sin1 1 1 sin sin1 sin cvdz z z cdvdz z z cvzzz cvdz z z z cvdz z z z sectan cos sin1 sin1 sin1 2 2 最后 Z 再返回 x y v 也返回 x 即可 74 4 2特殊的高階微分方程 數(shù)學四不要 甲 內(nèi)容要點 一 可降階的高階微分方程 方程類型解法及解的表達式 xfy n 通解 nn nnn n CxCxCxCdxxfy 1 2 2 1 1 次 yxfy 令 原方程則 pypy 一階方程 設(shè)其解為 pxfp 1 Cxgp 即 則原方程的通解為 1 Cxgy 21 CdxCxgy yyfy 令 的函數(shù) 則yppy看作 把 把 的表達式代入原方程 dy dp p dx dy dy dp dx dp y yy 得 一階方程 1 pyf pdy dp 設(shè)其解為則原方程的通解為 11 Cyg dx dy Cygp 即 2 1 Cx Cyg dy 二 線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu) 我們討論二階線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu) 其結(jié)論很容易地推廣到更高階的線性微 分方程 二階齊次線性方程 1 0 yxqyxpy 二階非齊次線性方程 2 xfyxqyxpy 1 若為二階齊次線性方程的兩個特解 則它們的線性組合 21 xyxy 為任意常數(shù) 仍為同方程的解 特別地 當 2211 xyCxyC 21 C C 也即線性無關(guān)時 則方程的通解為 21 為常數(shù) xyxy 21 xyxy與 2211 xyCxyCy 2 若為二階非齊次線性方程的一個特解 而為對應(yīng)的二階齊次 y x 2211 xyCxyC 75 線性方程的通解 為獨立的任意常數(shù) 則是此二 21 C C 1122 yy xC y xC yx 階非齊次線性方程的通解 3 設(shè)分別是 21 xyxy與與 1 xfyxqyxpy 的特解 則 2 xfyxqyxpy 是 21 xyxy 的特解 21 xfxfyxqyxpy 三 二階常系數(shù)齊次線性方程 為常數(shù)qpqyypy 0 特征方程 2 0pq 特征方程根的三種不同情形對應(yīng)方程通解的三種形式 1 當特征方程有兩個不同的實根 04 2 qp 21 則方程的通解為 xx eCeCy 21 21 2 當特征方程有而重根 04 2 qp 21 則方程的通解為 x exCCy 1 21 3 當特征方程有共軛復(fù)根 04 2 qp i 則方程的通解為 sincos 21 xCxCey x 四 二階常系數(shù)非齊次線性方程 方程為常數(shù)其中qpxfqyypy 通解 1122 yyC y xC yx 其中為對應(yīng)二階常系數(shù)齊次線性方程的通解上面已經(jīng)討論 所以 2211 xyCxyC 關(guān)鍵要討論二階常系數(shù)非齊次線性方程的一個特解如何求 y 我們根據(jù)的形式 先確定特解的形式 其中包含一些待定的系數(shù) 然后代入方程 xfy 確定這些系數(shù)就得到特解 常見的的形式和相對應(yīng)地的形式如下 y xfy 1 其中 次多項式 xpxf n nxpn為 1 若 0 不是特征根 則令 nn nn n axaxaxaxRy 1 1 10 76 其中為待定系數(shù) 2 1 0 niai 2 若 0 是特征方程的單根 則令 xxRy n 3 若 0 是特征方程的重根 則令 2 xRxy n 2 其中次多項式 為實常數(shù) x n expxf nxpn為 1 若不是特征根 則令 x n exRy 2 若是特征方程單根 則令 x n exxRy 3 若是特征方程的重根 則令 x n exRxy 2 3 或xexpxf x n sin xexpxf x n cos 其中次多項式 皆為實常數(shù)nxpn為 1 若不是特征根 則令 i cos sin x nn yeR xxT xx 其中 nn nn n axaxaxaxR 1 1 10 為待定系數(shù) 1 0 niai nn nn n bxbxbxbxT 1 1 10 為待定系數(shù) 1 0 nibi 2 若是特征根 則令 i sin cos xxTxxRxey nn x 五 歐拉方程 數(shù)學一 其中為常數(shù)稱為 n 階歐拉 0 1 1 1 1 ypyxpyxpyx nn nnnn 2 1 nipi 方程 令代入方程 變?yōu)?t 是自變量 y 是未知函數(shù)的微分方程一定是常系數(shù)齊次線 t ex 性微分方程 2 典型例題 例 1求的通解 1ln 1 xyyx 解 令 原方程化為pypy 則 77 1ln 1 xppx 屬于一階線性方程 1 1ln 1 1 x x p x p 1 1 1 1 1 1 1ln Cdxe x x ep dx x dx x 1 1 1ln 1ln 1 1 1 1 x C xCdxx x 2 1 1 1 1ln Cdx x C xy 21 2 1ln CxxCx 例 2求下列微分方程的通解 01 2 yyy 解令 原方程化為 dy dp pypy 則 1 2 p dy dp yp 1 2 1 C y dy p pdp 1 2 ln1ln 2 1 Cyp 2 1 1yCp 2 1 1yC dx dy 當 2 2 11 1 1 1ln 1 0CxyCyC C C 時 當 21 1 1 arcsin 1 1 0CxyC C C 時 例 3求的通解 x eyyy232 解先求相應(yīng)齊次方程的通解 其特征方程為032 yyy 032 2 78 特征根為 因此齊次方程通解為1 3 21 xx eCeCY 2 3 1 設(shè)非齊次方程的特解為為特征根 因此設(shè) 代入原方程可得 1 由于y x xAey 2 1 A 故原方程的通解為 xxx xeeCeCy 2 1 2 3 1 例 4求方程的通解xyyycos222 特征根為 因此齊次方程的通解為1 2 21 xx eCeCY 2 2 1 設(shè)非齊次方程的特解為 由于題目中不是特征根 因此設(shè)yii2 2 0 代入原方程可得xBxAy2sin2cos xxBABxABA2cos22sin 422 2cos 422 026 226 AB BA 解聯(lián)立方程得 因此 10 1 10 3 BA xxy2sin 10 1 2cos 10 3 故原方程的通解為 xxeCeCy xx 2sin 10 1 2cos 10 3 2 2 1 例 5 解 x exyxyxy cos3sin2cos 解 令 u 則 原方程xycosxyxyxyuxyxyucossin2cos sincos 變?yōu)?x euu 4 解出 x exCxCu 5 1 2sin2cos 21 x e x x C x x Cy x cos5 1 cos 2sin cos 2cos 21 79 2 cos5 1 sin cos 2cos 2221 cc x e xC x x C x 例 6 設(shè)函數(shù) y y x 在內(nèi)具有二階導數(shù) 且是 y y x 的反 yxxy 0 函數(shù) 1 試將 x x y 所滿足的微分方程變換為 0sin 3 2 2 dy dx xy dy xd y y x 滿足的微分方程 2 求變換后的微分方程滿足初始條件 y 0 0 的解 2 3 0 y 解 1 由反函數(shù)導數(shù)公式知 ydy dx 1 即 1 dy dx y 上式兩端關(guān)于 x 求導 得 0 2 2 2 y dy xd dy dx y 所以 322 2 y y y y dy dx dy xd 代入原微分方程得 xyysin 2 方程 所對應(yīng)的齊次方程的通解為0 yy xx eCeCY 21 設(shè)方程 的特解為 A B yxcosxsin 代入方程 求得 A 0 B 故 從而的通解是 2 1 y 2 1 xsinxyysin xeCeCxy xx sin 2 1 21 由 得 2 3 0 0 0 yy1 1 21 CC 故所初值問題的解為 80 xeexy xx sin 2 1 例 7 設(shè) f x x 其中 f x 連續(xù) 求 f x xsin x dttftx 0 解 由表達式可知 f x 是可導的 兩邊對 x 求導 則得 x dttfxxxxf 0 sincos 再對兩邊關(guān)于 x 求導 得 cos2sinxfxxxxf 即 屬于常系數(shù)二階非齊次線性方程 xxxxfxfcos2sin 對應(yīng)齊次方程通解 xCxCysincos 21 非齊次方程特解設(shè) 代入方程求出系數(shù) A B C D 則 xDCxxxBAxxysincos 得 故 f x 的一般表達式xxxxysin 4 3 cos 4 1 2 xCxCxxxxxfsincossin 4 3 cos 4 1 21 2 由條件和導數(shù)表達式可知 f 0 0 可確定出 00 f 0 0 21 CC 因此xxxxxfsin 4 3 cos 4 1 2 例 8 已知 是某二階線性非齊次常 xx exey 2 1 xx exey 2 xxx eexey 2 3 系數(shù)微分方程的三個解 求此微分方程及其通解 解 由線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)定理可得 x eyy 31 xx eeyy 2 21 x eyyyy 2 2131 是該方程對應(yīng)的齊次方程的解 由解與的形式 可得齊次方程為 x e x e202 yyy 設(shè)該方程為 代入 得 2xfyyy xx exey 2 1 x exxf21 所以 該方程為 x exyyy212 其通解為 xxxx exeeCe