高中數(shù)學 第二講 直線與圓的位置關系 2.2 圓內接四邊形的性質與判定定理課件 新人教A版選修41.ppt

二圓內接四邊形的性質與判定定理 1 圓內接四邊形 1 如果多邊形的所有頂點都在一個圓上 那么這個多邊形叫做圓內接多邊形 這個圓叫做多邊形的外接圓 2 如果四邊形的所有頂點都在一個圓上 那么這個四邊形叫做圓內接四邊形 這個圓叫做四邊形的外接圓 名師點撥任意三角形都有外接圓 任意正方形 矩形都有外接圓 但并不是所有四邊形都有外接圓 2 圓內接四邊形的性質定理 1 性質定理1 圓的內接四邊形的對角互補 如圖 若四邊形abcd內接于圓o 則 a c 180 b d 180 該定理的作用是證明兩個角互補 2 性質定理2 圓內接四邊形的外角等于它的內角的對角 如圖 若四邊形abcd內接于圓o e為ab延長線上一點 則 cbe adc 該定理的作用是證明兩個角相等 名師點撥1 圓內接四邊形的性質定理為證明角的相等或互補提供了理論依據(jù) 因而也為論證角邊關系提供了一種新方法 2 注意幾個常用結論 1 內接于圓的平行四邊形是矩形 2 內接于圓的菱形是正方形 3 內接于圓的梯形是等腰梯形 做一做1 如圖 四邊形abcd內接于圓o 若 a 2 c 則 c 若 adc 85 則 abe 解析 因為四邊形abcd是圓內接四邊形 所以 a c 180 又 a 2 c 所以 c 60 又因為 adc abe adc 85 所以 abe 85 答案 60 85 3 圓內接四邊形的判定定理 1 判定定理 如果一個四邊形的對角互補 那么這個四邊形的四個頂點共圓 如圖 在四邊形abcd中 若 a c 180 或 b d 180 則a b c d四點共圓 該定理的作用是證明四點共圓 2 推論 如果四邊形的一個外角等于它的內角的對角 那么這個四邊形的四個頂點共圓 如圖 在四邊形abcd中 延長ab到e 若 cbe adc 則a b c d四點共圓 該推論的作用是證明四點共圓 名師點撥判斷或證明四點共圓的常用方法 1 如果四個點與一定點的距離相等 那么這四個點共圓 2 如果一個四邊形的一組對角互補 那么這個四邊形的四個頂點共圓 3 如果一個四邊形的一個外角等于它的內對角 那么這個四邊形的四個頂點共圓 4 如果兩個三角形有公共邊 公共邊所對的角相等 且在公共邊的同側 那么這兩個三角形的四個頂點共圓 做一做2 如圖 四邊形abcd的邊ab的延長線上有一點e 且bc be d 80 e 50 求證 a b c d四點共圓 證明 bc be e bce ebc 180 2 e 80 ebc d a b c d四點共圓 思考辨析判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號內畫 錯誤的畫 1 任意矩形都有唯一的外接圓 2 菱形一定有外接圓 3 任意正多邊形都有外接圓 4 圓內接梯形一定是等腰梯形 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 規(guī)范解答 當堂檢測 圓內接四邊形性質定理的應用 例1 1 如圖 已知 o的內接四邊形abcd ab和dc的延長線交于點p ad和bc的延長線交于點q 若 a 50 p 30 求 q的度數(shù) 2 如圖 在 o中 ac ab e是弦bc延長線上的一點 ae交 o于點d 求證 ac2 ad ae 探究一 探究二 規(guī)范解答 當堂檢測 分析 1 先利用圓內接四邊形的性質求得 cdq和 dcq的度數(shù) 再利用三角形的內角和定理求得 q的度數(shù) 2 可先考慮證明 adc ace 得到比例式后 再轉化為欲證等積式 1 解 四邊形abcd是 o的內接四邊形 qcd a 50 又 p 30 cdq p a 80 故 q 180 80 50 50 2 證明 如圖 連接dc ac ab acb b 又四邊形abcd內接于 o edc b acb edc adc ace eac cad adc ace 探究一 探究二 規(guī)范解答 當堂檢測 反思感悟1 因為圓內接四邊形的性質主要涉及有關角的關系 所以在圓內求角的大小以及證明角之間的相等關系時 要發(fā)現(xiàn)和構造圓內接四邊形 利用兩個性質定理進行求解和證明 2 在圓內證明等積式時 由于比例式是等積式的一種特殊形式 因此可轉化為比例式 只需找到包含所證線段的兩個三角形來證明 而要證三角形相似 可借助圓內接四邊形的性質定理 得出對應的角相等 探究一 探究二 規(guī)范解答 當堂檢測 變式訓練1如圖 o的直徑ab的延長線與弦cd的延長線相交于點p e為 o上一點 ae ac 求證 pde poc 證明 連接be bc ae ac ab為直徑 在rt abe和rt abc中 abe abc aeb acb ae ac rt abe rt abc oae oac 又 oac oca oca oae poc oac oca oac oae eac 又四邊形acde內接于 o eac pde pde poc 探究一 探究二 規(guī)范解答 當堂檢測 圓內接四邊形判定定理的應用 例2 如圖 在 abc中 ad db df ab交ac于點f ae ec eg ac交ab于點g 求證 1 d e f g四點共圓 2 g b c f四點共圓 分析 1 連接gf 則易證 gdf與 gef均為直角三角形 由直角三角形斜邊的中點到三個頂點的距離相等可得出結論 2 連接de 由條件易證de bc 從而 ade b 由 1 知 ade gfe 從而 gfe b 從而得到結論 探究一 探究二 規(guī)范解答 當堂檢測 證明 1 連接gf 由df ab eg ac 知 gdf gef 90 gf的中點到d e f g四點的距離相等 d e f g四點共圓 2 連接de 由ad db ae ec 知de bc ade b 又由 1 中d e f g四點共圓 ade gfe gfe b g b c f四點共圓 探究一 探究二 規(guī)范解答 當堂檢測 反思感悟判定四點共圓的方法1 如果四個點與一定點距離相等 那么這四個點共圓 2 如果一個四邊形的一組對角互補 那么這個四邊形的四個頂點共圓 3 如果一個四邊形的一個外角等于它的內角的對角 那么這個四邊形的四個頂點共圓 4 與線段兩個端點連線的夾角相等 或互補 的點連同該線段兩個端點在內共圓 探究一 探究二 規(guī)范解答 當堂檢測 變式訓練2如圖 已知四邊形abcd為平行四邊形 過點a和點b的圓與ad bc分別交于e f 求證 c d e f四點共圓 證明 連接ef 因為四邊形abcd為平行四邊形 所以 b c 180 因為四邊形abfe內接于圓 所以 b aef 180 所以 aef c 故c d e f四點共圓 探究一 探究二 規(guī)范解答 當堂檢測 圓內接四邊形性質定理和判定定理的綜合應用 典例 如圖 a b c d四點在同一圓上 ad的延長線與bc的延長線交于e點 且ec ed 1 求證 cd ab 2 延長cd到f 延長dc到g 使得ef eg 證明a b g f四點共圓 審題策略 利用圓內接四邊形的性質與判定定理證明 探究一 探究二 規(guī)范解答 當堂檢測 規(guī)范展示 證明 1 因為ec ed 所以 edc ecd 因為a b c d四點在同一圓上 所以 edc eba 故 ecd eba 所以cd ab 2 由 1 知 ae be 因為ef eg 所以 efd egc 從而 fed gec 連接af bg 則 efa egb 故 fae gbe 由 1 得cd ab 所以 fab gba 所以 afg gba 180 故a b g f四點共圓 探究一 探究二 規(guī)范解答 當堂檢測 答題模板 1 第1步 證 edc兩底角相等 第2步 利用圓內接四邊形的性質定理得兩角相等 第3步 利用同位角相等證得結論 2 第1步 證明兩角相等 第2步 證明兩三角形全等 第3步 由圓內接四邊形的判定定理證得結論 失誤警示通過閱卷統(tǒng)計分析 造成失分的原因是 1 不能利用等腰三角形的性質得出兩底角相等 2 不能正確利用圓內接四邊形的性質得出角的相等關系 3 無法正確利用圓內接四邊形的判定定理證明四點共圓 探究一 探究二 規(guī)范解答 當堂檢測 變式訓練已知cf是 abc的ab邊上的高 fp bc于點p fq ac于點q 求證 a b p q四點共圓 證明 連接pq 在四邊形qfpc中 因為pf bc fq ac 所以 fqa fpc 90 所以q f p c四點共圓 所以 qfc qpc 又因為cf ab 所以 qfc與 qfa互余 而 a與 qfa也互余 所以 a qfc 所以 a qpc 故a b p q四點共圓 探究一 探究二 規(guī)范解答 當堂檢測 1 已知四邊形abcd是圓內接四邊形 則下列結論正確的有 若 a c 則 a 90 若 a b 則四邊形abcd是等腰梯形 a的補角與 c的補角互補 a b c d的比可以是1 2 3 4 a 1個b 2個c 3個d 4個答案 b2 圓內接平行四邊形一定是 a 正方形b 菱形c 等腰梯形d 矩形解析 因為圓內接四邊形的對角互補 平行四邊形的對角相等 所以圓內接平行四邊形的各角均為直角 故為矩形 答案 d 探究一 探究二 規(guī)范解答 當堂檢測 3 如圖 四邊形abcd為 o的內接四邊形 e為ab延長線上一點 cbe 40 則 aoc等于 a 20 b 40 c 80 d 100 解析 因為 cbe 40 所以 adc 40 于是 aoc 2 adc 80 答案 c4 若be和c