高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第五節(jié) 橢圓課件 文.ppt

文數(shù)課標(biāo)版 第五節(jié)橢圓 1 橢圓的定義平面內(nèi)到兩個定點f1 f2的距離之和等于常數(shù) 大于 f1f2 的點的軌跡叫做 橢圓 這兩個定點叫做橢圓的 焦點 兩焦點間的距離叫做橢圓的 焦距 集合p m mf1 mf2 2a f1f2 2c 其中a 0 c 0 且a c為常數(shù) 教材研讀 1 若 a c 則集合p表示橢圓 2 若 a c 則集合p表示線段 3 若 a c 則集合p為空集 2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 3 點p x0 y0 和橢圓的位置關(guān)系 1 p x0 y0 在橢圓內(nèi) 1 判斷下列結(jié)論的正誤 正確的打 錯誤的打 1 平面內(nèi)與兩個定點f1 f2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓 2 橢圓上一點p與兩焦點f1 f2構(gòu)成 pf1f2的周長為2a 2c 其中a為橢 圓的長半軸長 c為橢圓的半焦距 3 橢圓既是軸對稱圖形 又是中心對稱圖形 4 橢圓的離心率e越大 橢圓就越圓 5 方程mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 表示的曲線是橢圓 1 如圖所示 一圓形紙片的圓心為o f是圓內(nèi)一定點 m是圓周上一動點 把紙片折疊使m與f重合 然后抹平紙片 折痕為cd 設(shè)cd與om交于點p 則點p的軌跡是 a 橢圓b 雙曲線c 拋物線d 圓答案a由折疊過程可知點m與點f關(guān)于直線cd對稱 故 pm pf 所以 po pf po pm om r of r為圓o的半徑 故由橢圓的定義可知 點p的軌跡為橢圓 2 已知f1 f2是橢圓 1的兩焦點 過點f2的直線交橢圓于a b兩點 在 af1b中 若有兩邊之和是10 則第三邊的長度為 a 6b 5c 4d 3答案a根據(jù)橢圓的定義 知 af1b的周長為4a 16 故所求的第三邊的長度為16 10 6 3 橢圓x2 my2 1 m 0 的焦點在y軸上 長軸長是短軸長的2倍 則m等于 a b 2c 4d 答案d由x2 1 m 0 及題意知 2 2 2 1 解得m 故選d 4 已知橢圓的方程為2x2 3y2 m m 0 則此橢圓的離心率為 a b c d 答案b2x2 3y2 m m 0 1 c2 e2 又0 e 1 e 故選b 5 已知中心在原點的橢圓c的右焦點為f 1 0 離心率等于 則c的方程是 答案 1解析依題意 設(shè)橢圓方程為 1 a b 0 則有解得a 2 b2 3 故c的方程為 1 考點一橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程典例1 1 已知兩圓c1 x 4 2 y2 169 c2 x 4 2 y2 9 動圓在圓c1內(nèi)部且和圓c1相內(nèi)切 和圓c2相外切 則動圓圓心m的軌跡方程為 a 1b 1c 1d 1 2 已知橢圓c 1 a b 0 的左 右焦點為f1 f2 離心率為 過f2的直線l交c于a b兩點 若 af1b的周長為4 則c的方程為 a 1b y2 1c 1d 1 考點突破 3 已知f1 f2是橢圓c 1 a b 0 的兩個焦點 p為橢圓c上的一點 且 若 pf1f2的面積為9 則b 答案 1 d 2 a 3 3解析 1 設(shè)圓m的半徑為r 則 mc1 mc2 13 r 3 r 16 又 c1c2 8 16 動圓圓心m的軌跡是以c1 c2為焦點的橢圓 且2a 16 2c 8 則a 8 c 4 b2 48 故所求的軌跡方程為 1 2 由題意及橢圓的定義知4a 4 則a 又 c 1 b2 2 c的方程為 1 3 pf1 pf2 2a pf1 2 pf2 2 f1f2 2 4c2 2 pf1 pf2 4a2 4c2 4b2 pf1 pf2 2b2 pf1 pf2 2b2 b2 9 b 3 pf1 pf2 2 2 pf1 pf2 4c2 1 橢圓定義的應(yīng)用類型及方法 1 利用定義確定平面內(nèi)的動點的軌跡是否為橢圓 2 利用定義解決與焦點三角形相關(guān)的周長 面積及最值問題 方法指導(dǎo) 2 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法 具體過程是先定形 再定量 即首先確定焦點所在位置 然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a b的方程組 如果焦點位置不確定 要考慮是否有兩解 有時為了解題方便 也可把橢圓方程設(shè)為mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 的形式 1 1一個橢圓的中心在原點 焦點f1 f2在x軸上 p 2 是橢圓上一點 且 pf1 f1f2 pf2 成等差數(shù)列 則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 a 1b 1c 1d 1答案a設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 1 a b 0 由點p 2 在橢圓上知 1 又 pf1 f1f2 pf2 成等差數(shù)列 則 pf1 pf2 2 f1f2 即2a 2 2c 又c2 a2 b2 聯(lián)立得a2 8 b2 6 故橢圓方程為 1 1 2設(shè)f1 f2分別是橢圓e x2 1 00 又 af1 3 f1b 由 3得b 代入x2 1得 1 又c2 1 b2 b2 故橢圓e的方程為x2 y2 1 考點二橢圓的幾何性質(zhì)典例2 1 2016課標(biāo)全國 12 5分 已知o為坐標(biāo)原點 f是橢圓c 1 a b 0 的左焦點 a b分別為c的左 右頂點 p為c上一點 且pf x軸 過點a的直線l與線段pf交于點m 與y軸交于點e 若直線bm經(jīng)過oe的中點 則c的離心率為 a b c d 2 已知動點p x y 在橢圓 1上 若a點的坐標(biāo)為 3 0 1 且 0 則 的最小值為 答案 1 a 2 解析 1 解法一 設(shè)點m c y0 oe的中點為n 則直線am的斜率k 從而直線am的方程為y x a 令x 0 得點e的縱坐標(biāo)ye 同理 oe的中點n的縱坐標(biāo)yn 因為2yn ye 所以 即2a 2c a c 所以e 故選a 解法二 如圖 設(shè)oe的中點為n 由題意知 af a c bf a c of c oa ob a pf y軸 又 即 a 3c 故e 2 由 1 a 3 0 知點m在以a 3 0 為圓心 1為半徑的圓上運動 0 pm am 即pm為 a的切線 連接pa 如圖 則 又 p在橢圓上運動 當(dāng) min 5 3 2時 min 方法技巧求橢圓離心率的常用方法 1 直接求出a c 利用定義求解 2 構(gòu)造a c的齊次式 解出e 由已知條件得出關(guān)于a c的二元齊次方程 然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解 3 通過特殊值或特殊位置求出離心率 2 1 2016課標(biāo)全國 5 5分 直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點 若橢圓中心到l的距離為其短軸長的 則該橢圓的離心率為 a b c d 答案b如圖 ob 為橢圓中心到l的距離 則 oa of af ob 即bc a 所以e 故選b 2 2已知f1 f2分別是橢圓x2 2y2 2的左 右焦點 點p是該橢圓上的一個動點 那么 的最小值是 a 0b 1c 2d 2答案c設(shè)p x0 y0 則 1 x0 y0 1 x0 y0 2x0 2y0 2 2 點p在橢圓上 0 1 當(dāng) 1時 取最小值 為2 考點三直線與橢圓的位置關(guān)系典例3已知橢圓e 1 a b 0 的離心率為 右焦點為f 1 0 1 求橢圓e的標(biāo)準(zhǔn)方程 2 設(shè)點o為坐標(biāo)原點 過點f作直線l與橢圓e交于m n兩點 若om on 求直線l的方程 解析 1 依題意可得解得a b 1 所以橢圓e的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2 1 2 設(shè)m x1 y1 n x2 y2 當(dāng)mn垂直于x軸時 直線l的方程為x 1 不符合題意 當(dāng)mn不垂直于x軸時 設(shè)直線l的方程為y k x 1 聯(lián)立得方程組 消去y整理得 1 2k2 x2 4k2x 2 k2 1 0 所以x1 x2 x1 x2 所以y1 y2 k2 x1x2 x1 x2 1 因為om on 所以 0 所以x1 x2 y1 y2 0 所以k 即直線l的方程為y x 1 方法技巧 1 解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題 其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立 消元 然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程 解決相關(guān)問題 涉及弦中點的問題常用 點差法 解決 往往會更簡單 2 設(shè)直線與橢圓的交點坐標(biāo)為a x1 y1 b x2 y2 則 ab k為直線斜率 k 0 提醒 利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進(jìn)行的 不要忽略判別式 3 1 2016山西太原五中月考 已知p 1 1 為橢圓 1內(nèi)一定點 經(jīng)過p引一條弦 使此弦被p點平分 則此弦所在的直線方程為 答案x 2y 3 0解析解法一 易知此弦所在直線的斜率存在 所以設(shè)其方程為y 1 k x 1 弦的端點坐標(biāo)為 x1 y1 x2 y2 由消去y得 2k2 1 x2 4k k 1 x 2 k2 2k 1 0 x1 x2 又 x1 x2 2 2 解得k 故此弦所在的直線方程為y 1 x 1 即x 2y 3 0 解法二 易知此弦所在直線的斜率存在 所以設(shè)斜率為k 弦的端點坐標(biāo)為 x1 y1 x2 y2 則 1 1 得 0 x1 x2 2 y1 y2 2 y1 y2 0 k 此弦所在的直線方程為y 1 x 1 即x 2y 3 0 3 2已知圓m x 1 2 y2 1 圓n x 1 2 y2 9 動圓p與圓m外切并且與圓n內(nèi)切 圓心p的軌跡為曲線c 1 求c的方程 2 l是與圓p 圓m都相切的一條直線 l與曲線c交于a b兩點 當(dāng)圓p的半徑最長時 求 ab 解析由已知得圓m的圓心為m 1 0 半徑r1 1 圓n的圓心為n 1 0 半徑r2 3 設(shè)圓p的圓心為p x y 半徑為r 1 因為圓p與圓m外切并且與圓n內(nèi)切 所以 pm pn r r1 r2 r r1 r2 4 由橢圓的定義可知 曲線c是左 右焦點為m n 長半軸長為2 短半軸 長為的橢圓 左頂點除外 其方程為 1 x 2 2 對于曲線c上任意一點p x y 由于 pm pn 2r 2 2 所以r 2 當(dāng)且僅當(dāng)圓p的圓心為 2 0 時 r 2