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18.1.2 平行四邊形的判定三角形的中位線教學(xué)目標(biāo)1 理解三角形中位線的概念,掌握它的性質(zhì)2 能較熟練地應(yīng)用三角形中位線性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的證明和計算3經(jīng)歷探索、猜想、證明的過程,進(jìn)一步發(fā)展推理論證的能力4能運(yùn)用綜合法證明有關(guān)三角形中位線性質(zhì)的結(jié)論理解在證明過程中所運(yùn)用的歸納、類比、轉(zhuǎn)化等思想方法一、 重點(diǎn)、難點(diǎn)1重點(diǎn):掌握和運(yùn)用三角形中位線的性質(zhì)2難點(diǎn):三角形中位線性質(zhì)的證明(輔助線的添加方法) 三、例題的意圖分析 例1是是三角形中位線性質(zhì)的證明題,教材采用的是先證明后引出概念與性質(zhì)的方法,它一是要練習(xí)鞏固平行四邊形的性質(zhì)與判定,二是為了降低難度,因此教師們在教學(xué)中要把握好度建議講完例1,引出三角形中位線的概念和性質(zhì)后,馬上做一組練習(xí),以鞏固三角形中位線的性質(zhì),然后再講例2例2是一道補(bǔ)充題,選自老教材的一個例題,它是三角形中位線性質(zhì)與平行四邊形的判定的混合應(yīng)用題,題型挺好,添加輔助線的方法也很巧,結(jié)論以后也會經(jīng)常用到,可根據(jù)學(xué)生情況適當(dāng)?shù)倪x講例2教學(xué)中,要把輔助線的添加方法講清楚,可以借助與多媒體或教具四、課堂引入1 平行四邊形的性質(zhì);平行四邊形的判定;它們之間有什么聯(lián)系?2 你能說說平行四邊形性質(zhì)與判定的用途嗎?(答:平行四邊形知識的運(yùn)用包括三個方面:一是直接運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)去解決某些問題例如求角的度數(shù),線段的長度,證明角相等或線段相等等;二是判定一個四邊形是平行四邊形,從而判定直線平行等;三是先判定一個四邊形是平行四邊形,然后再眼再用平行四邊形的性質(zhì)去解決某些問題)3創(chuàng)設(shè)情境實(shí)驗:請同學(xué)們思考:將任意一個三角形分成四個全等的三角形,你是如何切割的?(答案如圖)圖中有幾個平行四邊形?你是如何判斷的?五、例習(xí)題分析 例1(教材P98例4) 如圖,點(diǎn)D、E、分別為ABC邊AB、AC的中點(diǎn),求證:DEBC且DE=BC 分析:所證明的結(jié)論既有平行關(guān)系,又有數(shù)量關(guān)系,聯(lián)想已學(xué)過的知識,可以把要證明的內(nèi)容轉(zhuǎn)化到一個平行四邊形中,利用平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì)來證明結(jié)論成立,從而使問題得到解決,這就需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線來構(gòu)造平行四邊形 方法1:如圖(1),延長DE到F,使EF=DE,連接CF,由ADECFE,可得ADFC,且AD=FC,因此有BDFC,BD=FC,所以四邊形BCFD是平行四邊形所以DFBC,DF=BC,因為DE=DF,所以DEBC且DE=BC(也可以過點(diǎn)C作CFAB交DE的延長線于F點(diǎn),證明方法與上面大體相同) 方法2:如圖(2),延長DE到F,使EF=DE,連接CF、CD和AF,又AE=EC,所以四邊形ADCF是平行四邊形所以ADFC,且AD=FC因為AD=BD,所以BDFC,且BD=FC所以四邊形ADCF是平行四邊形所以DFBC,且DF=BC,因為DE=DF,所以DEBC且DE=BC定義:連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線【思考】:(1)想一想:一個三角形的中位線共有幾條?三角形的中位線與中線有什么區(qū)別? (2)三角形的中位線與第三邊有怎樣的關(guān)系? (答:(1)一個三角形的中位線共有三條;三角形的中位線與中線的區(qū)別主要是線段的端點(diǎn)不同中位線是中點(diǎn)與中點(diǎn)的連線;中線是頂點(diǎn)與對邊中點(diǎn)的連線 (2)三角形的中位線與第三邊的關(guān)系:三角形的中位線平行與第三邊,且等于第三邊的一半)三角形中位線的性質(zhì):三角形的中位線平行與第三邊,且等于第三邊的一半拓展利用這一定理,你能證明出在設(shè)情境中分割出來的四個小三角形全等嗎?(讓學(xué)生口述理由)例2(補(bǔ)充)已知:如圖(1),在四邊形ABCD中,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)求證:四邊形EFGH是平行四邊形分析:因為已知點(diǎn)E、F、G、H分別是線段的中點(diǎn),可以設(shè)法應(yīng)用三角形中位線性質(zhì)找到四邊形EFGH的邊之間的關(guān)系由于四邊形的對角線可以把四邊形分成兩個三角形,所以添加輔助線,連接AC或BD,構(gòu)造“三角形中位線”的基本圖形后,此題便可得證證明:連結(jié)AC(圖(2),DAG中, AH=HD,CG=GD, HGAC,HG=AC(三角形中位線性質(zhì))同理EFAC,EF=AC HGEF,且HG=EF 四邊形EFGH是平行四邊形此題可得結(jié)論:順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn),所得的四邊形是平行四邊形六、課堂練習(xí)1(填空)如圖,A、B兩點(diǎn)被池塘隔開,在AB外選一點(diǎn)C,連結(jié)AC和BC,并分別找出AC和BC的中點(diǎn)M、N,如果測得MN=20 m,那么A、B兩點(diǎn)的距離是 m,理由是 2已知:三角形的各邊分別為8cm 、10cm和12cm ,求連結(jié)各邊中點(diǎn)所成三角形的周長3如圖,ABC中,D、E、F分別是AB、AC、BC的中點(diǎn),(1)若EF=5cm,則AB= cm;若BC=9cm,則DE= cm;(2)中線AF與DE中位線有什么特殊的關(guān)系?證明你的猜想七、課后練習(xí)1(填空)一個三角形的周長是135cm,過三角形各頂點(diǎn)作對邊的平行線,則這三條平行線所組成的三角形的周長是 cm2(填
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