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文檔簡介
初二數(shù)學(xué)最短路徑問題【問題概述】最短路徑問題是圖論研究中的一個經(jīng)典算法問題, 旨在尋找圖(由結(jié)點和路徑組成的)中兩結(jié)點之間的最短路徑算法具體的形式包括:確定起點的最短路徑問題 - 即已知起始結(jié)點,求最短路徑的問題確定終點的最短路徑問題 - 與確定起點的問題相反,該問題是已知終結(jié)結(jié)點,求最短路徑的問題確定起點終點的最短路徑問題 - 即已知起點和終點,求兩結(jié)點之間的最短路徑全局最短路徑問題 - 求圖中所有的最短路徑【問題原型】“將軍飲馬”,“造橋選址”,“費馬點”【涉及知識】“兩點之間線段最短”,“垂線段最短”,“三角形三邊關(guān)系”,“軸對稱”,“平移”【出題背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標(biāo)軸、拋物線等【解題思路】找對稱點實現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”,近兩年出現(xiàn)“三折線”轉(zhuǎn)“直”等變式問題考查【十二個基本問題】【問題1】作法圖形原理在直線l上求一點P,使PA+PB值最小連AB,與l交點即為P兩點之間線段最短PA+PB最小值為AB【問題2】“將軍飲馬”作法圖形原理在直線l上求一點P,使PA+PB值最小作B關(guān)于l的對稱點B連A B,與l交點即為P兩點之間線段最短PA+PB最小值為A B【問題3】作法圖形原理在直線、上分別求點M、N,使PMN的周長最小分別作點P關(guān)于兩直線的對稱點P和P,連PP,與兩直線交點即為M,N兩點之間線段最短PM+MN+PN的最小值為線段PP的長【問題4】作法圖形原理在直線、上分別求點M、N,使四邊形PQMN的周長最小分別作點Q 、P關(guān)于直線、的對稱點Q和P連QP,與兩直線交點即為M,N兩點之間線段最短四邊形PQMN周長的最小值為線段PP的長【問題5】“造橋選址”作法圖形原理直線,在、,上分別求點M、N,使MN,且AM+MN+BN的值最小將點A向下平移MN的長度單位得A,連AB,交于點N,過N作NM于M兩點之間線段最短AM+MN+BN的最小值為AB+MN【問題6】作法圖形原理在直線上求兩點M、N(M在左),使,并使AM+MN+NB的值最小將點A向右平移個長度單位得A,作A關(guān)于的對稱點A, 連AB,交直線于點N,將N點向左平移個單位得M兩點之間線段最短AM+MN+BN的最小值為AB+MN【問題7】作法圖形原理在上求點A,在上求點B,使PA+AB值最小作點P關(guān)于的對稱點P,作PB于B,交于A點到直線,垂線段最短PA+AB的最小值為線段PB的長【問題8】作法圖形原理A為上一定點,B為上一定點,在上求點M,在上求點N,使AM+MN+NB的值最小作點A關(guān)于的對稱點A,作點B關(guān)于的對稱點B,連AB交于M,交于N兩點之間線段最短AM+MN+NB的最小值為線段AB的長【問題9】作法圖形原理在直線l上求一點P,使的值最小連AB,作AB的中垂線與直線l的交點即為P垂直平分上的點到線段兩端點的距離相等0【問題10】作法圖形原理在直線l上求一點P,使的值最大作直線AB,與直線l的交點即為P三角形任意兩邊之差小于第三邊AB的最大值A(chǔ)B【問題11】作法圖形原理在直線l上求一點P,使的值最大作B關(guān)于l的對稱點B作直線A B,與l交點即為P三角形任意兩邊之差小于第三邊AB最大值A(chǔ)B【問題12】“費馬點”作法圖形原理ABC中每一內(nèi)角都小于120,在ABC內(nèi)求一點P,使PA+PB+PC值最小所求點為“費馬點”,即滿足APBBPCAPC120以AB、AC為邊向外作等邊ABD、ACE,連CD、BE相交于P,點P即為所求兩點之間線段最短PA+PB+PC最小值CD【精品練習(xí)】ADEPBC1如圖所示,正方形ABCD的面積為12,ABE是等邊三角形,點E在正方形ABCD內(nèi),在對角線AC上有一點P,使PD+PE的和最小,則這個最小值為( ) A B C3 D2如圖,在邊長為2的菱形ABCD中,ABC60,若將ACD繞點A旋轉(zhuǎn),當(dāng)AC、AD分別與BC、CD交于點E、F,則CEF的周長的最小值為( )A2BCD43四邊形ABCD中,BD90,C70,在BC、CD上分別找一點M、N,使AMN的周長最小時,AMN+ANM的度數(shù)為( )A120 B130 C110 D1404如圖,在銳角ABC中,AB4,BAC45,BAC的平分線交BC于點D,M、N分別是AD和AB上的動點,則BM+MN的最小值是 5如圖,RtABC中,C90,B30,AB6,點E在AB邊上,點D在BC邊上(不與點B、C重合),且EDAE,則線段AE的取值范圍是 6如圖,AOB30,點M、N分別在邊OA、OB上,且OM1,ON3,點P、Q分別在邊OB、OA上,則MPPQQN的最小值是_(注“勾股定理”:直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方,即RtABC中,C90,則有)7如圖,三角形ABC中,OABAOB15,點B在x軸的正半軸,坐標(biāo)為B(,0)OC平分AOB,點M在OC的延長線上,點N為邊OA上的點,則MAMN的最小值是_8已知A(2,4)、B(4,2)C在軸上,D在軸上,則四邊形ABCD的周長最小值為 ,此時 C、D兩點的坐標(biāo)分別為 9已知A(1,1)、B(4,2)(1)P為軸上一動點,求PA+PB的最小值和此時P點的坐標(biāo);(2)P為軸上一動點,求的值最大時P點的坐標(biāo);(3)CD為軸上一條動線段,D在C點右邊且CD1,求當(dāng)AC+CD+DB的最小值和此時C點的坐標(biāo);10點C為AOB內(nèi)一點(1)在OA求作點D,OB上求作點E,使CDE的周長最小,請畫出圖形; (2)在(1)的條件下,若AOB30,OC10,求CDE周長的最小值和此時DCE的度數(shù)11(1)如圖,ABD和ACE均為等邊三角形,BE、CE交于F,連AF,求證:AF+BF+CFCD;(2)在ABC中,ABC30,AB6,BC8,A,C均小于12
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