河南省通許縣麗星中學(xué)高中數(shù)學(xué) 生活中的優(yōu)化問題舉例課件 新人教A版選修22.ppt

1 4生活中的優(yōu)化問題舉例 知識(shí)回顧 一 如何判斷函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性 f x 為增函數(shù) f x 為減函數(shù) 二 如何求函數(shù)的極值與最值 知識(shí)背景 生活中經(jīng)常遇到求利潤最大 用料最省 效率最高等問題 這些問題通常稱為優(yōu)化問題 通過前面的學(xué)習(xí) 我們知道 導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大 小 值的有力工具 本節(jié)我們運(yùn)用導(dǎo)數(shù) 解決一些生活中的優(yōu)化問題 例1 海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì)學(xué)?；虬嗉?jí)舉行活動(dòng) 通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳 現(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖3 4 1所示的豎向張貼的海報(bào) 要求版心面積為128dm2 上 下兩邊各空2dm 左 右兩邊各空1dm 如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸 才能使四周空白面積最小 圖3 4 1 因此 x 16是函數(shù)s x 的極小值 也是最小值點(diǎn) 所以 當(dāng)版心高為16dm 寬為8dm時(shí) 能使四周空白面積最小 解法二 由解法 一 得 問題2 飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤有影響嗎 你是否注意過 市場(chǎng)上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些 你想從數(shù)學(xué)上知道它的道理嗎 是不是飲料瓶越大 飲料公司的利潤越大 例2 飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤的影響下面是某品牌飲料的三種規(guī)格不同的產(chǎn)品 若它們的價(jià)格如下表所示 則 1 對(duì)消費(fèi)者而言 選擇哪一種更合算呢 2 對(duì)制造商而言 哪一種的利潤更大 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料 瓶子的制造成本是0 8pr2分 其中r是瓶子的半徑 單位是厘米 已知每出售1ml的飲料 制造商可獲利0 2分 且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm 瓶子半徑多大時(shí) 能使每瓶飲料的利潤最大 瓶子半徑多大時(shí) 每瓶飲料的利潤最小 減函數(shù) 增函數(shù) 1 07p 每瓶飲料的利潤 背景知識(shí) 解 由于瓶子的半徑為r 所以每瓶飲料的利潤是 當(dāng)半徑r 時(shí) f r 0它表示f r 單調(diào)遞增 即半徑越大 利潤越高 當(dāng)半徑r 時(shí) f r 0它表示f r 單調(diào)遞減 即半徑越大 利潤越低 1 半徑為 cm時(shí) 利潤最小 這時(shí) 表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本 此時(shí)利潤是負(fù)值 半徑為 cm時(shí) 利潤最大 1 當(dāng)半徑為2cm時(shí) 利潤最小 這時(shí)f 2 0 2 當(dāng)半徑為6cm時(shí) 利潤最大 從圖中可以看出 從圖中 你還能看出什么嗎 問題3 磁盤的最大存儲(chǔ)量問題 1 你知道計(jì)算機(jī)是如何存儲(chǔ) 檢索信息的嗎 2 你知道磁盤的結(jié)構(gòu)嗎 3 如何使一個(gè)圓環(huán)狀的磁盤存儲(chǔ)盡可能多的信息 例3 現(xiàn)有一張半徑為r的磁盤 它的存儲(chǔ)區(qū)是半徑介于r與r的環(huán)行區(qū)域 是不是r越小 磁盤的存儲(chǔ)量越大 2 r為多少時(shí) 磁盤具有最大存儲(chǔ)量 最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息 解 存儲(chǔ)量 磁道數(shù) 每磁道的比特?cái)?shù) 設(shè)存儲(chǔ)區(qū)的半徑介于r與r之間 由于磁道之間的寬度必須大于m 且最外面的磁道不存儲(chǔ)人何信息 所以磁道最多可達(dá)又由于每條磁道上的比特?cái)?shù)相同 為獲得最大的存儲(chǔ)量 最內(nèi)一條磁道必須裝滿 即每條磁道上的比特?cái)?shù)可達(dá)到所以 磁道總存儲(chǔ)量 1 它是一個(gè)關(guān)于r的二次函數(shù) 從函數(shù)的解析式上可以判斷 不是r越小 磁盤的存儲(chǔ)量越大 2 為求的最大值 計(jì)算 令 解得 因此 當(dāng)時(shí) 磁道具有最大的存儲(chǔ)量 最大存儲(chǔ)量為 由上述例子 我們不難發(fā)現(xiàn) 解決優(yōu)化問題的基本思路是 優(yōu)化問題 用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題 用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題 優(yōu)化問題的答案 上述解決優(yōu)化問題的過程是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)建模過程 解 設(shè)箱底邊長(zhǎng)為x 則箱高h(yuǎn) 60 x 2 箱子容積v x x2h 60 x2 x3 2 0 x 60 令 解得x 0 舍去 x 40 且v 40 16000 由題意可知 當(dāng)x過小 接近0 或過大 接近60 時(shí) 箱子的容積很小 因此 16000是最大值 答 當(dāng)x 40cm時(shí) 箱子容積最大 最大容積是16000cm3 練習(xí)1 在邊長(zhǎng)為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形 再把它的邊沿虛線折起 如圖 做成一個(gè)無蓋的方底箱子 箱底邊長(zhǎng)為多少時(shí) 箱子的容積最大 最大容積是多少 解 設(shè)箱底邊長(zhǎng)為x 則箱高h(yuǎn) 60 x 2 箱子容積v x x2h 60 x2 x3 2 0 x 60 令 解得x 0 舍去 x 40 且v 40 16000 由題意可知 當(dāng)x過小 接近0 或過大 接近60 時(shí) 箱子的容積很小 因此 16000是最大值 答 當(dāng)x 40cm時(shí) 箱子容積最大 最大容積16000cm3 練習(xí) 練習(xí)2 某種圓柱形的飲料罐的容積一定時(shí) 如何確定它的高與底半徑 使得所用材料最省 r h 解設(shè)圓柱的高為h 底面半徑為r 則表面積為s r 2 rh 2 r2 又v r2h 定值 即h 2r 可以判斷s r 只有一個(gè)極值點(diǎn) 且是最小值點(diǎn) 答罐高與底的直徑相等時(shí) 所用材料最省 解 設(shè)b x 0 0 x