高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的應(yīng)用3.1.1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)課件新人教A版

第三章函數(shù)的應(yīng)用3 1函數(shù)與方程3 1 1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) 主題1函數(shù)的零點(diǎn)1 觀察下列一元二次方程與對應(yīng)的二次函數(shù) 1 方程x2 2x 3 0與函數(shù)y x2 2x 3 2 方程x2 2x 1 0與函數(shù)y x2 2x 1 3 方程x2 2x 3 0與函數(shù)y x2 2x 3 結(jié)合下面的表格 完成填空 1 0 3 0 1 0 無 1 3 1 無 2 結(jié)合問題1 你認(rèn)為方程f x 0的根與對應(yīng)函數(shù)y f x 的圖象有什么關(guān)系 提示 方程f x 0的根與函數(shù)y f x 的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等 結(jié)論 1 函數(shù)零點(diǎn)的定義對于函數(shù)y f x 使f x 0的 x叫做函數(shù)y f x 的零點(diǎn) 實(shí)數(shù) 2 函數(shù)零點(diǎn)的意義方程f x 0有實(shí)數(shù)根 函數(shù)y f x 的圖象與 有交點(diǎn) 函數(shù)y f x 有 x軸 零點(diǎn) 微思考 函數(shù)的零點(diǎn)是一個點(diǎn) 還是一個實(shí)數(shù) 是不是所有的函數(shù)都有零點(diǎn) 提示 函數(shù)的零點(diǎn)是實(shí)數(shù)而不是點(diǎn) 例如 函數(shù)f x x 1的零點(diǎn)是 1 而不是 1 0 并不是所有的函數(shù)都有零點(diǎn) 例如函數(shù)f x y x2 1均沒有零點(diǎn) 主題2函數(shù)零點(diǎn)的判斷1 觀察二次函數(shù)f x x2 2x 3的圖象 發(fā)現(xiàn)這個二次函數(shù)在區(qū)間 2 1 內(nèi)有零點(diǎn) 計算f 2 與f 1 的乘積 你能發(fā)現(xiàn)這個乘積有什么特點(diǎn) 提示 f 2 f 1 2 2 2 2 3 12 2 1 3 5 4 20 0 即當(dāng)f 2 f 1 0時 函數(shù)f x x2 2x 3在區(qū)間 2 1 內(nèi)有零點(diǎn)x 1 它是方程x2 2x 3 0的一個根 2 同樣 函數(shù)f x x2 2x 3在區(qū)間 2 4 內(nèi)有零點(diǎn) 是否也有f 2 f 4 0呢 提示 經(jīng)計算f 2 f 4 0 即當(dāng)f 2 f 4 0時 函數(shù)f x x2 2x 3在 2 4 內(nèi)有零點(diǎn)x 3 它是方程x2 2x 3 0的一個根 結(jié)論 如果函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上的圖象是 的一條曲線 并且 那么函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)有 即存在c a b 使得 這個c也就是方程f x 0的 連續(xù)不斷 f a f b 0 零點(diǎn) f c 0 根 微思考 1 零點(diǎn)的存在性定理中 兩個條件 函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線 f a f b 0 是不是缺一不可 提示 是的 兩個條件缺一不可 例如f x f 1 f 1 0 但顯然f x 在 1 1 內(nèi)沒有零點(diǎn) 2 對于在區(qū)間 a b 上圖象連續(xù)不斷的函數(shù)f x 滿足f a f b 0時 函數(shù)y f x 在 a b 上沒有零點(diǎn) 對嗎 提示 不對 例如 f x x 2 2滿足f 1 f 3 0 但在區(qū)間 1 3 上有零點(diǎn)2 存在性定理只是給出了零點(diǎn)存在的兩個條件 但非唯一的存在條件 同時存在性定理沒有否認(rèn)滿足這兩個條件時函數(shù)零點(diǎn)存在的可能性 3 函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)存在零點(diǎn) 一定有f a f b 0 預(yù)習(xí)自測 1 函數(shù)f x x 1的零點(diǎn)是 A 1B 2C 3D 0 解析 選A 令f x 0得x 1 0 即x 1 故f x 的零點(diǎn)是1 2 函數(shù)f x 3x x2的零點(diǎn)所在區(qū)間是 A 1 2 B 2 1 C 0 1 D 1 0 解析 選D 因為f 1 3 1 10 所以f 1 f 0 0 故選D 3 若函數(shù)y f x 的零點(diǎn)為1 則函數(shù)y f x 1 的零點(diǎn)為 解析 因為函數(shù)y f x 的零點(diǎn)為1 則f 1 0 令x 1 1得x 0 所以函數(shù)y f x 1 的零點(diǎn)為0 答案 0 4 函數(shù)f x x2 零點(diǎn)的個數(shù)為 仿照教材P88例1的解析過程 解析 方法一 令x2 0 得x2 即x3 1 解得x 1 故函數(shù)f x x2 只有一個零點(diǎn) 方法二 由x2 0 得x2 令h x x2 x 0 g x 在同一坐標(biāo)系中畫出h x 和g x 的圖象 由圖可知兩函數(shù)圖象只有一個交點(diǎn) 故函數(shù)f x x2 只有一個零點(diǎn) 答案 1 類型一求函數(shù)的零點(diǎn)或判斷零點(diǎn)的個數(shù) 典例1 1 2017 六安高一檢測 函數(shù)f x x2 bx 1有一個零點(diǎn) 則b的值為 A 2B 2C 2D 3 2 求下列函數(shù)的零點(diǎn) f x x3 8 f x f x 解題指南 1 將函數(shù)f x x2 bx 1的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題 利用二次函數(shù)判別式求出參數(shù)范圍 2 將求y f x 的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程f x 0的根的問題 進(jìn)而求出函數(shù)的零點(diǎn) 解析 1 選C 因為函數(shù)f x x2 bx 1有一個零點(diǎn) 所以方程x2 bx 1 0有一個根 所以b2 4 0 所以b 2 2 令x3 8 0 得x 2 所以函數(shù)f x x3 8的零點(diǎn)為 2 函數(shù)f x 的定義域為 0 3 3 令 0 得x 2 0或lnx 0 所以x 2 舍去 或x 1 所以函數(shù)f x 的零點(diǎn)為1 當(dāng)x 2或x 1時 令x2 x 2 0 得x 2或 1 當(dāng) 1 x 2時 令2x 1 0 得2x 1 所以x 0 所以函數(shù)的零點(diǎn)為2 1 0 方法總結(jié) 判斷函數(shù)存在零點(diǎn)的三種方法 1 方程法 若方程f x 0的解可求或能判斷解的個數(shù) 可通過方程的解來判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)或判斷零點(diǎn)的個數(shù) 2 圖象法 由f x g x h x 0 得g x h x 在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y1 g x 和y2 h x 的圖象 根據(jù)兩個圖象交點(diǎn)的個數(shù)來判定函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù) 3 定理法 函數(shù)y f x 的圖象在區(qū)間 a b 上是一條連續(xù)不斷的曲線 由f a f b 0即可判斷函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)至少有一個零點(diǎn) 若函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上是單調(diào)函數(shù) 則函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)只有一個零點(diǎn) 鞏固訓(xùn)練 1 2016 杭州高一檢測 函數(shù)f x log2x x 2的零點(diǎn)個數(shù)為 A 0B 1C 2D 3 2 討論函數(shù)f x ax 1 x 2 a 0 的零點(diǎn) 解析 1 選C 令y1 log2x y2 x 2 在同一坐標(biāo)下作出y1與y2的圖象 由圖象可知y1與y2有兩個交點(diǎn) 故f x 有兩個零點(diǎn) 2 令 ax 1 x 2 0得x1 x2 2 a 0 當(dāng)a 時 x1 x2 即函數(shù)f x 的零點(diǎn)為2 當(dāng)a 時 x1 x2 即函數(shù)f x 的零點(diǎn)為和2 類型二函數(shù)零點(diǎn)的判斷 典例2 1 2017 德州高一檢測 已知函數(shù)f x 1 log2x 若x0是方程f x 0的根 則x0 2 2017 正定高一檢測 函數(shù)f x 2x 試確定f x 的零點(diǎn)的大致區(qū)間 解題指南 1 方程f x 0的根 即為函數(shù)f x 1 log2x的零點(diǎn) 結(jié)合各選項 分別計算函數(shù)取不同值的符號 根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理判斷即可 2 先判斷f x 連續(xù) 判斷f x 有一個零點(diǎn) 再初步判斷常見的函數(shù)值 如f 1 f 2 等 估計出大致區(qū)間 根據(jù)零點(diǎn)的判斷方法 只需計算所給區(qū)間的端點(diǎn)函數(shù)值 函數(shù)值異號對應(yīng)的區(qū)間即為所求 解析 1 選B 因為所以x0 2 因為函數(shù)y 2x的圖象與y 的圖象只有一個交點(diǎn) 且容易計算f 1 2 3 10 所以f 1 f 2 0 由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理知 函數(shù)f x 2x 的零點(diǎn)的大致區(qū)間為 1 2 延伸探究 1 本例 2 中的函數(shù)改為f x 2 x 其他條件不變 結(jié)果如何 解析 易判斷函數(shù)f x 2 x 為偶函數(shù) 因為y 2x 的零點(diǎn)區(qū)間為 1 2 所以函數(shù)f x 2 x 的零點(diǎn)區(qū)間為 2 1 1 2 2 把本例 2 的條件改為函數(shù)f x 2x a在 1 2 上有零點(diǎn) 試確定a的取值范圍 解析 易判斷函數(shù)f x 2x a在 1 2 上為增函數(shù) 又函數(shù)f x 2x a的一個零點(diǎn)在區(qū)間 1 2 內(nèi) 所以f 1 0 解得 1 a 方法總結(jié) 判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的三個步驟 1 代 將區(qū)間端點(diǎn)代入函數(shù)求出函數(shù)的值 2 判 把所得函數(shù)值相乘 并進(jìn)行符號判斷 3 結(jié) 若符號為正且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù) 則在該區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn) 若符號為負(fù)且函數(shù)連續(xù) 則在該區(qū)間內(nèi)至少有一個零點(diǎn) 補(bǔ)償訓(xùn)練 1 2017 長沙高一檢測 根據(jù)表中的數(shù)據(jù) 可以判定函數(shù)f x ex x 2的一個零點(diǎn)所在的區(qū)間為 A 1 0 B 0 1 C 1 2 D 2 3 2 確定函數(shù)f x lgx 的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間 解題指南 1 利用表中的數(shù)據(jù)分別計算f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 的值 找出函數(shù)值異號的兩點(diǎn)對應(yīng)的區(qū)間即為所求 2 根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在的判斷方法求解 解析 1 選C 因為f x ex x 2 由題設(shè)知f 1 0 280 故函數(shù)f x ex x 2的一個零點(diǎn)所在區(qū)間為 1 2 2 因在第一象限內(nèi)y lgx的圖象與y 的圖象只有一個交點(diǎn) 且容易計算 f 1 10 所以f 1 f 10 0 由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理知 函數(shù)f x lgx 的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是 1 10 拓展類型 一元二次方程根的分布問題 典例 已知關(guān)于x的一元二次方程x2 2mx 2m 1 0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 其中一根在區(qū)間 1 0 內(nèi) 另一根在區(qū)間 1 2 內(nèi) 求m的取值范圍 解題指南 借助二次函數(shù)的圖象 討論區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值的符號 列出不等式組 即可解得實(shí)數(shù)m的取值范圍 解析 由題意知 拋物線f x x2 2mx 2m 1與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)