機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)題

填空題1.組成優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型的三要素是 設(shè)計(jì)變量 、目標(biāo)函數(shù) 、約束條件。2.函數(shù)在點(diǎn)處的梯度為，海賽矩陣為3.目標(biāo)函數(shù)是一項(xiàng)設(shè)計(jì)所追求的指標(biāo)的數(shù)學(xué)反映，因此對(duì)它最基本的要求是能用來評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)的優(yōu)劣，同時(shí)必須是設(shè)計(jì)變量的可計(jì)算函數(shù) 。4.機(jī)械優(yōu)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)規(guī)劃法的核心：一、建立搜索方向，二、計(jì)算最佳步長(zhǎng)因子5.外推法確定搜索區(qū)間，函數(shù)值形成 高-低-高 區(qū)間6.數(shù)學(xué)規(guī)劃法的迭代公式是 ，其核心是 建立搜索方向， 和 計(jì)算最佳步長(zhǎng) 7.若n維空間中有兩個(gè)非零向量d0，d1，滿足(d0)TGd1=0，則d0、d1之間存在_共軛關(guān)系8.與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值 下降 方向，與梯度成直角的方向?yàn)楹瘮?shù)值不變方向。9.隨機(jī)方向法所用的步長(zhǎng)一般按 加速步長(zhǎng) 法來確定，此法是指依次迭代的步長(zhǎng)按一定的比例 遞增的方法。 10.最速下降法以負(fù)梯度 方向作為搜索方向，因此最速下降法又稱為 梯度法，其收斂速度較 慢 。11.二元函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值的充分條件是必要條件是該點(diǎn)處的海賽矩陣正定12.拉格朗日乘子法的基本思想是通過增加變量將等式約束 優(yōu)化問題變成 無約束優(yōu)化問題，這種方法又被稱為 升維 法。13改變復(fù)合形形狀的搜索方法主要有反射，擴(kuò)張，收縮，壓縮 14坐標(biāo)輪換法的基本思想是把多變量 的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為 單變量 的優(yōu)化問題15在選擇約束條件時(shí)應(yīng)特別注意避免出現(xiàn) 相互矛盾的約束， ，另外應(yīng)當(dāng)盡量減少不必要的約束 。16目標(biāo)函數(shù)是n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在n+1, 空間中描述出來，為了在n維空間中反映目標(biāo)函數(shù)的變化情況，常采用 目標(biāo)函數(shù)等值面 的方法。17.數(shù)學(xué)規(guī)劃法的迭代公式是 ，其核心是 建立搜索方向， 和 計(jì)算最佳步長(zhǎng) 18.協(xié)調(diào)曲線法是用來解決 設(shè)計(jì)目標(biāo)互相矛盾 的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的。19.機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般過程中， 建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型 是首要和關(guān)鍵的一步，它是取得正確結(jié)果的前提。名詞解釋1.凸規(guī)劃 對(duì)于約束優(yōu)化問題 若、都為凸函數(shù)，則稱此問題為凸規(guī)劃。2.可行搜索方向是指當(dāng)設(shè)計(jì)點(diǎn)沿該方向作微量移動(dòng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值下降，且不會(huì)越出可行域。3.設(shè)計(jì)空間：n個(gè)設(shè)計(jì)變量為坐標(biāo)所組成的實(shí)空間，它是所有設(shè)計(jì)方案的組合4.收斂性是指某種迭代程序產(chǎn)生的序列收斂于5.非劣解：是指若有m個(gè)目標(biāo)，當(dāng)要求m-1個(gè)目標(biāo)函數(shù)值不變壞時(shí)，找不到一個(gè)X，使得另一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值比，則將此為非劣解。6.黃金分割法：是指將一線段分成兩段的方法，使整段長(zhǎng)與較長(zhǎng)段的長(zhǎng)度比值等于較長(zhǎng)段與較短段長(zhǎng)度的比值。7.可行域：滿足所有約束條件的設(shè)計(jì)點(diǎn)，它在設(shè)計(jì)空間中的活動(dòng)范圍稱作可行域。簡(jiǎn)答題1.試述兩種一維搜索方法的原理，它們之間有何區(qū)別答：搜索的原理是：區(qū)間消去法原理區(qū)別：（1）、試探法：給定的規(guī)定來確定插入點(diǎn)的位置，此點(diǎn)的位置確定僅僅按照區(qū)間的縮短如何加快，而不顧及函數(shù)值的分布關(guān)系，如黃金分割法（2）、插值法：沒有函數(shù)表達(dá)式，可以根據(jù)這些點(diǎn)處的函數(shù)值，利用插值方法建立函數(shù)的某種近似表達(dá)式，近而求出函數(shù)的極小點(diǎn)，并用它作為原來函數(shù)的近似值。這種方法稱為插值法，又叫函數(shù)逼近法。2.在變尺度法中，為使變尺度矩陣與近似，并具有容易計(jì)算的特點(diǎn)，必須附加哪些條件？答：（1）必須是對(duì)稱正定的（2）要求有簡(jiǎn)單的迭代形式 （3）必須滿足擬牛頓條件3共軛梯度法中，共軛方向和梯度之間的關(guān)系是怎樣的？試畫圖說明。答：對(duì)于二次函數(shù)，,從點(diǎn)出發(fā)，沿G的某一共軛方向作一維搜索，到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)處的搜索方向應(yīng)滿足，即終點(diǎn)與始點(diǎn)的梯度之差與的共軛方向正交。4為什么說共軛梯度法實(shí)質(zhì)上是對(duì)最速下降法進(jìn)行的一種改進(jìn)？.答：共軛梯度法是共軛方向法中的一種，在該方法中每一個(gè)共軛向量都依賴于迭代點(diǎn)處的負(fù)梯度構(gòu)造出來的。共軛梯度法的第一個(gè)搜索方向取負(fù)梯度方向，這是最速下降法。其余各步的搜索方向是將負(fù)梯度偏轉(zhuǎn)一個(gè)角度，也就是對(duì)負(fù)梯度進(jìn)行修正。所以共軛梯度法的實(shí)質(zhì)是對(duì)最速下降法的一種改進(jìn)。5簡(jiǎn)述隨機(jī)方向法的基本思路答：隨機(jī)方向法的基本思路是在可行域內(nèi)選擇一個(gè)初始點(diǎn)，利用隨機(jī)數(shù)的概率特性，產(chǎn)生若干個(gè)隨機(jī)方向，并從中選擇一個(gè)能使目標(biāo)函數(shù)值下降最快的隨機(jī)方向作為可行搜索方向。從初始點(diǎn)出發(fā)，沿搜索方向以一定的步長(zhǎng)進(jìn)行搜索，得到新的值，新點(diǎn)應(yīng)該滿足一定的條件，至此完成第一次迭代。然后將起始點(diǎn)移至，重復(fù)以上過程，經(jīng)過若干次迭代計(jì)算后，最終取得約束最優(yōu)解。6. 黃金分割法：是指將一線段分成兩段的方法，使整段長(zhǎng)與較長(zhǎng)段的長(zhǎng)度比值等于較長(zhǎng)段與較短段長(zhǎng)度的比值。計(jì)算題1.試用牛頓法求的最優(yōu)解，設(shè)。初始點(diǎn)為，則初始點(diǎn)處的函數(shù)值和梯度分別為 ，沿梯度方向進(jìn)行一維搜索，有 為一維搜索最佳步長(zhǎng)，應(yīng)滿足極值必要條件 ，從而算出一維搜索最佳步長(zhǎng) 則第一次迭代設(shè)計(jì)點(diǎn)位置和函數(shù)值，從而完成第一次迭代。按上面的過程依次進(jìn)行下去，便可求得最優(yōu)解。2.試用黃金分割法求函數(shù)的極小點(diǎn)和極小值，設(shè)搜索區(qū)間（迭代一次即可）解：顯然此時(shí)，搜索區(qū)間，首先插入兩點(diǎn)，由式計(jì)算相應(yīng)插入點(diǎn)的函數(shù)值。因?yàn)椤Ｋ韵^(qū)間，得到新的搜索區(qū)間，即。第一次迭代：插入點(diǎn)，相應(yīng)插入點(diǎn)的函數(shù)值，由于，故消去所以消去區(qū)間，得到新的搜索區(qū)間，則形成新的搜索區(qū)間。至此完成第一次迭代，繼續(xù)重復(fù)迭代過程，最終可得到極小點(diǎn)。3.用牛頓法求目標(biāo)函數(shù)+5的極小點(diǎn)，設(shè)。解：由 ，則 ，其逆矩陣為因此可得： ，從而經(jīng)過一次迭代即求得極小點(diǎn)，4.下表是用黃金分割法求目標(biāo)函數(shù) 的極小值的計(jì)算過程，請(qǐng)完成下表。迭代序號(hào)a b比較0 0.2 11解：顯然此時(shí)，搜索區(qū)間，首先插入兩點(diǎn)，由式計(jì)算相應(yīng)插入點(diǎn)的函數(shù)值。因?yàn)?。所以消去區(qū)間，得到新的搜索區(qū)間，即。第一次迭代：插入點(diǎn)，相應(yīng)插入點(diǎn)的函數(shù)值，由于，故消去所以消去區(qū)間，得到新的搜