兩無限大介質(zhì)平面的鏡像.doc

兩無限大介質(zhì)平面的像電荷楊河林（華中師范大學(xué)物理系 武漢 430079）摘要： 討論了兩無限大介質(zhì)平面的像電荷不同求法，分析了像電荷與所假設(shè)空間介質(zhì)電容率有關(guān)。 在求靜電場問題中，最容易掌握的方法是鏡像法。它的理論基礎(chǔ)是唯一性定理和疊加原理。對于在一些特殊邊界下有限個(gè)點(diǎn)電荷所激發(fā)電場的一類問題，求解電位的方法是用假想的一個(gè)或幾個(gè)像電荷代替分界面（導(dǎo)體面或介質(zhì)面）上復(fù)雜的電荷（感應(yīng)或極化）分布對電位的貢獻(xiàn)，之后就不再考慮邊界的作用。這樣不再直接求解泊松方程，只需求解像電荷和邊界內(nèi)給定電荷共同激發(fā)的電位，從而使求解簡化。按照唯一性定理，在所求電位區(qū)域內(nèi)所得到的解只要滿足泊松方程和邊界條件，這個(gè)解就是唯一正確的解。這樣對像電荷的要求有兩點(diǎn)一是像電荷不能在所求電位的區(qū)域內(nèi)，二是包括像電荷在內(nèi)的空間所有電荷產(chǎn)生的電位要滿足邊界條件。至于像電荷的位置和大小在有些問題中并不是唯一的。以下就以兩無限大介質(zhì)平面為例討論不同像電荷的求法。 Z q (x,y,z) q a XO (x,y,z) 兩無限大介質(zhì)平面的像電荷 如圖所示，空間充滿兩種電容率分別為和的介質(zhì)，分界面為以無限大平面，在距界面為a處置一點(diǎn)電荷q，求空間電位的分布。 設(shè)介質(zhì)、中電位分別為和，所滿足的定解問題為：（1）1. 像電荷求法1. 考慮介質(zhì)的微觀本質(zhì)，把空間電位看作是給定電荷、極化電荷和介質(zhì)界面上極化電荷產(chǎn)生的，而極化電荷對電位的貢獻(xiàn)可用像電荷來等效。這相當(dāng)于把空間看作是充滿了的電容率為介質(zhì)。在求時(shí)像電荷在介質(zhì)中距界面為b；在求時(shí)像電荷在介質(zhì)中距界面也為b。電位的分布為： （2）式中：，。由邊界條件得： （3）要使任意的x,y上式均成立，則必有：b=a, （4） （5）同時(shí)，如設(shè)n為從指向的單位法矢，、分別為介質(zhì)中的極化強(qiáng)度，可求得界面上的極化電荷分布及總電量為 （6） （7）討論：（1），則 =0，電位。（2）（導(dǎo)體）則 =-q，電位，2. 像電荷求法2. 依據(jù)無限大介質(zhì)中點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位是，在求時(shí)把空間看作是充滿了的電容率為介質(zhì)，像電荷在下半空間中距界面為a；在求時(shí)把空間看作是充滿了的電容率為介質(zhì)，像電荷在上半空間中距界面為a。電位的分布為： （8）式中：，。由邊界條件得： （9） （10）把（10）代入（8）所求電位分布與像電荷求法1求得的結(jié)果一樣。同理可求得界面上的極化電荷總電量為 。討論：（1），則 ，電位。 （2）（導(dǎo)體）則 =-q，電位，3. 像電荷求法3. 與前兩種方法相似，在求時(shí)把上半空間看作是充滿了的電容率為介質(zhì)，下半空間看作是充滿了的電容率為介質(zhì)，此時(shí)的分界面對電位的計(jì)算無任何作用，像電荷在下半空間中距界面為a；在求時(shí)把空間看作是充滿了的電容率為介質(zhì)，像電荷在上半空間中距界面為a，電位的分布為： （11）式中：，。由邊界條件得： 同理可求得界面上的極化電荷總電量為 。討論：（1），則 ，電位。 （2）（導(dǎo)體）則 ，電位，.4. 結(jié)論以上, 我們只列舉了三種像電荷求法,其實(shí)作為求法3的推廣，在求時(shí)把上半空間看作是充滿了電容率為介質(zhì)，下半空間看作是充滿了任意電容率的介質(zhì)都是可以的，像電荷在下半空間中距界面為a；在求時(shí)把空間看作是充滿了的電容率為（或是）介質(zhì)，像電荷在上半空間中距界面為a。同理得：，式中：，。界面上的極化電荷總電量為 。討論：（1），則 ，電位（2）（導(dǎo)體）則 ，電位，。綜上所述，對于兩無限大介質(zhì)平面，在求像電荷所產(chǎn)生的電位時(shí)，由于界面的作用已不考慮，空間電容率的分布可以任意假設(shè)，像電荷就有不同的取值，像電荷無論怎么取空間電位的分布是唯一的。通過這個(gè)例子一方面能夠更好地掌握鏡像法的運(yùn)用另一方面也是對靜電場唯一性定理的具體認(rèn)識。參考文獻(xiàn)：1 郭碩鴻. 電動(dòng)力學(xué). 北京: 高等教育出版社, 19972 宋福, 李英華.西安: 西安交通大學(xué)出版社, 2000Image charges of two dielectric infinite planeYang He-linAbstract: Different image charges rel