數(shù)學(xué)中常用不等式及其應(yīng)用.doc

目錄數(shù)學(xué)中常用不等式及其應(yīng)用21.前言22.研究背景及研究意義32.1 不等式研究背景32.2 研究意義43.高等數(shù)學(xué)常用不等式舉例介紹53.1柯西不等式53.2拉格朗日中值定理53.3均值不等式84.數(shù)學(xué)中不等式的中的應(yīng)用94.1 構(gòu)造條件不等式對(duì)命題進(jìn)行證明94.2 利用微分中值定理進(jìn)行不等式命題的證明125.總結(jié)15參考文獻(xiàn)17數(shù)學(xué)中常用不等式及其應(yīng)用1.前言正所謂“問(wèn)渠那得清如許。為有源頭活水來(lái)”。回顧我國(guó)建國(guó)近70年的發(fā)展歷程，我國(guó)堅(jiān)持把國(guó)民教育在經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展中優(yōu)先發(fā)展的戰(zhàn)略地位，并制定了優(yōu)先發(fā)展教育和“科教興國(guó)”的重大戰(zhàn)略決策，促進(jìn)教育的改革和發(fā)展。我國(guó)教育改革始終堅(jiān)持黨對(duì)教育的領(lǐng)導(dǎo)和政府對(duì)教育的統(tǒng)籌，切實(shí)保證“科教興國(guó)”戰(zhàn)略和教育優(yōu)先發(fā)展地位的落實(shí)。在教育改革中義務(wù)教育是提高國(guó)民素質(zhì)和發(fā)展教育事業(yè)的基礎(chǔ)，是社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè)的奠基工程，涉及廣大人民群眾的根本利益。沒(méi)有一個(gè)好的底子，就不能決定以后的參天大樹(shù)枝葉是否會(huì)繁密。中央確定把基礎(chǔ)教育作為整個(gè)教育工作的重點(diǎn)，把“兩基”作為當(dāng)代教育發(fā)展的“重中之重”，這是我國(guó)教育發(fā)展的一個(gè)重要指導(dǎo)思想，是貫徹科教興國(guó)戰(zhàn)略的重大措施。自2008年秋季起國(guó)家在全國(guó)范圍實(shí)施了義務(wù)教育，使許多貧困家庭的孩子都能夠享受接受教育的權(quán)利?；仡櫄v史我們可以看到，從提出“兩基”，到逐步明確“兩基”目標(biāo)和具體規(guī)劃，是黨和國(guó)家根據(jù)社會(huì)主義經(jīng)濟(jì)、政治和社會(huì)發(fā)展的客觀需要，多年醞釀，逐步成熟，并適時(shí)做出的慎重決策。作為大學(xué)生的我們有責(zé)任也有義務(wù)為國(guó)家教育事業(yè)的發(fā)展做出自己的貢獻(xiàn)，將我們學(xué)習(xí)到的知識(shí)應(yīng)用到教育中去，而中學(xué)教育就是一個(gè)很好的切入點(diǎn)。隨著知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代的到來(lái)，教育迎來(lái)了新的挑戰(zhàn)，國(guó)家開(kāi)始注重創(chuàng)新教育，指出教育要把傳授基礎(chǔ)知識(shí)和逐步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造性思維結(jié)合起來(lái)，創(chuàng)造良好的教學(xué)環(huán)境，有意識(shí)的培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造動(dòng)機(jī)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力，為國(guó)家培養(yǎng)出適應(yīng)新世紀(jì)發(fā)展的一代新人。不等式是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的重要部分。不等式是刻畫現(xiàn)實(shí)世界和日常生活、生產(chǎn)和科學(xué)研究中的不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，反映了事物在量上的區(qū)別，是研究數(shù)量關(guān)系和進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必備知識(shí)。此外，不等式在高中數(shù)學(xué)中占有舉足輕重的地位，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的基礎(chǔ)知識(shí)。2.研究背景及研究意義2.1 不等式研究背景繼義務(wù)教育階段課程改革的全面推進(jìn)，我國(guó)高校規(guī)定了高校數(shù)學(xué)教學(xué)的課程目標(biāo)設(shè)置大綱。目前，高校數(shù)學(xué)課程改革己經(jīng)得到了普遍實(shí)施和開(kāi)展，我們知道，新課程改革的核心環(huán)節(jié)是課程實(shí)施，而課程實(shí)施的基本方式是教學(xué)，那么如何將新課程的理念和構(gòu)想落實(shí)到實(shí)處，這是需要通過(guò)實(shí)際的課堂教學(xué)來(lái)完成的。高校數(shù)學(xué)課程改革對(duì)教學(xué)提出了以下新的要求：數(shù)學(xué)教學(xué)要以學(xué)生為本，以學(xué)生的發(fā)展為本，應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)際情況和興趣愛(ài)好來(lái)合理地選擇課程和制定學(xué)習(xí)計(jì)劃；高校數(shù)學(xué)教學(xué)要打好學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)，注重發(fā)展能力；高校數(shù)學(xué)教學(xué)要注重聯(lián)系，提高數(shù)學(xué)整體的認(rèn)識(shí)；高校數(shù)學(xué)教學(xué)中要關(guān)注數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生科學(xué)觀的形成；數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)改善教與學(xué)的方式，使高校學(xué)生主動(dòng)地學(xué)習(xí)。不等式與數(shù)、式、方程、函數(shù)、三角等內(nèi)容有密切的聯(lián)系，體現(xiàn)出了“工具”的作用。如研究函數(shù)的定義域時(shí)常用到分式的分母不為零、偶次根式的被開(kāi)方數(shù)非負(fù)、對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0等不等關(guān)系；求函數(shù)定義域、值域（最值）、單調(diào)性；討論方程根與系數(shù)的關(guān)系；數(shù)列的項(xiàng)的最值與前n項(xiàng)和的最值；討論方程與方程組的解的情況，在一元二次求根公式的教學(xué)中，用判別式的符號(hào)判斷方程的根的存在情況；求空間線線、線面、面面間的距離及夾角的范圍；概率的范圍等等。可以看出，不等式與集合、充要條件、函數(shù)、方程、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何、實(shí)際問(wèn)題都有知識(shí)交匯處，在相關(guān)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。在不等式學(xué)習(xí)過(guò)程中，可以體現(xiàn)出數(shù)學(xué)思想及素養(yǎng)的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)思想不僅在學(xué)生形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程中起著橋梁作用，在將基礎(chǔ)知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力和技能的過(guò)程中也發(fā)揮著重要作用，它是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維意識(shí)和形成好的數(shù)學(xué)思維素質(zhì)的關(guān)鍵所在。不等式的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容涉及到數(shù)形結(jié)合、分類轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想。例如：通過(guò)圖象解法滲透數(shù)形結(jié)合、分類化歸等數(shù)學(xué)思想，能夠培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力、觀察分析能力、抽象概括能力、歸納總結(jié)等系統(tǒng)的邏輯思維能力，培養(yǎng)簡(jiǎn)約直觀的思維方法和良好的思維品質(zhì)，進(jìn)而滲透抽象與具體、聯(lián)系與轉(zhuǎn)化等辯證唯物主義的觀點(diǎn)和方法；二元一次不等式（組）與平面區(qū)域，揭示出了不等式的幾何意義，使學(xué)生對(duì)不等式的認(rèn)識(shí)有了質(zhì)的飛躍，同時(shí)，極有利于發(fā)展學(xué)生對(duì)集合思想，數(shù)形結(jié)合思想在思維層面上的提升，進(jìn)一步促使學(xué)習(xí)者在思維的深層面上主動(dòng)完成對(duì)函數(shù)、方程、不等式形成有機(jī)的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建；線性規(guī)劃問(wèn)題開(kāi)拓了不等式的實(shí)際運(yùn)用的領(lǐng)域。本文希望通過(guò)對(duì)高中數(shù)學(xué)不等式的教學(xué)進(jìn)行研究，結(jié)合相關(guān)數(shù)學(xué)教育理論，針對(duì)不等式各部分教學(xué)內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn)提出有效的教學(xué)策略，改進(jìn)不等式課堂教學(xué)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和教師的教學(xué)效果，對(duì)進(jìn)行高中不等式教學(xué)的教師提供一定的參考作用。使得通過(guò)不等式基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)和基本技能的訓(xùn)練，學(xué)生的邏輯推理等思維能力能力以及分析解決問(wèn)題的綜合能力能夠得以培養(yǎng)和提升。2.2 研究意義教學(xué)策略是當(dāng)前教學(xué)研究的一個(gè)重要問(wèn)題，它無(wú)論是對(duì)教學(xué)理論研究的深化，還是對(duì)教學(xué)實(shí)踐的變革都有重要價(jià)值。教學(xué)策略可以幫助我們從整體上綜合地認(rèn)識(shí)和探討教學(xué)過(guò)程中各種因素間的相互作用，有利于從動(dòng)態(tài)上把握教學(xué)過(guò)程的本質(zhì)和規(guī)律。不等式教學(xué)策略的研究，有助于促進(jìn)不等式教學(xué)法的豐富與發(fā)展，有助于教師理論與實(shí)踐相結(jié)合，使教師形成自己的教學(xué)風(fēng)格。教學(xué)策略既是教學(xué)過(guò)程理論體系的具體化，又是建立在教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上的，既具體、明了、可操作性強(qiáng)，又具有概括、完整和系統(tǒng)性，便于理解和掌握，有利于提高教學(xué)質(zhì)量。以期改進(jìn)不等式課堂教學(xué)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和教師的教學(xué)效果，對(duì)進(jìn)行高中不等式教學(xué)的教師提供一定的參考作用，減少不等式教學(xué)中的困惑。使得通過(guò)不等式基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)和基本技能的訓(xùn)練，學(xué)生的邏輯推理等思維能力能力以及分析解決問(wèn)題的綜合能力能夠得以培養(yǎng)和提升。3.高等數(shù)學(xué)常用不等式舉例介紹3.1柯西不等式柯西不等式是由法國(guó)大數(shù)學(xué)家柯西在研究數(shù)學(xué)分流中的“流數(shù)”時(shí)得到的但從歷史的角度講，該不等式應(yīng)當(dāng)稱為 Cauchy -Buniakowsky-Schwarz 不等式，因?yàn)檎呛髢晌粩?shù)學(xué)家彼此獨(dú)立地在積分學(xué)推而廣之，才將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步柯西不等式非常重要，靈活巧妙地應(yīng)用它，可以使一些較為困難的問(wèn)題迎刃而解，比如在證明不等式、求函數(shù)最值及變量取值范圍、方程與等式、幾何等方面然而，目前柯西不等式的研究主要集中于高等數(shù)學(xué)及其解法應(yīng)用研究作為其中著名不等式之一，理應(yīng)跟中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)緊密聯(lián)系在一起，為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力提供教育素材可喜地是隨著新課程改革的不斷推進(jìn)，2003 年 4 月教育部制定了普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)），到 2008 年全國(guó)各省區(qū)全面使用標(biāo)準(zhǔn)教材進(jìn)行教學(xué)選修 4-5 專題不等式選講將柯西不等式納入了選修課程系統(tǒng)，柯西不等式由此進(jìn)入了新教材，進(jìn)入了學(xué)生的課堂作為選修內(nèi)容之一，為拓展學(xué)生的知識(shí)面，開(kāi)闊學(xué)生的視野，拓展學(xué)生的思維空間具有很大的作用，同時(shí)也為教育工作者提出了新的挑戰(zhàn)。柯西不等式的表現(xiàn)形式如下:(1)(n維形式)對(duì)于任意實(shí)數(shù)與滿足當(dāng)且僅當(dāng)?shù)仁匠闪ⅰ?.2拉格朗日中值定理如果函數(shù)f（x）滿足（1） 在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2） 在開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，那么在（a,b）內(nèi)至少有一點(diǎn)（），使得等式成立。2.3.1拉格朗日中值定理的證明以及推廣設(shè)在區(qū)間a,b內(nèi)k階可微，則使其中h= 證明定理：我們這里就用輔助的思想來(lái)看待這個(gè)問(wèn)題。(1)當(dāng)k=l時(shí)，即是拉格朗日中值定理。(2)當(dāng)k=2 時(shí)， 在區(qū)域作輔助函數(shù)：，則。固定讓在(O，h上變化，則，關(guān)于滿足拉格朗日中值定理，所以，其中關(guān)于變量又滿足拉格朗日中值定理，所以可有，記。則有成立。（3）當(dāng)k=n時(shí)，訪k=2構(gòu)造定義在上的函數(shù)：同理有 第一步：固定讓在(0，h)上變化，則關(guān)于變量滿足拉格朗日中值定理，所以使得第二步：固定讓在(0，h)上變化，則關(guān)于變量滿足拉格朗日中值定理，所以使得依次類推第3步，.，第n步關(guān)于變量滿足拉格朗日中值定理，所以使得 因?yàn)樗晕覀兞?則即定理2：設(shè)I是有界閉區(qū)間構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，使得對(duì)全體都有 在證明該定理時(shí)，如果我們?cè)噲D用證明不等式的一般方法直接去證明它，那難度是相當(dāng)大，甚至不能把該命題證明出來(lái)，但是如果我們此時(shí)換一種思維方式，通過(guò)構(gòu)造條件不等式，問(wèn)題就迎刃而解。那么我們?cè)鯓尤?gòu)造條件不等式呢?這是問(wèn)題的關(guān)鍵所在，我們可以通過(guò)定理的條件和結(jié)論以及對(duì)有關(guān)問(wèn)題的性質(zhì)的分析，來(lái)達(dá)到構(gòu)造條件不等式的目的。在這個(gè)定理證明時(shí)，如果認(rèn)真分析一下定理的結(jié)論我們可以知道，任意一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)與的差要小于任意給定的正數(shù)，那么我們?cè)跇?gòu)造條件不等式時(shí)目的就很明確。定理證明：先構(gòu)造條件不等式，n0；顯然是無(wú)常數(shù)項(xiàng)的多項(xiàng)式函數(shù)列，要證在區(qū)問(wèn)(一1，1)上多項(xiàng)式函數(shù)列單調(diào)遞增，且一致收斂。為此，若能證明有則可得到，即單調(diào)遞增且一致有界，又，即一致收斂。下面我們用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明當(dāng)nO時(shí)不等式成立(1)當(dāng)n=0時(shí)，命題顯然成立。(2)假設(shè)n時(shí)，上式成立，我們來(lái)證明為n+l是命題也成立。因?yàn)橛杉僭O(shè)有，所以，因此由假設(shè)有，同時(shí)也可推出，所以即證畢3.3均值不等式己知正數(shù)a和b，古希臘數(shù)學(xué)家己經(jīng)研究過(guò)十種不同的中項(xiàng)，包括算術(shù)中項(xiàng)、幾何中項(xiàng)、調(diào)和中項(xiàng)、反調(diào)和中項(xiàng)等。這些中項(xiàng)之間的大小關(guān)系叫均值不等式。本文所說(shuō)的均值不等式只限于算術(shù)中項(xiàng)和幾何中項(xiàng)之間的大小關(guān)系，即均值不等式有著悠久的歷史，證明方法很多，用不同的視角，都能得到同樣的結(jié)果。由即可得均值不等式。“均值不等式”是一類比較主要的不等式，是一類應(yīng)用比較廣泛的不等式，該不等式的直觀表述只是其內(nèi)容的外顯形式，如果學(xué)生既能知其外顯，又能知其內(nèi)在，就是說(shuō)，如果學(xué)生既能知其然，又能知其所以然，對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用就容易更上一層樓。任何知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)都是為了更好的應(yīng)用，而應(yīng)用的好與壞直接取決于學(xué)生對(duì)通過(guò)學(xué)習(xí)得到的知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握程度，還有一些特殊的技巧是否學(xué)生己經(jīng)了然于心。本論文希望通過(guò)調(diào)查學(xué)生對(duì)“均值不等式”的應(yīng)用意識(shí)及應(yīng)用技巧的程度來(lái)了解學(xué)生對(duì)“均值不等式”本質(zhì)的理解程度?！熬挡坏仁健痹诓坏仁嚼碚撝刑幱诤诵牡匚?，是現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)中應(yīng)用最為廣泛的不等式之一。巧妙地應(yīng)用此不等式在求最值，比較大小，證明不等式等各方面都可得到較為理想的解法。均值不等式的推廣過(guò)程中涉及到的均值不等式的延伸內(nèi)容，也是解題的重要依據(jù)之一。4.數(shù)學(xué)中不等式的中的應(yīng)用不等式的證明一直是數(shù)學(xué)里面的一個(gè)難點(diǎn)，但是如果利用高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)處理，問(wèn)題就要顯得簡(jiǎn)單的多，不過(guò)要利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)證明不等式，關(guān)鍵的是如何構(gòu)造條件不等式，下面舉例說(shuō)明不等式證明中條件不等式的構(gòu)造。所謂的條件不等式是指具有某些條件的輔助不等式（或者是輔助等式），這些條件必須要符合題意，不能隨意的制造。4.1 構(gòu)造條件不等式對(duì)命題進(jìn)行證明。已知二階可導(dǎo)，當(dāng)xO時(shí)，且，求證當(dāng)x0時(shí)，。這個(gè)問(wèn)題如果要利用初等數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)證明，難度相當(dāng)大，但是利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)證明問(wèn)題就比較簡(jiǎn)單，考慮到條件x0且當(dāng)x=0時(shí)，因此如果能夠證明函數(shù)，是單調(diào)遞增，問(wèn)題就得到解決。證明：作條件不等式，則，即單調(diào)遞升：因?yàn)?，于是?dāng)xO時(shí)，從而當(dāng)x0時(shí)，單調(diào)遞升，且，于是當(dāng)x0時(shí)，即例：證明有要證明該不等式顯然用初等數(shù)學(xué)方法不容易，但是如果利用條件不等式來(lái)證明就比較容易，只是必須構(gòu)造一個(gè)恰當(dāng)?shù)臈l件不等式，那么怎樣來(lái)構(gòu)造條件不等式呢?這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，我們注意到這是一個(gè)關(guān)于多項(xiàng)式的不等式，因此作條件不等式時(shí)應(yīng)考慮到多項(xiàng)式函數(shù)。證明：作條件不等式，其中表示的整數(shù)部分，則，由的定義可知是n次多項(xiàng)式，且最高次項(xiàng)的系數(shù)為l。易證，還有另一個(gè)表達(dá)式。(后證)，所以；，設(shè)，假設(shè) ，則可以推出矛盾。 在構(gòu)造條件不等式令，k=0,1,2,.,n 則 即中任意相鄰兩項(xiàng)都異號(hào)，且，因?yàn)?，所以在處與同號(hào)，即有中任意兩次都異號(hào)，多項(xiàng)式顯然是連續(xù)函數(shù)。由介值定理可以得到：使得即有n個(gè)根，但這是不可能的，因與最高次項(xiàng)的系數(shù)都為1，所以頂多是n一1次多項(xiàng)式，由代數(shù)基本定理知道頂多有n1個(gè)根。下面證明；設(shè)Q=arccosx， 則x=cosQ2cosnQ= (cosnQ+isinnQ) + (cosnQisinnx)=比較實(shí)部系數(shù)得：證畢。4.2 利用微分中值定理進(jìn)行不等式命題的證明分析逆推法： 利用微分中值定理時(shí)，常常會(huì)用到逆推的方法從欲證結(jié)論入手，借助于邏輯關(guān)系制造出某個(gè)函數(shù)的改變量，再觀察其對(duì)應(yīng)的區(qū)間，即可有效的構(gòu)造出所需的條件不等式。例設(shè)函數(shù)在0，1上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，證明在（0，1）內(nèi)存在一點(diǎn)，使得。分析：結(jié)論可變形為即為，因此可構(gòu)造條件不等式，對(duì)與g（x）在0，1上應(yīng)用柯西中值定理即可證明結(jié)論。證明：令，由題設(shè)知f（x）與g（x）在0，1上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，由柯西中值定理得，整理即得。 在一些問(wèn)題中，單使用逆推法還不夠，往往還要借助積分法來(lái)構(gòu)造出符合題設(shè)要求且滿足微分中值定理?xiàng)l件的條件不等式。具體方法是把欲證結(jié)論中的換成x，將替換后的等式變形為易于積分的形式，再兩邊積分解出C，由此可構(gòu)造出相應(yīng)的條件不等式。例設(shè)函數(shù)f（x）在0，1上二階可導(dǎo)，且f（0）f（1）=0，證明存在（0，1），使得。分析：在結(jié)論中用x 替換，有，將其變形為易于積分的形式 ，兩邊積分，即，解得。證明：設(shè)輔助函。因?yàn)樵?，1上二階可導(dǎo)，所以在0，1上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且，故滿足羅爾定理?xiàng)l件，所以存在（0，1）使。又在（，1）內(nèi)，F(xiàn)（x）滿足羅爾定理?xiàng)l件，所以存在 （ ，1），使，即。在構(gòu)造條件不等式時(shí)，若表達(dá)式關(guān)于端點(diǎn)處的函數(shù)值具有對(duì)稱性，可以用常數(shù)k 值法來(lái)構(gòu)造條件不等式。具體方法是將結(jié)論變形，使常數(shù)部分分離出來(lái)并令其為k，恒等變形使等式一端為a 與f（a）構(gòu)成的代數(shù)式，另一端為b 與f（b）構(gòu)成的代數(shù)式，再將端點(diǎn)值改為變量x，所得表達(dá)式即為條件不等式。例 設(shè)a0，b0,試證存在介于a,b之間，使得分析：將結(jié)論變形為左邊衛(wèi)常數(shù)因此可令，即，則有 即 可令b=x可得條件不等式證明：設(shè)則由羅爾定理，存在介于a,b之間，使得即 從而得到 對(duì)于某些要證明的結(jié)論，往往出現(xiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)之間關(guān)系的證明，直接構(gòu)造條件不等式比較困難，將所證結(jié)論的兩端都乘以或除以一個(gè)恒正或恒負(fù)的函數(shù)，證明結(jié)論往往不受影響，（為常數(shù)）是常用的乘積因子。例 若函數(shù)f（x）在a，b上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且f（a）=f（b）=0，證明存在一點(diǎn)（a，b），使得f（）=f（）。分析：是個(gè)恒為正的因子，所證明等式或不等式的兩端都乘以或除以這樣一個(gè)因子，等式或不等式仍然成立，于是想到是個(gè)理想的乘積因子。證明：構(gòu)造條件不等式，可驗(yàn)證F（x）在a，b上滿足羅爾定理?xiàng)l件，故存在（a，b），使得，即對(duì)于一些只涉及一階導(dǎo)數(shù)和幾何意義比較明確的證題，可以通過(guò)幾何圖形來(lái)建立恰當(dāng)?shù)臈l件不等式。例 設(shè)函數(shù)f（x）在0，1上可導(dǎo)，且0f（x）1，對(duì)于任何x（0，1），都有，試證在（0，1）內(nèi)有且僅有一點(diǎn)，使得。分析：由圖1 可看出，此題的幾何意義是，連續(xù)函數(shù)y=f（x）的圖形曲線必跨越y(tǒng)=x 這條直線，而兩者交點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰滿足。進(jìn)而，由圖還可知道，對(duì)0，1上的同一自變量x，這兩條曲線縱坐標(biāo)之差f（x）-x 可構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)F（x），它滿足F（0）0，F(xiàn)（1）0，因而符合零點(diǎn)定理的條件。證明：令，則由題設(shè)知，F(xiàn)（x）在0，1上連續(xù)，且F（0）=f（0）0，F(xiàn)（1）=f（1）-10。由零點(diǎn)定理知，至少存在一點(diǎn)（0，1），使得F（）=f（）-=0，即。用反證法證明唯一性。設(shè)有兩個(gè)點(diǎn)均有，在與所構(gòu)成的區(qū)間上運(yùn)用拉格朗日中值定理有，這與矛盾，故結(jié)論成立5.總結(jié)通過(guò)本次論文的書(shū)寫以及在論文書(shū)寫研究過(guò)程中的一些經(jīng)驗(yàn)，以及筆者通過(guò)對(duì)一手資料的參考，基于筆者調(diào)查顯示的豐富教學(xué)實(shí)踐，筆者主要對(duì)數(shù)學(xué)中常用的不等式有了一下幾種新的認(rèn)識(shí)： （1）若要熟練掌握不等式的形式，記憶的成分是必不可少的，但不要死記硬背。 認(rèn)知心理學(xué)強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)是大腦理解的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，行為教學(xué)并不能單純的歸為一個(gè)簡(jiǎn)單的操作，還要關(guān)注學(xué)生的情感發(fā)展。教師面對(duì)任何新出現(xiàn)的知識(shí)，都應(yīng)該嘗試找到相關(guān)的背景知識(shí)對(duì)于一些學(xué)生已經(jīng)掌握的知識(shí)，教學(xué)可以通過(guò)大腦皮層的深度加工來(lái)加強(qiáng)學(xué)生的認(rèn)知，理解和認(rèn)識(shí)，從而使的學(xué)生產(chǎn)生新的知識(shí)，在在學(xué)生的頭腦運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中新的知識(shí)形成就可以變的水到渠成。基于學(xué)生的智力發(fā)展理論觀點(diǎn)，所謂元認(rèn)知就是認(rèn)知意識(shí)。近年來(lái)，元認(rèn)知心理學(xué)教給學(xué)生如何學(xué)習(xí)并取得了一些成果。教學(xué)也應(yīng)該是認(rèn)知心理學(xué)和元認(rèn)知理論主張適當(dāng)補(bǔ)充內(nèi)存，使學(xué)生掌握學(xué)生理解不等式的指導(dǎo)下，所以在學(xué)生心目中的不平等不只會(huì)在形式上，它會(huì)和學(xué)生原有的知識(shí)形成一個(gè)新的反應(yīng)，使得學(xué)生更加容易的接受新知識(shí)。 （2）為了更好地理解不等式，證明應(yīng)注意的細(xì)節(jié)。正如前面提到的，教師在知識(shí)的教學(xué)過(guò)程不應(yīng)該讓學(xué)生死記硬背，則一個(gè)新的不等式的證明提出了將能更好地幫助學(xué)生理解和記憶的不平等和內(nèi)容。證明一個(gè)命題，在本質(zhì)上，其心理過(guò)程是找到的條件和結(jié)論，包括這種心理過(guò)程知識(shí)之間的邏輯蘊(yùn)涵關(guān)系，當(dāng)這種內(nèi)在的邏輯性被激活時(shí)，這些條件和結(jié)論之間的關(guān)系的概念就會(huì)被證明。在證明的一個(gè)或幾個(gè)命題之間的知識(shí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)間的聯(lián)系首先被激活，這些被激活每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，互相聯(lián)絡(luò)，向外擴(kuò)展，以獲得一個(gè)完整并附有邏輯的證明。這種證明不僅鍛煉他們的思維，加深對(duì)知識(shí)的記憶和的理解，學(xué)生學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)，并且為其后來(lái)靈活應(yīng)用打下了良好的基礎(chǔ)。實(shí)質(zhì)性的知識(shí)和理解的數(shù)學(xué)教學(xué)，建立與現(xiàn)有的數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)體系，通過(guò)各種渠道建立聯(lián)系，在證明命題的過(guò)程中是非常重要的。(3)不等式的應(yīng)用要符合一定的條件，當(dāng)老師傳授的知識(shí)，必須找到一種方法，讓學(xué)生明確這些條件，以便使學(xué)生了解實(shí)際不平等。利用“不等式”求最值要符合“正、定、等”三個(gè)條件，如果不符合這三個(gè)條件的任何一個(gè)，而盲目的從表面形式上應(yīng)用該不等式解題，并結(jié)果無(wú)疑是錯(cuò)誤的。如果老師不這樣做的新知識(shí)的透徹分析在上述三個(gè)條件的教學(xué)，使學(xué)生不具備上述三個(gè)條件有一個(gè)全面的了解學(xué)生的將是知識(shí)形成的頭腦思維障礙。事實(shí)上，數(shù)學(xué)思維障礙，有的來(lái)自學(xué)生本身，毫無(wú)疑問(wèn)，也是教學(xué)目標(biāo)的一部分也是我們往往容易疏忽的一部分。對(duì)于教師教學(xué)來(lái)講，如果這三個(gè)條件有遺漏或強(qiáng)調(diào)不夠，使學(xué)生形成的知識(shí)體系結(jié)構(gòu)不完善或者是數(shù)學(xué)的邏輯思維能力的欠佳多會(huì)對(duì)學(xué)生今后的生活起到不可低估負(fù)面作用。 （4）不等式的各種推廣形式不容忽視。我們?cè)鯓硬拍芨?