§8.1.2橢圓的簡單幾何質(zhì).doc

第八章 圓錐曲線方程第八章 圓錐曲線方程8.1.2 橢圓的簡單幾何性質(zhì)（一）第四課時教學(xué)目標(biāo)：（一）教學(xué)知識點：橢圓的范圍、對稱性、對稱軸、對稱中心、離心率及頂點。（二）能力訓(xùn)練：（1）使學(xué)生了解并掌握橢圓的范圍；（2）使學(xué)生掌握橢圓的對稱性，明確標(biāo)準(zhǔn)方程所表示的橢圓的對稱軸和對稱中心；（3）使學(xué)生掌握橢圓的頂點坐標(biāo)、長軸長、短周長以及a,b,c的集合意義，明確標(biāo)準(zhǔn)方程所表示的橢圓的截距；（4）使學(xué)生掌握橢圓的離心率的定義和幾何意義。教學(xué)重點：橢圓的簡單的幾何性質(zhì)。教學(xué)難點：橢圓的簡單的幾何性質(zhì)。教學(xué)方法：講授法。教學(xué)過程：一、課題導(dǎo)入 前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，接下來我們繼續(xù)研究橢圓的幾何特征。我們從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行討論。1、范圍：同學(xué)們能從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中找出橢圓的范圍嗎？（1）兩個非負(fù)的數(shù)的和等于1，則這兩個數(shù)不能超過1，即，也就是橢圓上任意點的坐標(biāo)（x，y）都要適合不等式，即 ，說明橢圓位于直線所成的矩形里。（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可化為兩個函數(shù)，的定義域、值域分別進(jìn)行討論可得，即橢圓位于直線所成的矩形里所以 橢圓的范圍是。 2、對稱性在曲線的方程里，我們討論過對稱性，如果以代方程不變，那么方程表示的曲線關(guān)于x軸對稱，即如果點在曲線上，點關(guān)于x軸對的點也在曲線上；如果以代方程不變，那么方程表示的曲線關(guān)于y軸對稱；如果以代，代得的方程不變，那么方程表示的曲線關(guān)于原點對稱。那么我們在橢圓中也來看看： （1）在以代得，則橢圓關(guān)于x軸對稱；（2）在以代得，則橢圓關(guān)于y軸對稱；（3）在以代，代得，則橢圓關(guān)于原點對稱；所以橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點都對稱，這時坐標(biāo)軸稱為橢圓的對稱軸，原點叫做橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心也叫橢圓的中心。注意：我們討論時是以標(biāo)準(zhǔn)方程為例，如果橢圓的焦點不在坐標(biāo)軸，中心不在原點時，那么能不能說橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸、對稱中心是原點呢？不能的。3、頂點研究曲線上某些特殊點的位置，可以確定曲線的位置，要確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常常需要求出曲線與x軸，y軸的交點坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令x =0,得，說明是橢圓與y軸的兩個交點；同理，令y =0,得，說明是橢圓與x軸的兩個交點，因為x軸，y軸都是橢圓的對稱軸，所以，橢圓和對稱軸有四個交點，這四個交點叫做橢圓的頂點。坐標(biāo)分別為：，。線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。觀察圖8-6，由橢圓的對稱性可知，橢圓的短軸的端點到兩個焦點的距離相等，且等于長半軸長，即，在中，即，這就是前一節(jié)中令的幾何意義。4、離心率給定一個橢圓，那么這個橢圓的扁圓程度我們有怎樣來描述呢？我們可用來描述，當(dāng)時，說明，這時長半軸長趨近短半軸長，那么橢圓就要圓點。當(dāng)時，說明，這時趨近短半軸長零，那么橢圓就要扁點。也可用來刻畫，而，當(dāng)時，說明，這時長半軸長趨近短半軸長，那么橢圓就要圓點。當(dāng)時，說明，這時趨近短半軸長零，那么橢圓就要扁點。兩者相比較，要比較直觀點。于是 橢圓的焦距與長軸長的比，叫做橢圓的離心率。因為，所以，當(dāng)時，則，從而，因此橢圓越扁；當(dāng)時，則，從而，因此橢圓越圓；當(dāng)且僅當(dāng)，這時兩個焦點重合，圖形就是一個圓：。二、課時練習(xí)曲線橢圓定義在平面內(nèi)與兩個定點，的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓。標(biāo)準(zhǔn)方程頂點坐標(biāo)范 圍對稱軸x軸、長半軸2ay軸、短半軸2bx軸、短半軸2by軸、長半軸2a焦點坐標(biāo)離心率三、小結(jié) 今天我們主要學(xué)習(xí)了：橢圓的簡單的幾何性質(zhì)：1、范圍：橢圓位于直線所成的矩形里，2、對稱性：橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點都對稱，這時坐標(biāo)軸稱為橢圓的對稱軸，原點叫做橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心也叫橢圓的中心。3、頂點：橢圓的頂點有四個，坐標(biāo)分別為：，。線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。4、離心率：。四、作業(yè) （一）1、課本102頁 練習(xí) 1、2、3、5。 2、103頁8.2 1、2、3。 8.2 橢圓的簡單幾何性質(zhì)（二）第五課時教學(xué)目標(biāo)：（一）教學(xué)知識點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的比值定義、橢圓的準(zhǔn)線及其方程。（二）能力訓(xùn)練：（1）使學(xué)生掌握求適合條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）使學(xué)生理解橢圓的橢圓比值的定義； （3）使學(xué)生掌握橢圓的準(zhǔn)線方程，并能應(yīng)用橢圓的準(zhǔn)線方程判斷橢圓的焦點位置。 教學(xué)重點：橢圓的比值定義、橢圓的準(zhǔn)線及其方程。教學(xué)難點：橢圓的準(zhǔn)線方程的應(yīng)用。教學(xué)方法：講授法。教學(xué)過程：一、課題導(dǎo)入上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)里橢圓的簡單的幾何性質(zhì)，請同學(xué)們回答一下具體的內(nèi)容，并請同學(xué)們寫出橢圓中的x，y的范圍，長軸和短軸長，離心率，半焦距的大小，焦點及頂點坐標(biāo)。二、講解新課 例1、求橢圓的長軸和短軸長，離心率，焦點和頂點的坐標(biāo)。解：把橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，知 ：，所以 ，所以橢圓的長軸和短軸長分別為：，離心率為：， 焦點坐標(biāo)分別為：，頂點坐標(biāo)分別為：。例2、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： （1）經(jīng)過點；（2）長軸的長等于20，離心率等于。解：（1）因為 橢圓經(jīng)過，所以橢圓的長半軸長為：3，即a=3，短半軸長為：2即b=2，且焦點在x軸上，所以 ，所以 所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。 （2）因為 長軸的長等于20，離心率等于， 所以 ，所以 ，又因為，所求的橢圓沒有指明在那條坐標(biāo)軸，于是 所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或。例3、點與定點的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)，求點M的軌跡。 解：如圖，設(shè)d是點M到直線的距離，根據(jù)題意，所求軌跡的集合是由此得 兩邊平方，并化簡得。設(shè)，于是得 ，是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以點M的軌跡是長軸、短軸長分別為、焦點在y軸上的橢圓。注意：由例4可知：（1）當(dāng)點與定點的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)，這個點M的軌跡是橢圓。其中：定點是橢圓的焦點，定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率。若對于橢圓，相應(yīng)于焦點的準(zhǔn)線方程是，根據(jù)橢圓的對稱性，相應(yīng)于焦點的準(zhǔn)線方程是，所以橢圓有兩條準(zhǔn)線。即。若對于橢圓，相應(yīng)于焦點的準(zhǔn)線方程是，根據(jù)橢圓的對稱性，相應(yīng)于焦點的準(zhǔn)線方程是，所以橢圓有兩條準(zhǔn)線。即。（2）焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離叫做焦準(zhǔn)距，記作p，且。例4、如圖8-8，我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的運行軌道，是以第心（地球的中心）為一個焦點的橢圓，已知它的近地點A（距地面最近的點）距地面439km，遠(yuǎn)地點B（距地面最遠(yuǎn)的點）距地面2348km，并且、A、B在同一直線上，地球的半徑約為6371km，求衛(wèi)星運行的軌道方程。（精確到1km） 解：如圖8-8，建立直角坐標(biāo)系，使點、A、B在x軸上，為橢圓的右焦點（記為左焦點）。 因為橢圓的焦點在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程 為：，則 于是 解得 所以 因此 衛(wèi)星的軌道方程 。三、練習(xí) 1、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： （1），焦點在x軸上； （2），焦點在y軸上。 2、求下列橢圓的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程： （1）； （2）。 3、選擇題：橢圓的準(zhǔn)線方程是（ ）A ； B ； C ； D 。4、求離心率等于0.8，焦距是8的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：四、小結(jié) 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程在某種條件下的求法，橢圓的比值定義：當(dāng)點與定點的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)，這個點M的軌跡是橢圓。其中：定點是橢圓的焦點，定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率。若對于橢圓，相應(yīng)于焦點的準(zhǔn)線方程是，根據(jù)橢圓的對稱性，相應(yīng)于焦點的準(zhǔn)線方程是，所以橢圓有兩條準(zhǔn)線。即。五、作業(yè)1、114頁，習(xí)題 3（1），4（1）（2），5，6，8。2、點與定點的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)，求點M的軌跡。8.2 橢圓的簡單幾何性質(zhì)（三）第六課時教學(xué)目標(biāo)：（一）教學(xué)知識點：橢圓的參數(shù)方程、橢圓的參數(shù)方程與普通方程的關(guān)系。（二）能力訓(xùn)練：（1）使學(xué)生了解橢圓的參數(shù)方程的來源，并能在研究橢圓的性質(zhì)、建立橢圓的參數(shù)方程的過程中，正確的應(yīng)用參數(shù)方程；（2）使學(xué)生掌握參數(shù)方程與普通方程的關(guān)系，正確轉(zhuǎn)化，以便靈活應(yīng)用。 教學(xué)重點：（1）建立橢圓的參數(shù)方程和參數(shù)方程的應(yīng)用； （2）橢圓的參數(shù)方程與普通方程的互相轉(zhuǎn)化。教學(xué)難點：（1）建立橢圓的參數(shù)方程和參數(shù)方程的應(yīng)用； （2）橢圓的參數(shù)方程與普通方程的互相轉(zhuǎn)化。教學(xué)方法：講授法。教學(xué)過程：一、課題導(dǎo)入回顧：橢圓的比值定義：當(dāng)點與定點的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)，這個點M的軌跡是橢圓。其中：定點是橢圓的焦點，定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率。若對于橢圓，相應(yīng)于焦點的準(zhǔn)線方程是，根據(jù)橢圓的對稱性，相應(yīng)于焦點的準(zhǔn)線方程是，所以橢圓有兩條準(zhǔn)線。即。若對于橢圓，相應(yīng)于焦點的準(zhǔn)線方程是，根據(jù)橢圓的對稱性，相應(yīng)于焦點的準(zhǔn)線方程是，所以橢圓有兩條準(zhǔn)線。即。比如：橢圓的準(zhǔn)線方程是什么？答：橢圓的準(zhǔn)線方程為：。二、講解新課例5、如圖8-10，以原點為圓心，分別以為半徑作兩個圓，點B是大圓OA與小圓的交點，過點作，垂足為N，過點B作，垂足為M。求當(dāng)半徑OA繞點O旋轉(zhuǎn)時點M的軌跡的參數(shù)方程。解：設(shè)點M的坐標(biāo)是，是以O(shè)x為始邊，OA為終邊的正角。取為參數(shù)，那么 也就是。這就是點M的軌跡的參數(shù)方程。問題：如何將橢圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程呢？在（1）中，分別將兩個方程變形，得 再將方程（2）、（3）兩邊平方后相加，得 ，即消去參數(shù)方程（1）中的參數(shù)后，得到的方程是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 由此可知，點M的軌跡是橢圓，方程（1）是橢圓的參數(shù)方程。在橢圓的參數(shù)方程（1）中，常數(shù)a，b分別是橢圓的長半軸長和短半軸長。問題：如何將橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程呢？例6、將橢圓的方程化為參數(shù)方程。解：令 因為 所以 所以 橢圓的參數(shù)方程為：。問題：能不能說是橢圓上任意一點呢？三、課堂練習(xí) 1、已知橢圓的參數(shù)方程是，