高中數(shù)學(xué) 2.1.2 余弦定理同步課件 北師大版必修5.ppt

1 了解用向量法推導(dǎo)余弦定理的過程 難點 2 掌握余弦定理的內(nèi)容及余弦定理的公式變形 初步對余弦定理進(jìn)行應(yīng)用 重點 3 能夠應(yīng)用正 余弦定理解決綜合問題 重點 易混點 一 余弦定理 幾何法證明余弦定理 證明 過c作cd ab 垂足為d 則在rt cdb中 根據(jù)勾股定理可得 a2 cd2 bd2 在rt adc中 cd2 b2 ad2 又 bd2 c ad 2 c2 2c ad ad2 a2 b2 ad2 c2 2c ad ad2 b2 c2 2c ad又 在rt adc中 ad b cosa a2 b2 c2 2bccosa類似地可以證明b2 a2 c2 2accosbc2 a2 b2 2abcosc 余弦定理和勾股定理有什么關(guān)系 提示 勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系 余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系 余弦定理是勾股定理的推廣 勾股定理是余弦定理的特例 余弦定理的基本應(yīng)用余弦定理及推論的應(yīng)用 1 余弦定理的主要作用是已知兩邊及兩邊的夾角求第三邊 或已知三邊求角 所得結(jié)論是唯一的 同時 利用余弦定理也可以實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化 2 余弦定理及其推論共有六個基本公式 每一個等式均含有四個量 利用方程的觀點 可以知三求一 應(yīng)用時要注意適當(dāng)選取 有時可結(jié)合正弦定理求解 利用余弦定理解三角形時 要注意根據(jù)條件恰當(dāng)選取公式 一般地 求邊長時 使用余弦定理 求角時使用定理的推論 例1 在 abc中 bc a ac b 且a b是方程x2 2 0的兩根 c 120 1 求ab的長 2 求 abc的面積 審題指導(dǎo) 利用一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系可求出a b ab 利用余弦定理和完全平方公式可將ab用a b ab表示出來 由ab可想到利用s abc absinc求面積 規(guī)范解答 1 因為a b是方程x2 2 0的兩根 所以 由余弦定理得ab2 b2 a2 2abcos120 a b 2 ab 10 ab 2 根據(jù)三角形面積公式得s abc 變式訓(xùn)練 如圖 在 abc中 已知b 45 d是bc邊上的一點 ad 10 ac 14 dc 6 求ab的長 解析 在 adc中 ad 10 ac 14 dc 6 由余弦定理得cos adc adc 120 adb 60 在 abd中 ad 10 b 45 adb 60 由正弦定理得 ab 例 在 abc中 如果a b c 2 1 求這個三角形的最小角 審題指導(dǎo) 本題可先由a b c的比例關(guān)系 找到最小的邊 即最小的角 然后借助余弦定理求解 規(guī)范解答 在三角形中 大邊對大角 小邊對小角 根據(jù)已知條件判斷最小邊應(yīng)為a a b c 2 1 可設(shè)a 2k b c 1 k k 0 易知a b c 故最小角為角a 由余弦定理得cosa 故a 45 變式備選 若把本例中的條件變?yōu)閟ina sinb sinc 1 1 求最大角 解析 sina sinb sinc a b c 1 1 設(shè)a 1 k b 1 k c k 0 易知b a c 故最大角為角c 由余弦定理得cosc c 120 判斷三角形的形狀判斷三角形形狀常用的方法 1 依據(jù)已知條件的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時 主要有以下兩種方法 利用正 余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系 通過因式分解 配方得出邊的相互關(guān)系 從而判斷三角形的形狀 利用正 余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系 通過三角恒等變換 得出內(nèi)角的關(guān)系 從而判斷三角形的形狀 2 判斷三角形形狀時常見的結(jié)論 設(shè)a b c是 abc的角a b c的對邊 a2 b2 c2 a是直角 abc是直角三角形a2 b2 c2 a是鈍角 abc是鈍角三角形a2 b2 c2 a是銳角 abc是銳角三角形 例2 在 abc中 若b2sin2c c2sin2b 2bccosbcosc 試判斷三角形的形狀 審題指導(dǎo) 解答本題先由正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角 然后由三角恒等變換進(jìn)行化簡 得出結(jié)論 也可先由余弦定理及同角三角函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化成邊之間的關(guān)系 然后由邊的關(guān)系確定三角形形狀 規(guī)范解答 方法一 由 2r r為 abc外接圓半徑 條件轉(zhuǎn)化為4r2 sin2c sin2b 4r2 sin2c sin2b 8r2 sinb sinc cosb cosc 又sinb sinc 0 sinb sinc cosb cosc 即cos b c 0 又0 b c 180 b c 90 a 90 故 abc為直角三角形 方法二 將已知等式變形為b2 1 cos2c c2 1 cos2b 2bccosbcosc 即有b2 c2 b2 c2 2bc 即b2 c2 a2 即b2 c2 a2 abc為直角三角形 變式訓(xùn)練 在 abc中 bcosa acosb 試分別利用余弦定理和正弦定理兩種方法判斷三角形的形狀 解析 方法一 利用余弦定理化角為邊 bcosa acosb b b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 a b 故此三角形是等腰三角形 方法二 利用正弦定理化邊為角 bcosa acosb 又b 2rsinb a 2rsina r為 abc外接圓的半徑 2rsinbcosa 2rsinacosb sinacosb cosasinb 0 sin a b 0 0 a b a b a b 0 即a b 故此三角形是等腰三角形 誤區(qū)警示 由sin a b 0求角時 要注意對a b的范圍進(jìn)行討論 三角形面積問題解決面積問題的注意事項 有關(guān)三角形面積問題 有時需要和正弦定理 余弦定理相結(jié)合 并不一定是單純只考查面積公式 所以對正弦定理 余弦定理等公式要熟練記憶并掌握其用法 還要注意方程思想的應(yīng)用 例3 2011 棗莊高二檢測 在 abc中 內(nèi)角a b c對的邊分別是a b c 已知c 2 c 1 若 abc的面積等于 求a b 2 若sinb 2sina 求 abc的面積 審題指導(dǎo) 1 根據(jù)余弦定理和三角形面積公式可得到關(guān)于a b的方程組 解方程組即得a b 2 將條件用正弦定理轉(zhuǎn)化即可 規(guī)范解答 由余弦定理得c2 a2 b2 2abcosc 又c 2 c 所以a2 b2 ab 4 1 因為 abc的面積等于 所以absinc 得ab 4 聯(lián)立方程組解得a 2 b 2 2 由題意得sinb 2sina 由正弦定理得b 2a 聯(lián)立方程組解得a b 所以 abc的面積s 變式訓(xùn)練 在 abc中 bc 1 ab 2 cosb 1 求ac 2 求 abc的面積 解題提示 本題可直接利用余弦定理求ac 再利用面積公式求解即可 解析 1 由余弦定理可得 ac2 ab2 bc2 2ab bccosb 4 1 2 2 1 4 ac 2 2 由cosb 可得 sinb s abc ab bc sinb 2 1 典例 12分 在不等邊三角形abc中 a為最大邊 如果a2 b2 c2 求a的取值范圍 審題指導(dǎo) 利用余弦定理可判斷cosa的范圍 再利用cosa的范圍確定a的范圍 但要注意三角形中大邊對大角 小邊對小角這一性質(zhì) 規(guī)范解答 a2 b2 c2 cosa 0 3分由于cosa在 0 上為減函數(shù) 且cos 0 a 6分又 a為最大邊 abc為不等邊三角形 a 9分 a的取值范圍是 12分 誤區(qū)警示 對解答本題時易犯的錯誤具體分析如下 即時訓(xùn)練 已知銳角三角形的三邊長分別為2 3 x 則x的取值范圍是 解析 在銳角三角形中 答案 1 在 abc中 若a 2 b c 則a的度數(shù)是 a 30 b 45 c 60 d 75 解析 選a cosa a 30 2 在 abc中 a2 b2 c2 bc 則a等于 a 60 b 45 c 120 d 30 解析 選c 由余弦定理及已知可得cosa a 120 3 邊長分別為5 7 8的三角形的最大角與最小角的和是 a 90 b 120 c 135 d 150 解析 選b 設(shè)邊長為7的邊所對的角為a 利用余弦定理算出中間的角 cosa a 60 故選b 4 在 abc中 a b c分別是角a b c所對的邊 已知a b 3 c 30 則a 解析 由余弦定理可得c2 3 9 2 3cos30 3 c a a c 30 答案 30 5 在 abc中 化簡b