空間向量與立體幾何知識(shí)點(diǎn)與例題

空間向量與立體幾何知方法總結(jié)一知識(shí)要點(diǎn)。1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不變性2. 空間向量的運(yùn)算。定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下（如圖）。 ;運(yùn)算律：加法交換律：加法結(jié)合律：數(shù)乘分配律：運(yùn)算法則：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則3. 共線向量。（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，平行于，記作。（2）共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量、（），/存在實(shí)數(shù)，使。（3）三點(diǎn)共線：A、B、C三點(diǎn)共線 （4）與共線的單位向量為4. 共面向量 （1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，與向量共面的條件是存在實(shí)數(shù)使。（3）四點(diǎn)共面：若A、B、C、P四點(diǎn)共面 5. 空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，使。若三向量不共面，我們把叫做空間的一個(gè)基底，叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。推論：設(shè)是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)，使。6. 空間向量的直角坐標(biāo)系： （1）空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系中，對(duì)空間任一點(diǎn)，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)。注：點(diǎn)A（x,y,z）關(guān)于x軸的的對(duì)稱點(diǎn)為(x,-y,-z),關(guān)于xoy平面的對(duì)稱點(diǎn)為(x,y,-z).即點(diǎn)關(guān)于什么軸/平面對(duì)稱，什么坐標(biāo)不變，其余的分坐標(biāo)均相反。在y軸上的點(diǎn)設(shè)為(0,y,0),在平面yOz中的點(diǎn)設(shè)為(0,y,z)（2）若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長為，這個(gè)基底叫單位正交基底，用表示?？臻g中任一向量=（x,y,z）（3）空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：若，則， ， 。若，則。一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。定比分點(diǎn)公式：若，則點(diǎn)P坐標(biāo)為。推導(dǎo)：設(shè)P（x,y,z）則,顯然，當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，三角形重心P坐標(biāo)為ABC的五心：內(nèi)心P：內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點(diǎn)。（單位向量）外心P：外接圓的圓心，中垂線的交點(diǎn)。垂心P：高的交點(diǎn)：（移項(xiàng)，內(nèi)積為0，則垂直）重心P：中線的交點(diǎn)，三等分點(diǎn)（中位線比）中心：正三角形的所有心的合一。（4）模長公式：若，則，（5）夾角公式：。ABC中A為銳角A為鈍角，鈍角（6）兩點(diǎn)間的距離公式：若，則，或 7. 空間向量的數(shù)量積。（1）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：。（2）向量的模：設(shè)，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：。（3）向量的數(shù)量積：已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即。（4）空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：。（5）空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：。（交換律）。（分配律）。不滿足乘法結(jié)合率： 二空間向量與立體幾何(高考答題必考)1線線平行兩線的方向向量平行1-1線面平行線的方向向量與面的法向量垂直1-2面面平行兩面的法向量平行2線線垂直（共面與異面）兩線的方向向量垂直2-1線面垂直線與面的法向量平行2-2面面垂直兩面的法向量垂直 3線線夾角 兩條異面直線所成的角：1、定義：設(shè)a、b是兩條異面直線，過空間任一點(diǎn)O作直線，則與所夾的銳角或直角叫做a與b所成的角2、范圍：兩異面直線所成角的取值范圍是3、向量求法：設(shè)直線a、b的方向向量為、，其夾角為，則有4、注意：兩異面直線所成的角可以通過這兩條直線的方向向量的夾角來求得，但兩者不完全相等，當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時(shí)，應(yīng)取其補(bǔ)角作為兩異面直線所成的角nPAA3-2線面夾角：求線面夾角的步驟：先求線的方向向量與面的法向量的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，則取其補(bǔ)角；再求其余角，即是線面的夾角. , 3-3面面夾角（二面角）:（1）若AB、CD分別是二面角的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量與的夾角（如圖（a）所示）（2）設(shè)、是二面角的兩個(gè)角、的法向量，則向量與的夾角（或其補(bǔ)角）就是二面角的平面角的大小（如圖（b）所示）若兩面的法向量一進(jìn)一出，則二面角等于兩法向量的夾角；法向量同進(jìn)同出，則二面角等于法向量的夾角的補(bǔ)角. 4點(diǎn)面距離 ：如圖（a）所示，BO平面，垂足為O，則點(diǎn)B到平面的距離就是線段BO的長度若AB是平面的任一條斜線段，則在RtBOA中，cosABO= 如果令平面的法向量為，考慮到法向量的方向，可以得到B點(diǎn)到平面的距離為 h=4-1線面距離（線面平行）：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離4-2面面距離（面面平行）：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離應(yīng)用舉例：例1：如右下圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分別是線段AB、BC上的點(diǎn)，且EB= FB=1.(1) 求二面角CDEC1的正切值;(2) 求直線EC1與FD1所成的余弦值. 解：（I）以A為原點(diǎn)，分別為x軸，y軸,z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)于是，設(shè)法向量與平面C1DE垂直，則有（II）設(shè)EC1與FD1所成角為，則例2：如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是菱形，DAB=600，PD平面ABCD，PD=AD，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)F為PD中點(diǎn)。（1）證明平面PED平面PAB； （2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值證明：（1）面ABCD是菱形，DAB=600，ABD是等邊三角形，又E是AB中點(diǎn)，連結(jié)BD EDB=300，BDC=600，EDC=900， 如圖建立坐標(biāo)系D-ECP，設(shè)AD=AB=1，則PF=FD=，ED=， P（0，0，1），E（，0，0），B（，0） =（，-1），= （，0，-1），平面PED的一個(gè)法向量為=（0，1，0） ，設(shè)平面PAB的法向量為=（x, y, 1)由 =（, 0, 1)=0 即 平面PED平面PAB(2)解:由(1)知平面PAB的法向量為=（, 0, 1),設(shè)平面FAB的法向量為1=（x, y, -1)，由（1）知：F（0，0，），=（，-）， = （，0，-），由 1=（-, 0, -1)二面角P-AB-F的平面角的余弦值cos= |cos| = 例3：在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，點(diǎn)P在棱CC1上，且CC1=4CP.()求直線AP與平面BCC1B1所成的角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；()設(shè)O點(diǎn)在平面D1AP上的射影是H，求證：D1HAP；()求點(diǎn)P到平面ABD1的距離.解: ()如圖建立坐標(biāo)系D-ACD1, 棱長為4 A（4，0，0），B（4，4，0），P（0，4，1） = (-4, 4, 1) , 顯然=（0，4，0）為平面BCC1B1的一個(gè)法向量 直線AP與平面BCC1B1所成的角的正弦值sin= |cos|= 為銳角，直線AP與平面BCC1B1所成的角為arcsin () 設(shè)平面ABD1的法向量為=（x, y, 1)，=（0，4，0），=（-4，0，4） 由， 得 =（1, 0, 1)， 點(diǎn)P到平面ABD1的距離 d = 例4：在長、寬、高分別為2，2，3的長方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面中心，求A1O與B1C的距離。解：如圖，建立坐標(biāo)系D-ACD1，則O（1，1，0），A1（2，2，3），C（0，2，0） 設(shè)